高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題八 系列4選講 第2講 不等式選講練習 理
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第2講不等式選講1(2016課標全國)已知函數(shù)f(x),M為不等式f(x)2的解集(1)求M;(2)證明:當a,bM時,|ab|1ab|.(1)解f(x)當x時,由f(x)2得2x1,所以,1x;當x時,f(x)2;當x時,由f(x)2得2x2,解得x1,所以,x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)證明由(1)知,當a,bM時,1a1,1b1,從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0,即(ab)2(1ab)2,因此|ab|0.(1)當a1時,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍解(1)當a1時,f(x)1化為|x1|2|x1|10.當x1時,不等式化為x40,無解;當1x0,解得x0,解得1x1的解集為.(2)由題設可得,f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A,B(2a1,0),C(a,a1),ABC的面積為(a1)2.由題設得(a1)26,故a2.所以a的取值范圍為(2,)本部分主要考查絕對值不等式的解法.求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍,不等式的證明等,結合集合的運算、函數(shù)的圖象和性質、恒成立問題及基本不等式,絕對值不等式的應用成為命題的熱點,主要考查基本運算能力與推理論證能力及數(shù)形結合思想、分類討論思想.熱點一含絕對值不等式的解法含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a;(2)|f(x)|0)af(x)a;(3)對形如|xa|xb|c,|xa|xb|c的不等式,可利用絕對值不等式的幾何意義求解例1已知函數(shù)f(x)|xa|,其中a1.(1)當a2時,求不等式f(x)4|x4|的解集;(2)已知關于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2,求a的值解(1)當a2時,f(x)|x4|當x2時,由f(x)4|x4|得2x64,解得x1;當2x4時,f(x)4|x4|無解;當x4時,由f(x)4|x4|得2x64,解得x5;所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x),則h(x)由|h(x)|2,解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2,所以于是a3.思維升華(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟:求零點;劃區(qū)間、去絕對值號;分別解去掉絕對值的不等式;取每個結果的并集,注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值(2)用圖象法、數(shù)形結合可以求解含有絕對值的不等式,使得代數(shù)問題幾何化,既通俗易懂,又簡潔直觀,是一種較好的方法跟蹤演練1已知函數(shù)f(x)|x2|x5|.(1)證明:3f(x)3;(2)求不等式f(x)x28x15的解集(1)證明f(x)|x2|x5|當2x5時,32x73.所以3f(x)3.(2)由(1)可知,當x2時,f(x)x28x15的解集為空集;當2x5時,f(x)x28x15的解集為x|5xy.求證:2x2y3.(2)已知實數(shù)x,y滿足:|xy|,|2xy|,求證:|y|0,y0,xy0,2x2y2(xy)(xy)(xy)33,所以2x2y3,(2)因為3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|,由題設知|xy|,|2xy|,從而3|y|,所以|y|.思維升華(1)作差法應該是證明不等式的常用方法作差法證明不等式的一般步驟:作差;分解因式;與0比較;結論關鍵是代數(shù)式的變形能力(2)在不等式的證明中,適當“放”“縮”是常用的推證技巧跟蹤演練2(1)若a,bR,求證:.(2)已知a,b,c均為正數(shù),ab1,求證:1.證明(1)當|ab|0時,不等式顯然成立當|ab|0時,由0|ab|a|b|,所以.(2)因為b2a,c2b,a2c,故(abc)2(abc),即abc,所以1.熱點三柯西不等式的應用柯西不等式(1)設a,b,c,d均為實數(shù),則(a2b2)(c2d2)(acbd)2,當且僅當adbc時等號成立(2)設a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是實數(shù),則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2,當且僅當bi0(i1,2,n)或存在一個數(shù)k,使得aikbi(i1,2,n)時,等號成立例3(2015福建)已知a0,b0,c0,函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值;(2)求a2b2c2的最小值解(1)因為f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c,當且僅當axb時,等號成立又a0,b0,所以|ab|ab.所以f(x)的最小值為abc.又已知f(x)的最小值為4,所以abc4.(2)由(1)知abc4,由柯西不等式得(491)2(abc)216,即a2b2c2.當且僅當,即a,b,c時等號成立故a2b2c2的最小值為.思維升華(1)使用柯西不等式證明的關鍵是恰當變形,化為符合它的結構形式,當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時,就可使用柯西不等式進行證明(2)利用柯西不等式求最值的一般結構為(aaa)()(111)2n2.在使用柯西不等式時,要注意右邊為常數(shù)且應注意等號成立的條件跟蹤演練3已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正實數(shù),且滿足pqra,求證:p2q2r23.(1)解因為|x1|x2|(x1)(x2)|3,當且僅當1x2時,等號成立,所以f(x)的最小值等于3,即a3.(2)證明由(1)知pqr3,又因為p,q,r是正實數(shù),所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29,即p2q2r23.1解不等式|x3|2x1|1.解當x3時,原不等式轉化為(x3)(12x)1,解得x10,x3.當3x時,原不等式轉化為(x3)(12x)1,解得x,3x.當x時,原不等式轉化為(x3)(2x1)2,x2.綜上可知,原不等式的解集為x|x22設a,b,c均為正實數(shù),試證明不等式,并說明等號成立的條件解因為a,b,c均為正實數(shù),所以,當且僅當ab時等號成立;,當且僅當bc時等號成立;,當且僅當ac時等號成立三個不等式相加,得,當且僅當abc時等號成立3若a、b、c均為實數(shù),且ax22y,by22z,cz22x.求證:a、b、c中至少有一個大于0.證明假設a、b、c都不大于0,即a0,b0,c0,所以abc0.而abc(x22y)(y22z)(z22x)(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc0,這與abc0矛盾,故a、b、c中至少有一個大于0.A組專題通關1如果關于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集,求實數(shù)a的取值范圍解設y|x3|x4|,則y的圖象如圖所示:若|x3|x4|a的解集不是空集,則(|x3|x4|)min1時,不等式的解集不是空集即實數(shù)a的取值范圍是(1,)2設x0,y0,若不等式0恒成立,求實數(shù)的最小值解x0,y0,原不等式可化為()(xy)2.2224,當且僅當xy時等號成立()(xy)min4,4,4.即實數(shù)的最小值是4.3若不等式|2x1|x2|a2a2對任意實數(shù)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍解設y|2x1|x2|當x5;當2x;當x時,y3x1,故函數(shù)y|2x1|x2|的最小值為.因為不等式|2x1|x2|a2a2對任意實數(shù)x恒成立,所以a2a2.解不等式a2a2,得1a,故a的取值范圍為1,4設不等式|x2|a(aN*)的解集為A,且A,A,(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值解(1)因為A,且A,所以a,且a,解得a.又因為aN*,所以a1.(2)因為|x1|x2|(x1)(x2)|3,當且僅當(x1)(x2)0,即1x2時取到等號,所以f(x)的最小值為3.5已知f(x)|x1|x1|,不等式f(x)4的解集為M.(1)求M;(2)當a,bM時,證明:2|ab|4ab|.(1)解f(x)|x1|x1|當x1時,由2x4,得2x1;當1x1時,f(x)21時,由2x4,得1x2.綜上可得2x2,即M(2,2)(2)證明a,bM,即2a2,2b2,4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0,4(ab)2(4ab)2,2|ab|x1|成立,求實數(shù)x的取值范圍解由柯西不等式知12()2()2a2(b)2(c)2(1abc)2即6(a22b23c2) (a2b3c)2.又a22b23c26,66(a2b3c)2,6a2b3c6,存在實數(shù)a,b,c,使得不等式a2b3c|x1|成立|x1|6,7x5.x的取值范圍是x|7x0.(1)當a1時,求不等式f(x)3x2的解集;(2)若不等式f(x)0的解集為x|x1,求a的值解(1)當a1時,f(x)3x2可化為|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集為x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化為不等式組或即或因為a0,所以不等式組的解集為x|x由題設可得1,故a2.8(2016課標全國丙)已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當a2時,求不等式f(x)6的解集;(2)設函數(shù)g(x)|2x1|.當xR時,f(x)g(x)3,求a的取值范圍解(1)當a2時,f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當xR時,f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a,當x時等號成立,所以當xR時,f(x)g(x)3等價于|1a|a3.當a1時,等價于1aa3,無解當a1時,等價于a1a3,解得a2.所以a的取值范圍是2,)- 配套講稿:
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