高考數(shù)學三輪增分練 高考中檔大題規(guī)范練（四）數(shù)列 理

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(四)數(shù)　列 1．(2016課標全國乙)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通項公式； (2)求{bn}的前n項和． 解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2. 所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an＝3n－1. (2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，因此{bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列． 記{bn}的前n項和為Sn，則 Sn＝＝－. 2．(2016天津)已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中項． (1)設cn＝b－b，n∈N*，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列； (2)設a1＝d，Tn＝ (－1)kb，n∈N*，求證： <. 證明　(1)由題意得b＝anan＋1， cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1. 因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2， 所以{cn}是等差數(shù)列． (2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b) ＝2d(a2＋a4＋…＋a2n) ＝2d ＝2d2n(n＋1)． 所以 ＝ ＝ ＝<. 3．在數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足S＝an. (1)求Sn的表達式； (2)設bn＝，求{bn}的前n項和Tn. 解　(1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1 (n≥2)， ∴S＝(Sn－Sn－1)， 即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，① 由題意得Sn－1Sn≠0， ①式兩邊同除以Sn－1Sn，得－＝2， ∴數(shù)列是首項為＝＝1，公差為2的等差數(shù)列． ∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝. (2)∵bn＝＝＝， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝＝. 4．(2015天津)已知數(shù)列{an}滿足an＋2＝qan(q為實數(shù)，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差數(shù)列． (1)求q的值和{an}的通項公式； (2)設bn＝，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項和． 解　(1)由已知， 有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)， 即a4－a2＝a5－a3， 所以a2(q－1)＝a3(q－1)，又因為q≠1， 故a3＝a2＝2，由a3＝a1q，得q＝2. 由遞推公式得 當n＝2k－1(k∈N*)時，an＝a2k－1＝2k－1＝2； 當n＝2k(k∈N*)時，an＝a2k＝2k＝2. 所以，{an}的通項公式為an＝ (2)由(1)得bn＝＝，n∈N*. 設{bn}的前n項和為Sn， 則Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n， Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n. 上述兩式相減得： Sn＝1＋＋＋…＋－＝－ ＝2－－， 整理得，Sn＝4－，n∈N*. 所以，數(shù)列{bn}的前n項和為4－，n∈N*. 5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋n2－1，數(shù)列{bn}滿足3nbn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3. (1)求an，bn； (2)設Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求Tn，并求滿足Tn<7時n的最大值． 解　(1)n≥2時，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1， 兩式相減，得an＝an－an－1＋2n－1， ∴an－1＝2n－1.∴an＝2n＋1， ∴3nbn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3， ∴bn＋1＝， ∴當n≥2時，bn＝，又當n＝1時，b1＝3也符合， ∴bn＝. (2)由(1)知，bn＝， ∴Tn＝＋＋＋…＋＋，① Tn＝＋＋＋…＋＋，② ①－②，得Tn＝3＋＋＋…＋－ ＝3＋4－＝5－. ∴Tn＝－. Tn－Tn＋1＝－＝－<0. ∴Tn7， ∴Tn<7時，n的最大值為3.