九年級數(shù)學上學期期中試卷（含解析） 新人教版6

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2015-2016學年湖北省宜昌九中九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題：（本大題滿分45分，共15小題，每題3分．在下列各小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求，請把符合要求的選項前面的字母代號填寫在答卷上指定的位置） 1．在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．將一元二次方程x2+3=x化為一般形式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（　　） A．0、3 B．0、1 C．1、3 D．1、﹣1 3．拋物線y=（x+2）2+1的頂點坐標是（　?。? A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 4．關于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有兩個實根，則k的范圍是（　?。? A．k≤1 B．k≥1 C．k＜1 D．k＞1 5．將拋物線y=2x2向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到的拋物線，其解析式是（　?。? A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3 6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的兩個根，則x1x2的值是（　?。? A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2 7．下列命題中：①圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；③相等的圓心角所對的弧相等；④長度相等的弧是等?。婷}有（　?。﹤€． A．1 B．2 C．3 D．4 8．某種型號的電視機經過連續(xù)兩次降價，每臺售價由原來的1500元，降到了980元，設平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是（　?。? A．1500（1﹣x）2=980 B．1500（1+x）2=980 C．980（1﹣x）2=1500 D．980（1+x）2=1500 9．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=59，則∠C等于（　?。? A．29 B．31 C．59 D．62 10．已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個交點為（1，0），則關于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的兩個實數(shù)根是（　　） A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3 11．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為P．若PA=2，PB=8，則CD的長為（　?。? A．2 B．4 C．8 D． 12．已知點（﹣3，y3），（﹣2，y1），（﹣1，y2）在函數(shù)y=x2+1的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（　?。? A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 13．如圖，在44的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，若將△AOC繞點O順時針旋轉90得到△BOD，則的長為（　?。? A．π B．6π C．3π D．1.5π 14．如圖，用一塊直徑為a的圓桌布平鋪在對角線長為a的正方形桌面上，若四周下垂的最大長度相等，則桌布下垂的最大長度x為（　?。? A． B． C． D． 15．已知一次函數(shù)y=﹣kx+k的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=﹣kx2﹣2x+k的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 　 二、解答題：（本大題滿分75分，共9小題） 16．解方程：x（2x﹣5）=4x﹣10． 17．已知拋物線的頂點為A（1，﹣4），且過點B（3，0）．求該拋物線的解析式． 18．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（0，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）． （1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標； （2）畫出△ABC繞原點O順時針方向旋轉90后得到的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標； 19．已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根． （1）求k的取值范圍； （2）若x1，x2為該方程的兩個實數(shù)根且滿足x12x22﹣x1﹣x2=115，求k的值． 20．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為E． （1）求證：BC=BD； （2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的長． 21．如圖所示，有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位AB時，寬20m，水位上升3m就達到警戒線CD，這時水面寬度為10m． （1）在如圖的坐標系中求拋物線的解析式； （2）若洪水到來時，水位以每小時0.2m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時才能到達拱橋頂？ 22．某工廠從1月份起，每月生產收入是22萬元，但在生產過程中會引起環(huán)境污染；若再按現(xiàn)狀生產，將會受到環(huán)保部門的處罰，每月罰款2萬元；如果投資111萬元治理污染，治污系統(tǒng)可在1月份啟用，這樣，該廠不但不受處罰，還可降低生產成本，使1至3月的生產收入以相同的百分率遞增，經測算，投資治污后，1月份生產收入為25萬元，1至3月份的生產累計可達91萬元；3月份以后，每月生產收入穩(wěn)定在3月份的水平． （1）求出投資治污后2、3月份生產收入增長的百分率（參考數(shù)據：3.62=1.912，11.56=3.402） （2）如果把利潤看做生產累計收入減去治理污染的投資額或環(huán)保部門的處罰款，試問：治理污染多少個月后，所投資金開始見效？（即治污后所獲利潤不小于不治污情況下所獲利潤）． 23．如圖1，把一個含45角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形邊CB、CD上，連接AF，取AF中點M，EF的中點N，連接MD、MN． （1）連接AE，則△AEF是　　三角形，MD、MN的數(shù)量關系是　?。? （2）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉180，其他條件不變，則MD、MN的數(shù)量關系還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由． （3）將圖1中正方形ABCD及直角三角板ECF同時繞點C順時針旋轉90，如圖3，其他條件不變，則MD、MN的數(shù)量關系還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由． 24．如圖，拋物線y=（x+1）2+k 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C （0，﹣3）． （1）求拋物線的解析式； （2）點M是拋物線上一動點，且在第三象限； ①當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標； ②在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△AMP是以AM為底的等腰直角三角形，若存在，請求出點P和點M的坐標；若不存在，請說明理由． 　  2015-2016學年湖北省宜昌九中九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：（本大題滿分45分，共15小題，每題3分．在下列各小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求，請把符合要求的選項前面的字母代號填寫在答卷上指定的位置） 1．在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】結合選項根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解即可． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形； B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形； C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形； D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形． 故選B． 【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形的關鍵是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合． 　 2．將一元二次方程x2+3=x化為一般形式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（　?。? A．0、3 B．0、1 C．1、3 D．1、﹣1 【考點】一元二次方程的一般形式． 【分析】首先移項進而得出二次項系數(shù)和一次項系數(shù)即可． 【解答】解：∵x2+3=x， ∴x2﹣x+3=0， ∴二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為：1，﹣1． 故選：D． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確移項得出是解題關鍵． 　 3．拋物線y=（x+2）2+1的頂點坐標是（　?。? A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【考點】二次函數(shù)的性質． 【分析】已知解析式是拋物線的頂點式，根據頂點式的坐標特點，直接寫出頂點坐標． 【解答】解：因為y=（x+2）2+1是拋物線的頂點式，由頂點式的坐標特點知，頂點坐標為（﹣2，1）． 故選B． 【點評】考查頂點式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x=h．要掌握頂點式的性質． 　 4．關于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有兩個實根，則k的范圍是（　　） A．k≤1 B．k≥1 C．k＜1 D．k＞1 【考點】根的判別式． 【分析】根據方程有實數(shù)根，得到根的判別式的值大于等于0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍． 【解答】解：根據題意得：△=36﹣36k≥0， 解得：k≤1． 故選A． 【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系： ①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根； ②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根； ③當△＜0時，方程無實數(shù)根． 上面的結論反過來也成立． 　 5．將拋物線y=2x2向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到的拋物線，其解析式是（　　） A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】拋物線平移不改變a的值． 【解答】解：原拋物線的頂點為（0，0），向左平移1個單位，再向上平移3個單位，那么新拋物線的頂點為（﹣1，3）．可設新拋物線的解析式為y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3． 故選A． 【點評】解決本題的關鍵是得到新拋物線的頂點坐標． 　 6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的兩個根，則x1x2的值是（　　） A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2 【考點】根與系數(shù)的關系． 【專題】計算題． 【分析】直接根據根與系數(shù)的關系求解． 【解答】解：根據題意得x1x2=﹣2． 故選B． 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=． 　 7．下列命題中：①圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；③相等的圓心角所對的弧相等；④長度相等的弧是等?。婷}有（　　）個． A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】命題與定理． 【專題】推理填空題． 【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案． 【解答】解：∵圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形， ∴選項①正確； ∵所平分的弦是直徑時不滿足， ∴選項②不正確； ∵在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等， ∴選項③不正確； ∵能完全重合的弧是等弧， ∴選項④不正確． 綜上，可得 正確的命題有1個：①． 故選：A． 【點評】主要主要考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理． 　 8．某種型號的電視機經過連續(xù)兩次降價，每臺售價由原來的1500元，降到了980元，設平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是（　　） A．1500（1﹣x）2=980 B．1500（1+x）2=980 C．980（1﹣x）2=1500 D．980（1+x）2=1500 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【專題】增長率問題． 【分析】設平均每次降價的百分率為x，根據題意可得，原價（1﹣降價百分率）2=現(xiàn)價，據此列方程即可． 【解答】解：設平均每次降價的百分率為x， 由題意得，1500（1﹣x）2=980． 故選A． 【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程． 　 9．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=59，則∠C等于（　　） A．29 B．31 C．59 D．62 【考點】圓周角定理． 【分析】由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，求得∠ADB=90，繼而求得∠A的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得∠C的度數(shù)． 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90， ∵∠ABD=59， ∴∠A=90﹣∠ABD=31， ∴∠C=∠A=31． 故選B． 【點評】此題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用． 　 10．已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個交點為（1，0），則關于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的兩個實數(shù)根是（　?。? A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】根據拋物線與x軸交點的性質和根與系數(shù)的關系進行解答． 【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2﹣4x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個交點為（1，0）， ∴關于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一個根是x=1． ∴設關于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的另一根是t． ∴1+t=4， 解得 t=3． 即方程的另一根為3． 故選：D． 【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點．注意二次函數(shù)解析式與一元二次方程間的轉化關系． 　 11．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為P．若PA=2，PB=8，則CD的長為（　　） A．2 B．4 C．8 D． 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【分析】連接OC，根據PA=2，PB=8可得CO=5，OP=5﹣2=3，再根據垂徑定理可得CD=2CP=8． 【解答】解：連接OC， ∵PA=2，PB=8， ∴AB=10， ∴CO=5，OP=5﹣2=3， 在Rt△POC中：CP==4， ∵直徑AB垂直于弦CD， ∴CD=2CP=8， 故選：C． 【點評】此題主要考查了勾股定理和垂徑定理，關鍵是掌握平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧． 　 12．已知點（﹣3，y3），（﹣2，y1），（﹣1，y2）在函數(shù)y=x2+1的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（　?。? A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】將三個點的坐標分別代入函數(shù)關系式，求出y1，y2，y3的值，從而得解． 【解答】解：y1=（﹣3）2+1=9+1=10， y2=（﹣2）2+1=4+1=5， y3=（﹣1）2+1=1+1=2， 所以，y1＞y2＞y3． 故選A． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點坐標特征，此類題目，可以利用二次函數(shù)的對稱性以及增減性求解，也可以求出具體的相關的函數(shù)值． 　 13．如圖，在44的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，若將△AOC繞點O順時針旋轉90得到△BOD，則的長為（　　） A．π B．6π C．3π D．1.5π 【考點】旋轉的性質；弧長的計算． 【專題】計算題． 【分析】根據弧長公式列式計算即可得解． 【解答】解：的長==1.5π． 故選：D． 【點評】本題考查了旋轉的性質，弧長的計算，熟記弧長公式是解題的關鍵． 　 14．如圖，用一塊直徑為a的圓桌布平鋪在對角線長為a的正方形桌面上，若四周下垂的最大長度相等，則桌布下垂的最大長度x為（　?。? A． B． C． D． 【考點】垂徑定理的應用；正方形的性質． 【專題】計算題． 【分析】如圖，正方形ABCD為直徑為a的⊙O的內接正方形，作OE⊥BC于E，交⊙O于F，連接OB，則OB=a，則可判斷△OBE為等腰直角三角形，所以OE=OB=a，然后計算OF﹣OE即可． 【解答】解：如圖，正方形ABCD為直徑為a的⊙O的內接正方形，作OE⊥BC于E，交⊙O于F，連接OB，則OB=a， ∴△OBE為等腰直角三角形， ∴OE=OB=a， ∴EF=OF﹣OE=a﹣a=a． 即桌布下垂的最大長度x為a． 故選A． 【點評】本題考查了垂徑定理的應用：垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．也考查了正方形的性質． 　 15．已知一次函數(shù)y=﹣kx+k的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=﹣kx2﹣2x+k的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】根據一次函數(shù)的圖象和性質判斷k的取值范圍，確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標，得到答案． 【解答】解：從一次函數(shù)圖象可知，k＞1， ﹣k＜0，拋物線開口向下， ﹣＞﹣1，對稱軸在x=﹣1的右側， 與y軸的交點在（0，1）的上方． 故選：B． 【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象和性質、二次函數(shù)的圖象和性質，掌握性質、讀懂圖象從中獲取正確的信息是解題的關鍵，解答二次函數(shù)圖象問題時，要從開口方向、對稱軸和頂點坐標三個方面入手． 　 二、解答題：（本大題滿分75分，共9小題） 16．解方程：x（2x﹣5）=4x﹣10． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】由于方程左右兩邊都含有（2x﹣5），可將（2x﹣5）看作一個整體，然后移項，再分解因式求解． 【解答】解：原方程可變形為： x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）=0， （2x﹣5）（x﹣2）=0， 2x﹣5=0或x﹣2=0； 解得x1=，x2=2． 【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法． 　 17．已知拋物線的頂點為A（1，﹣4），且過點B（3，0）．求該拋物線的解析式． 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【專題】計算題． 【分析】根據頂點坐標設出頂點形式，把B坐標代入求出a的值，即可確定出解析式． 【解答】解：設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣4， ∵拋物線經過點B（3，0）， ∴a（3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1， ∴y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3． 【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵． 　 18．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（0，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）． （1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標； （2）畫出△ABC繞原點O順時針方向旋轉90后得到的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標； 【考點】作圖-旋轉變換；作圖-軸對稱變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）從三角形的各點向對稱軸引垂線并延長相同單位得到各點的對應點，順次連接即可，然后從坐標中讀出各點的坐標； （2）讓三角形的各頂點都繞點O順時針旋轉90后得到對應點，順次連接即可． 【解答】解：（1）點C1的坐標（﹣1，﹣3）． （2）所作圖形如下： ． 根據圖形結合坐標系可得：C2（3，1）． 【點評】本題考查軸對稱及旋轉作圖的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握兩種幾何變換的特點，根據題意找到各點的對應點． 　 19．已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根． （1）求k的取值范圍； （2）若x1，x2為該方程的兩個實數(shù)根且滿足x12x22﹣x1﹣x2=115，求k的值． 【考點】根與系數(shù)的關系；根的判別式． 【分析】（1）根據方程有兩個不相等的實數(shù)根可得△=36﹣4k＞0，解不等式求出k的取值范圍； （2）由根與系數(shù)的關系可得x1+x2=6，x1?x2=k，代入x12x22﹣x1﹣x2=115得到關于k的方程，結合k的取值范圍解方程即可． 【解答】解：（1）由題意可得△=36﹣4k＞0， 解得k＜9； （2）∵x1，x2為該方程的兩個實數(shù)根， ∴x1+x2=6，x1?x2=k， ∵x12x22﹣x1﹣x2=115， ∴k2﹣6=115， 解得k=11． ∵k＜9， ∴k=﹣11． 【點評】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式和根與系數(shù)的關系的應用，（1）△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0時，方程沒有實數(shù)根；（4）x1+x2=﹣；（5）x1?x2=． 　 20．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為E． （1）求證：BC=BD； （2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的長． 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【專題】探究型． 【分析】（1）直接根據垂徑定理即可得出結論； （2）先根據垂徑定理判斷出△ABD是直角三角形，再根據勾股定理求出AB的長，由AB?DE=AD?BD即可求出DE的長，再由CD=2DE即可得出結論． 【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD， ∴， ∴BC=BD； （2）解：∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB=90， ∴AB===25， ∵AB?DE=AD?BD， ∴25DE=2015． ∴DE=12． ∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD， ∴CD=2DE=212=24． 【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧是解答此題的關鍵． 　 21．如圖所示，有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位AB時，寬20m，水位上升3m就達到警戒線CD，這時水面寬度為10m． （1）在如圖的坐標系中求拋物線的解析式； （2）若洪水到來時，水位以每小時0.2m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時才能到達拱橋頂？ 【考點】二次函數(shù)的應用． 【專題】函數(shù)思想． 【分析】先設拋物線的解析式，再找出幾個點的坐標，代入解析式后可求解． 【解答】解：（1）設所求拋物線的解析式為：y=ax2（a≠0）， 由CD=10m，可設D（5，b）， 由AB=20m，水位上升3m就達到警戒線CD， 則B（10，b﹣3）， 把D、B的坐標分別代入y=ax2得： ， 解得． ∴y=； （2）∵b=﹣1， ∴拱橋頂O到CD的距離為1m， ∴=5（小時）． 所以再持續(xù)5小時到達拱橋頂． 【點評】命題立意：此題是把一個實際問題通過數(shù)學建模，轉化為二次函數(shù)問題，用二次函數(shù)的性質加以解決． 　 22．（2011?枝江市模擬）某工廠從1月份起，每月生產收入是22萬元，但在生產過程中會引起環(huán)境污染；若再按現(xiàn)狀生產，將會受到環(huán)保部門的處罰，每月罰款2萬元；如果投資111萬元治理污染，治污系統(tǒng)可在1月份啟用，這樣，該廠不但不受處罰，還可降低生產成本，使1至3月的生產收入以相同的百分率遞增，經測算，投資治污后，1月份生產收入為25萬元，1至3月份的生產累計可達91萬元；3月份以后，每月生產收入穩(wěn)定在3月份的水平． （1）求出投資治污后2、3月份生產收入增長的百分率（參考數(shù)據：3.62=1.912，11.56=3.402） （2）如果把利潤看做生產累計收入減去治理污染的投資額或環(huán)保部門的處罰款，試問：治理污染多少個月后，所投資金開始見效？（即治污后所獲利潤不小于不治污情況下所獲利潤）． 【考點】一元二次方程的應用；一元一次不等式組的應用． 【專題】增長率問題． 【分析】（1）設每月的增長率為x，那么2月份的生產收入為25（1+x），三月份的生產收入為25（1+x）2，根據1至3月份的生產累計可達91萬元，可列方程求解． （2）設y月后開始見成效，根據利潤看做生產累計收入減去治理污染的投資額或環(huán)保部門的處罰款且治污后所獲利潤不小于不治污情況下所獲利潤可列不等式求解． 【解答】解：（1）設每月的增長率為x，由題意得： 25+25（1+x）+25（1+x）2=91 解得，x=0.2，或x=﹣3.2（不合題意舍去） 答：每月的增長率是20%． （2）三月份的收入是：25（1+20%）2=36（萬元） 設y月后開始見成效，由題意得： 91+36（y﹣3）﹣111≥22y﹣2y 解得，y≥8 答：治理污染8個月后開始見成效． 【點評】本題考查理解題意能力，關鍵是找到1至3月份的生產累計可達91萬元和治污后所獲利潤不小于不治污情況下所獲利潤這個等量關系和不等量關系可列方程和不等式求解． 　 23．如圖1，把一個含45角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形邊CB、CD上，連接AF，取AF中點M，EF的中點N，連接MD、MN． （1）連接AE，則△AEF是　等腰　三角形，MD、MN的數(shù)量關系是　MD=MN　． （2）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉180，其他條件不變，則MD、MN的數(shù)量關系還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由． （3）將圖1中正方形ABCD及直角三角板ECF同時繞點C順時針旋轉90，如圖3，其他條件不變，則MD、MN的數(shù)量關系還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由． 【考點】四邊形綜合題；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；等腰直角三角形；三角形中位線定理；正方形的性質． 【分析】（1）根據正方形的性質以及等腰直角三角形的性質得出CE=CF，繼而證出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，即△AEF是等腰三角形；依據直角三角形斜邊上中線的性質以及三角形的中位線的性質，可得到MN與MD的數(shù)量關系； （2）連接AE，根據正方形的性質以及等腰直角三角形的性質，得出BE=DF，繼而證出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，再依據直角三角形斜邊上中線的性質，可得DM=AF，根據三角形的中位線的性質，可得MN=AE，最后得出MN與MD的數(shù)量關系； （3）先連接AE，A′F，根據等腰直角三角形的性質得出CE=CF，繼而證出△ADE≌△A′D′F，得到AE=AF，再依據三角形的中位線的性質，可得DM=A′F，MN=AE，最后得出MN與MD的數(shù)量關系． 【解答】解：（1）∵FC=EC，DC=BC， ∴DF=BE， 又∵AB=AD，∠B=∠ADF=90， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形， 又∵M、N分別是AF與EF的中點， ∴Rt△ADF中，DM=AF， △AEF中，MN=AE， ∴DM=MN， 故答案為：等腰，DM=MN； （2）MD=MN仍成立， 證明：連接AE， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF， 又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF， ∵在Rt△ADF中，點M為AF的中點， ∴DM=AF， ∵點M為AF的中點，點N為EF的中點， ∴MN=AE， ∴DM=MN； （3）MD=MN仍成立，理由如下： 連接AE，A′F， ∵CD=CD′，CE=CF， ∴CD﹣CE=CD′﹣CF， 即DE=D′F， 又∵AD=A′D′，∠ADE=∠D′， ∴△ADE≌△A′D′F（SAS）， ∴AE=A′F， 又∵點D是AA′的中點，點M為AF的中點，點N為EF的中點， ∴MN，MD分別為△AEF和△AA′F的中位線， ∴MN=AE，DM=A′F， ∴MN=DM． 【點評】本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題需要掌握正方形的性質、等腰直角三角形的性質以及全等三角形的性質和判定，綜合性較強，難度較大．解題時注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的中位線等于第三邊的一半，是得出線段相等數(shù)量關系的主要依據． 　 24．如圖，拋物線y=（x+1）2+k 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C （0，﹣3）． （1）求拋物線的解析式； （2）點M是拋物線上一動點，且在第三象限； ①當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標； ②在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△AMP是以AM為底的等腰直角三角形，若存在，請求出點P和點M的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）將C（0，﹣3）代入拋物線的解析式求得k的值，從而得到拋物線的解析式； （2）連結AC，過點M作MD⊥AC，交AD于點D．先求得點A、B的坐標，然后再求得直線AC的解析式，設M（x，x2+2x﹣3），則D（x，﹣x﹣3），則MD=﹣x2﹣3x，然后依據四邊形AMCB的面積=△ABC面積+△AMC面積列出S與x的函數(shù)關系式，然后依據配方法求得二次函數(shù)的最大值，從而可求得點M的坐標； （3）先求得拋物線的對稱軸方程為x=﹣1，然后過點M作MD⊥直線x=﹣1，垂足為D，設直線x=﹣1與x軸交于點E，先證明△APE≌△PMD，從而得到EP=MD，AE=PD．設點P（﹣1，a），點M（a﹣1，a﹣2）．將點M的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到點M與點P的坐標． 【解答】解：（1）∵y=（x+1）2+k與y軸交于點C（0，﹣3） ﹣3=1+k，得，k=﹣4 ∴拋物線解析式為y=（x+1）2﹣4，即y=x2+2x﹣3． （2）如圖1所示：連結AC，過點M作MD⊥AC，交AD于點D． 令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1， ∴A（﹣3，0）、B（1，0）． 設直線AC的解析式為y=kx+b． ∵將A（﹣3，0）、C（0，﹣3）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣3． ∴直線AC解析式為y=﹣x﹣3． 設M（x，x2+2x﹣3），則D（x，﹣x﹣3），則MD=﹣x2﹣3x． ∵四邊形AMCB的面積=△ABC面積+△AMC面積， ∴四邊形AMCB的面積=MD?AO+AB?OC=（﹣x2﹣3x）3+43=﹣x2﹣x+6=﹣（x+）2+． ∴當x=﹣時，S最大值為，點M的坐標為（﹣，﹣）． （3）存在，理由如下． ∵x=﹣=﹣1， ∴拋物線的對稱軸為x=﹣1． 如圖2所示：過點M作MD⊥直線x=﹣1，垂足為D，設直線x=﹣1與x軸交于點E ∵△APM為等腰直角三角形， ∴AP=PM，∠APE+∠MPD=90． ∵∠MPD+∠PMD=90， ∴∠PMD=∠APE． 在△APE和△PMD中， ∴△APE≌△PMD． ∴EP=MD，AE=PD． 設點P（﹣1，a），點M（a﹣1，a﹣2）． 將M點代入y=x2+2x﹣3中，得（a﹣1）2+2（a﹣1）﹣3=a﹣2，整理得：a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1， ∵點P在x軸的下方， ∴a=﹣1． ∴P（﹣1，﹣1）、M（﹣2，﹣3）． 【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質和判斷、求二次函數(shù)的最大值，列出S與x的函數(shù)關系式是解答問題（2）的關鍵，用含a的式子表示點M的坐標是解答問題（3）的關鍵．