八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷（含解析） 北師大版

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江西省吉安市吉州區(qū)2015-2016學(xué)年八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分。每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)） 1．不等式2x﹣1＞3的解集為（　　） A．x＜2 B．x＞1 C．x＜1 D．x＞2 2．下列圖形是我國(guó)國(guó)產(chǎn)品牌汽車(chē)的標(biāo)識(shí)，在這些汽車(chē)標(biāo)識(shí)中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（　?。? A． B． C． D． 3．分式方程=的解為（　?。? A．x=0 B．x=3 C．x=5 D．x=9 4．如圖所示，在△ABC中，AC=BC，∠C=90，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AB=6cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（　?。? A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm 5．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC交于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠ABC，把△BAE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BA′E′，連接DA′，若∠ADC=60，∠ADA′=50，則∠DA′E′的大小為（　　） A．130 B．150 C．160 D．170 6．一次函數(shù)y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖，則下列結(jié)論：①當(dāng)x＜3時(shí)，y1＞0；②當(dāng)x＜3時(shí)，y2＞0；③當(dāng)x＞3時(shí)，y1＜y2中，正確的個(gè)數(shù)是（　?。? A．0 B．1 C．2 D．3 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 7．如果分式有意義，那么x的取值范圍是______． 8．如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EA組成的平面圖形，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______． 9．閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題： 尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線． 已知：線段AB．（如圖1） 小蕓的作法如下： 如圖2 （1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)． （2）作直線CD 老師說(shuō)：“小蕓的作法正確．” 請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是______． 10．分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的結(jié)果是______． 11．如圖，四邊形ABCD中，∠A=90，AB=3，AD=3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_____． 12．在同一平面內(nèi)，已知點(diǎn)P在等邊△ABC外部，且與等邊△ABC三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)形成的三角形都是等腰三角形，則∠APC的度數(shù)為_(kāi)_____． 　 三、解答題（共5小題，每小題6分，滿分30分） 13．解不等式組，并寫(xiě)出它的所有整數(shù)解． 請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答． （1）解不等式①，得______． （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)： （4）原不等式的解集為_(kāi)_____． （5）則不等式組的所有整數(shù)解為：______． 14．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC上邊的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E，求證：∠CBE=∠BAD． 15．先化簡(jiǎn)：（﹣1），再選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)膞值代入求值． 16．在三個(gè)整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，請(qǐng)你任意選出兩個(gè)進(jìn)行加（或減）運(yùn)算，使所得整式可以因式分解，并進(jìn)行因式分解． 17．已知：如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，且OE=OB，連接DE．求證：DE⊥BE． 　 四、解答題（共4小題，每小題8分，滿分32分） 18．為解決“最后一公里”的交通接駁問(wèn)題，某市投放了大量公租自行車(chē)使用，到2014年底，全市已有公租自行車(chē)25000輛，租賃點(diǎn)600個(gè)，預(yù)計(jì)到2016年底，全市將有公租自行車(chē)50000輛，并且平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車(chē)數(shù)量是2014年底平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車(chē)數(shù)量的1.2倍，預(yù)計(jì)到2016年底，全市將有租賃點(diǎn)多少個(gè)？ 19．如圖1，?ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O，與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH過(guò)點(diǎn)O，與AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH． （1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形； （2）如圖2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）． 20．△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示． （1）作△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1． （2）將△A1B1C1向右平移4個(gè)單位，作出平移后的△A2B2C2． （3）在x軸上求作一點(diǎn)P，使PA1+PC2的值最小，并寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不寫(xiě)解答過(guò)程，直接寫(xiě)出結(jié)果） 21．小明到服裝店參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問(wèn)題： 服裝店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲乙兩種服裝，甲種每件進(jìn)價(jià)80元，售價(jià)120元；乙種每件進(jìn)價(jià)60元，售價(jià)90元．計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件． （1）若購(gòu)進(jìn)這100件服裝的費(fèi)用不得超過(guò)7500，則甲種服裝最多購(gòu)進(jìn)多少件？ （2）在（1）的條件下，該服裝店在6月21日“父親節(jié)”當(dāng)天對(duì)甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0＜a＜20）元的價(jià)格進(jìn)行優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)，乙種服裝價(jià)格不變，那么該服裝店應(yīng)如何調(diào)整進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)？ 　 五、解答題（共1小題，滿分10分） 22．（10分）（2015?重慶）如果把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”．例如：自然數(shù)64746從最高位到個(gè)位排出的一串?dāng)?shù)字是6，4，7，4，6，從個(gè)位到最高位排出的一串?dāng)?shù)字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和諧數(shù)”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和諧數(shù)”． （1）請(qǐng)你直接寫(xiě)出3個(gè)四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個(gè)四位數(shù)“和諧數(shù)”能否被11整除，并說(shuō)明理由； （2）已知一個(gè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x（1≤x≤4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式． 　 六、解答題（共1小題，滿分12分） 23．（12分）（2015?重慶）在△ABC中，AB=AC，∠A=60，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120，DE與線段AB相交于點(diǎn)E．DF與線段AC（或AC的延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)F． （1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長(zhǎng)； （2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F．求證：BE+CF=AB； （3）如圖3，將（2）中的∠EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，作DN⊥AC于點(diǎn)N，若DN⊥AC于點(diǎn)N，若DN=FN，求證：BE+CF=（BE﹣CF）． 　  2015-2016學(xué)年江西省吉安市吉州區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分。每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)） 1．不等式2x﹣1＞3的解集為（　　） A．x＜2 B．x＞1 C．x＜1 D．x＞2 【考點(diǎn)】解一元一次不等式． 【分析】不等式移項(xiàng)合并，把x形式化為1，即可求出解集． 【解答】解：不等式移項(xiàng)合并得：2x＞4， 解得：x＞2， 故選D 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 2．下列圖形是我國(guó)國(guó)產(chǎn)品牌汽車(chē)的標(biāo)識(shí)，在這些汽車(chē)標(biāo)識(shí)中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】中心對(duì)稱(chēng)圖形． 【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義和圖形的特點(diǎn)即可求解． 【解答】解：由中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義知，繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后能與原圖重合，只有選項(xiàng)B是中心對(duì)稱(chēng)圖形． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念：如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后能夠與自身重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)中心． 　 3．分式方程=的解為（　?。? A．x=0 B．x=3 C．x=5 D．x=9 【考點(diǎn)】解分式方程． 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x=3x﹣9， 解得：x=9， 經(jīng)檢驗(yàn)x=9是分式方程的解， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根． 　 4．如圖所示，在△ABC中，AC=BC，∠C=90，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AB=6cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（　?。? A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm 【考點(diǎn)】等腰直角三角形；角平分線的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再由角平分線的性質(zhì)得出DE=CD，進(jìn)而可得出結(jié)論． 【解答】解：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90，AB=6cm， ∴BC2+AC2=AB2，即2BC2=36，解得BC=AC=3cm． ∵AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E， ∴CD=DE． 在Rt△ACD與Rt△AED中， ∵， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE=AC=3cm， ∴BE=AB﹣AE=（6﹣3）cm， ∴△DEB的周長(zhǎng)=（BD+DE）+BE=BC+BE=3+6﹣3=6cm． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰直角三角形，先根據(jù)題意得出BC的長(zhǎng)是解答此題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC交于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠ABC，把△BAE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BA′E′，連接DA′，若∠ADC=60，∠ADA′=50，則∠DA′E′的大小為（　　） A．130 B．150 C．160 D．170 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等得∠ABC=60，由平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)得∠BA′D=130，由旋轉(zhuǎn)得∠BA′E′=30，兩角相加可得結(jié)論． 【解答】解：在?ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠BA′D=180﹣∠ADA′=180﹣50=130， ∵∠ADC=60， ∴∠ABC=∠ADC=60， 在Rt△AEB中，∠BAE=90﹣60=30， 由旋轉(zhuǎn)得：∠BA′E′=∠BAE=30， ∴∠DA′E′=130+30=160； 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)和平行四邊形的性質(zhì)，難度不大，所求的角不能直接求出時(shí)，可將此角分成兩個(gè)角來(lái)求；利用平行四邊形對(duì)邊平行和對(duì)角相等解決問(wèn)題；同時(shí)，還運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)角相等得出角的大小關(guān)系． 　 6．一次函數(shù)y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖，則下列結(jié)論：①當(dāng)x＜3時(shí)，y1＞0；②當(dāng)x＜3時(shí)，y2＞0；③當(dāng)x＞3時(shí)，y1＜y2中，正確的個(gè)數(shù)是（　?。? A．0 B．1 C．2 D．3 【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的位置進(jìn)行判斷，從函數(shù)圖象來(lái)看，就是確定直線y=kx+b是否在在x軸上（或下）方． 【解答】解：根據(jù)圖象可知： ①當(dāng)x＜3時(shí)，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象在x軸上方，故y1＞0； ②當(dāng)x＜3時(shí)，一次函數(shù)y2=x+a的圖象一部分在x軸上方，一部分在x軸下方，故y2＞0或y2=0或y2＜0； ③當(dāng)x＞3時(shí)，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象在一次函數(shù)y2=x+a的圖象的下方，故y1＜y2， 所以正確的有①和③． 故選（C） 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍． 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 7．如果分式有意義，那么x的取值范圍是　x≠﹣3?。? 【考點(diǎn)】分式有意義的條件． 【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0，列出算式，計(jì)算得到答案． 【解答】解：由題意得，x+3≠0， 即x≠﹣3， 故答案為：x≠﹣3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式有意義的條件，從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：（1）分式無(wú)意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零． 　 8．如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EA組成的平面圖形，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　360　． 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】首先根據(jù)圖示，可得∠1=180﹣∠BAE，∠2=180﹣∠ABC，∠3=180﹣∠BCD，∠4=180﹣∠CDE，∠5=180﹣∠DEA，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出五邊形ABCDE的內(nèi)角和是多少，再用1805減去五邊形ABCDE的內(nèi)角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可． 【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 =（180﹣∠BAE）+（180﹣∠ABC）+（180﹣∠BCD）+（180﹣∠CDE）+（180﹣∠DEA） =1805﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA） =900﹣（5﹣2）180 =900﹣540 =360． 故答案為：360． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）n邊形的內(nèi)角和=（n﹣2）?180 （n≥3）且n為整數(shù)）．（2）多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無(wú)論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360． 　 9．閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題： 尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線． 已知：線段AB．（如圖1） 小蕓的作法如下： 如圖2 （1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)． （2）作直線CD 老師說(shuō)：“小蕓的作法正確．” 請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是　到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上?。? 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】直接利用作圖方法得出C點(diǎn)到A，B點(diǎn)距離相等，D點(diǎn)到A，B點(diǎn)距離相等，即可得出直線CD垂直平分AB． 【解答】解：小蕓的作圖依據(jù)是：到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上． 故答案為：到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了基本作圖，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 　 10．分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的結(jié)果是?。╝﹣2b）2　． 【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法． 【分析】首先去括號(hào)，進(jìn)而合并同類(lèi)項(xiàng)，再利用完全平方公式分解因式得出即可． 【解答】解：（a﹣b）（a﹣4b）+ab =a2﹣5ab+4b2+ab =a2﹣4ab+4b2 =（a﹣2b）2． 故答案為：（a﹣2b）2． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多項(xiàng)式乘法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵． 　 11．如圖，四邊形ABCD中，∠A=90，AB=3，AD=3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為　3?。? 【考點(diǎn)】三角形中位線定理；勾股定理． 【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=DN，從而可知DN最大時(shí)，EF最大，因?yàn)镹與B重合時(shí)DN最大，此時(shí)根據(jù)勾股定理求得DN=DB=6，從而求得EF的最大值為3． 【解答】解：∵ED=EM，MF=FN， ∴EF=DN， ∴DN最大時(shí)，EF最大， ∵N與B重合時(shí)DN最大， 此時(shí)DN=DB==6， ∴EF的最大值為3． 故答案為3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵． 　 12．在同一平面內(nèi)，已知點(diǎn)P在等邊△ABC外部，且與等邊△ABC三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)形成的三角形都是等腰三角形，則∠APC的度數(shù)為　15或30或60或75或150?。? 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)點(diǎn)P在等邊△ABC外部，且與等邊△ABC三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)形成的三角形都是等腰三角形，找出點(diǎn)P的位置，求得∠APC的度數(shù)即可． 【解答】解：根據(jù)點(diǎn)P在等邊△ABC外部，且與等邊△ABC三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)形成的三角形都是等腰三角形， 作出如下圖形： 由圖可得：∠AP1C=15，∠AP2C=30，∠AP3C=60，∠AP4C=75，∠AP5C=150． 故答案為：15或30或60或75或150 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形以及等腰三角形的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形進(jìn)行求解，注意分類(lèi)思想的運(yùn)用． 　 三、解答題（共5小題，每小題6分，滿分30分） 13．解不等式組，并寫(xiě)出它的所有整數(shù)解． 請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答． （1）解不等式①，得　x≥3　． （2）解不等式②，得　x≤5??； （3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)： （4）原不等式的解集為　3≤x≤5?。? （5）則不等式組的所有整數(shù)解為：　3，4，5?。? 【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解；在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組． 【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出即可； （2）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出即可； （3）把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)即可； （4）根據(jù)數(shù)軸求出不等式組的解集即可； （5）根據(jù)不等式組的解集求出不等式組的整數(shù)解即可． 【解答】解： （1）解不等式①得：x≥3， 故答案為：x≥3； （2）解不等式②得：x≤5， 故答案為：x≤5； （3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示為：； （4）所以原不等式組的解集為3≤x≤5， 故答案為：3≤x≤5； （5）不等式組的所有整數(shù)解為3，4，5， 故答案為：3，4，5． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，能根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵． 　 14．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC上邊的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E，求證：∠CBE=∠BAD． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CAD=∠BAD，根據(jù)同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根據(jù)等量關(guān)系得到∠CBE=∠BAD． 【解答】證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角的知識(shí)，解題要注意等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合． 　 15．先化簡(jiǎn)：（﹣1），再選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)膞值代入求值． 【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值． 【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x=2代入計(jì)算即可求出值． 【解答】解：原式=（﹣）? =? =﹣x+1， 當(dāng)x=2時(shí)，原式=﹣2+1=﹣1． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 16．在三個(gè)整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，請(qǐng)你任意選出兩個(gè)進(jìn)行加（或減）運(yùn)算，使所得整式可以因式分解，并進(jìn)行因式分解． 【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；整式的加減． 【分析】本題考查整式的加法運(yùn)算，要先去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)，最后進(jìn)行因式分解．本題答案不唯一． 【解答】解：方法一：（x2+2xy）+x2=2x2+2xy=2x（x+y）； 方法二：（y2+2xy）+x2=（x+y）2； 方法三：（x2+2xy）﹣（y2+2xy）=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）； 方法四：（y2+2xy）﹣（x2+2xy）=y2﹣x2=（y+x）（y﹣x）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減，整式的加減運(yùn)算實(shí)際上就是去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)，因式分解時(shí)先考慮提取公因式，沒(méi)有公因式的再考慮運(yùn)用完全平方公式或平方差公式進(jìn)行因式分解． 　 17．已知：如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，且OE=OB，連接DE．求證：DE⊥BE． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出OD=OB，再根據(jù)OE=OB，得出OE=OB=OD，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得∠OEB+∠OED=90，即可得出結(jié)論． 【解答】證明：∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O， ∴OD=OB， 又∵OE=OB， ∴OE=OB=OD， ∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED， 又∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180， ∴∠OEB+∠OED=90， ∴DE⊥BE． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，求得∠BED的度數(shù)． 　 四、解答題（共4小題，每小題8分，滿分32分） 18．為解決“最后一公里”的交通接駁問(wèn)題，某市投放了大量公租自行車(chē)使用，到2014年底，全市已有公租自行車(chē)25000輛，租賃點(diǎn)600個(gè)，預(yù)計(jì)到2016年底，全市將有公租自行車(chē)50000輛，并且平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車(chē)數(shù)量是2014年底平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車(chē)數(shù)量的1.2倍，預(yù)計(jì)到2016年底，全市將有租賃點(diǎn)多少個(gè)？ 【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)租賃點(diǎn)的公租自行車(chē)數(shù)量變化表示出2014年和2016年平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車(chē)數(shù)量，進(jìn)而得出等式求出即可． 【解答】解：設(shè)到2016年底，全市將有租賃點(diǎn)x個(gè)，根據(jù)題意可得：1.2=， 解得：x=1000， 經(jīng)檢驗(yàn)得：x=1000是原方程的根， 答：到2016年底，全市將有租賃點(diǎn)1000個(gè)． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵． 　 19．如圖1，?ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O，與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH過(guò)點(diǎn)O，與AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH． （1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形； （2）如圖2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）． 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠EAO=∠FCO，證出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到結(jié)論； （2）根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得到結(jié)論． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△OAE與△OCF中， ∴△OAE≌△OCF， ∴OE=OF， 同理OG=OH， ∴四邊形EGFH是平行四邊形； （2）解：與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH； ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∵EF∥AB，GH∥BC， ∴四邊形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH為平行四邊形， ∵EF過(guò)點(diǎn)O，GH過(guò)點(diǎn)O， ∵OE=OF，OG=OH， ∴?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH，?ACHD它們面積=?ABCD的面積， ∴與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 　 20．△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示． （1）作△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1． （2）將△A1B1C1向右平移4個(gè)單位，作出平移后的△A2B2C2． （3）在x軸上求作一點(diǎn)P，使PA1+PC2的值最小，并寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不寫(xiě)解答過(guò)程，直接寫(xiě)出結(jié)果） 【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題；作圖-平移變換． 【分析】（1）延長(zhǎng)AC到A1，使得AC=A1C1，延長(zhǎng)BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出圖象； （2）根據(jù)△A1B1C1將各頂點(diǎn)向右平移4個(gè)單位，得出△A2B2C2； （3）作出A1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′C2，交x軸于點(diǎn)P，再利用相似三角形的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可． 【解答】解；（1）如圖所示： （2）如圖所示： （3）如圖所示：作出A1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′C2，交x軸于點(diǎn)P， 可得P點(diǎn)坐標(biāo)為：（，0）． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的平移與旋轉(zhuǎn)和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用軸對(duì)稱(chēng)求最小值問(wèn)題是考試重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握． 　 21．小明到服裝店參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問(wèn)題： 服裝店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲乙兩種服裝，甲種每件進(jìn)價(jià)80元，售價(jià)120元；乙種每件進(jìn)價(jià)60元，售價(jià)90元．計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件． （1）若購(gòu)進(jìn)這100件服裝的費(fèi)用不得超過(guò)7500，則甲種服裝最多購(gòu)進(jìn)多少件？ （2）在（1）的條件下，該服裝店在6月21日“父親節(jié)”當(dāng)天對(duì)甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0＜a＜20）元的價(jià)格進(jìn)行優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)，乙種服裝價(jià)格不變，那么該服裝店應(yīng)如何調(diào)整進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)？ 【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用． 【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種服裝x件，根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式得出結(jié)論； （2）找出利潤(rùn)w關(guān)于購(gòu)進(jìn)甲種服裝x之間的關(guān)系式，分a的情況討論． 【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種服裝x件，由題意可知： 80x+60（100﹣x）≤7500，解得：x≤75． 答：甲種服裝最多購(gòu)進(jìn)75件． （2）設(shè)總利潤(rùn)為w元，因?yàn)榧追N服裝不少于65件，所以65≤x≤75， w=（120﹣80﹣a）x+（90﹣60）（100﹣x）=（10﹣a）x+3000， 方案1：當(dāng)0＜a＜10時(shí)，10﹣a＞0，w隨x的增大而增大， 所以當(dāng)x=75時(shí)，w有最大值，則購(gòu)進(jìn)甲種服裝75件，乙種服裝25件； 方案2：當(dāng)a=10時(shí)，所有方案獲利相同，所以按哪種方案進(jìn)貨都可以； 方案3：當(dāng)10＜a＜20時(shí)，10﹣a＜0，w隨x的增大而減少， 所以當(dāng)x=65時(shí)，w有最大值，則購(gòu)進(jìn)甲種服裝65件，乙種服裝35件． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用與解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次不等式；（2）找出利潤(rùn)w關(guān)于購(gòu)進(jìn)甲種服裝x的關(guān)系式，由函數(shù)的性質(zhì)分a的情況討論．本題屬于中檔題，（1）難度不大，（2）需要分a的情況討論． 　 五、解答題（共1小題，滿分10分） 22．（10分）（2015?重慶）如果把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”．例如：自然數(shù)64746從最高位到個(gè)位排出的一串?dāng)?shù)字是6，4，7，4，6，從個(gè)位到最高位排出的一串?dāng)?shù)字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和諧數(shù)”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和諧數(shù)”． （1）請(qǐng)你直接寫(xiě)出3個(gè)四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個(gè)四位數(shù)“和諧數(shù)”能否被11整除，并說(shuō)明理由； （2）已知一個(gè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x（1≤x≤4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式． 【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)；函數(shù)關(guān)系式． 【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”寫(xiě)出四個(gè)四位數(shù)的“和諧數(shù)”；設(shè)任意四位數(shù)“和諧數(shù)”形式為：abba（a、b為自然數(shù)），則這個(gè)四位數(shù)為a103+b102+b10+a=1001a+110b，利用整數(shù)的整除得到=91a+10b，由此可判斷任意四位數(shù)“和諧數(shù)”都可以被11整除； （2）設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：xyx，則這個(gè)三位數(shù)為x?102+y?10+x=101x+10y，由于=9x+y+，根據(jù)整數(shù)的整除性得到2x﹣y=0，于是可得y與x的關(guān)系式． 【解答】解：（1）四位“和諧數(shù)”：1221，1331，1111，6666； 任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”都能被11整數(shù)，理由如下： 設(shè)任意四位數(shù)“和諧數(shù)”形式為：abba（a、b為自然數(shù)），則a103+b102+b10+a=1001a+110b， ∵=91a+10b ∴四位數(shù)“和諧數(shù)”abba能被11整數(shù)； ∴任意四位數(shù)“和諧數(shù)”都可以被11整除 （2）設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：xyx，則x?102+y?10+x=101x+10y， =9x+y+， ∵1≤x≤4，101x+10y能被11整除， ∴2x﹣y=0， ∴y=2x（1≤x≤4）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問(wèn)題；利用因式分解解決證明問(wèn)題；利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題．靈活利用整數(shù)的整除性． 　 六、解答題（共1小題，滿分12分） 23．（12分）（2015?重慶）在△ABC中，AB=AC，∠A=60，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120，DE與線段AB相交于點(diǎn)E．DF與線段AC（或AC的延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)F． （1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長(zhǎng)； （2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F．求證：BE+CF=AB； （3）如圖3，將（2）中的∠EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，作DN⊥AC于點(diǎn)N，若DN⊥AC于點(diǎn)N，若DN=FN，求證：BE+CF=（BE﹣CF）． 【考點(diǎn)】幾何變換綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】（1）如圖1，易求得∠B=60，∠BED=90，BD=2，然后運(yùn)用三角函數(shù)的定義就可求出BE的值； （2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，易證△MBD≌△NCD，則有BM=CN，DM=DN，進(jìn)而可證到△EMD≌△FND，則有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB； （3）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，如圖3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，從而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．然后在Rt△BMD中，運(yùn)用三角函數(shù)就可得到DM=BM，即BE+CF=（BE﹣CF）． 【解答】解：（1）如圖1， ∵AB=AC，∠A=60， ∴△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠C=60，BC=AC=AB=4． ∵點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)， ∴BD=DC=BC=2． ∵DF⊥AC，即∠AFD=90， ∴∠AED=360﹣60﹣90﹣120=90， ∴∠BED=90， ∴BE=BDcos∠B=2cos60=2=1； （2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2， 則有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90． ∵∠A=60，∴∠MDN=360﹣60﹣90﹣90=120． ∵∠EDF=120，∴∠MDE=∠NDF． 在△MBD和△NCD中， ， ∴△MBD≌△NCD， ∴BM=CN，DM=DN． 在△EMD和△FND中， ， ∴△EMD≌△FND， ∴EM=FN， ∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN =2BM=2BDcos60=BD=BC=AB； （3）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，如圖3． 同（1）可得：∠B=∠ACD=60． 同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN． ∵DN=FN，∴DM=DN=FN=EM， ∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM， BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM． 在Rt△BMD中，DM=BM?tanB=BM， ∴BE+CF=（BE﹣CF）． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，通過(guò)證明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解決本題的關(guān)鍵．