高考數(shù)學大二輪專題復習 第二編 專題整合突破 專題二 函數(shù)與導數(shù) 第四講 導數(shù)的綜合應用適考素能特訓 理
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專題二 函數(shù)與導數(shù) 第四講 導數(shù)的綜合應用適考素能特訓 理一、選擇題12015陜西高考設f(x)xsinx,則f(x)()A既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C是有零點的減函數(shù)D是沒有零點的奇函數(shù)答案B解析f(x)xsin(x)(xsinx)f(x),f(x)為奇函數(shù)又f(x)1cosx0,f(x)單調(diào)遞增,選B.22016河南洛陽質(zhì)檢對于R上可導的任意函數(shù)f(x),若滿足0,則必有()Af(0)f(2)2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)答案A解析當x1時,f(x)1時,f(x)0,此時函數(shù)f(x)遞增,即當x1時,函數(shù)f(x)取得極小值同時也取得最小值f(1),所以f(0)f(1),f(2)f(1),則f(0)f(2)2f(1),故選A.32016河北石家莊模擬若不等式2xln xx2ax3對x(0,)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A(,0) B(,4C(0,) D4,)答案B解析2xln xx2ax3,則a2ln xx.設h(x)2ln xx(x0),則h(x).當x(0,1)時,h(x)0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,所以h(x)minh(1)4,所以ah(x)min4,故a的取值范圍是(,442016河北衡水中學調(diào)研已知函數(shù)f(x)的兩個極值點分別為x1,x2,且x1(0,1),x2(1,),點P(m,n)表示的平面區(qū)域為D,若函數(shù)yloga(x4)(a1)的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點,則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,3) B(1,3C(3,) D3,)答案A解析f(x)x2mx0的兩根為x1,x2,且x1(0,1),x2(1,),則即作出區(qū)域D,如圖陰影部分,可得loga(14)1,所以1a3.52016江西八校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是()A(,0) B.C(0,1) D(0,)答案B解析f(x)x(ln xax),f(x)ln x2ax1,故f(x)在(0,)上有兩個不同的零點,令f(x)0,則2a,設g(x),則g(x),g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減,又當x0時,g(x),當x時,g(x)0,而g(x)maxg(1)1,只需02a10a0,則函數(shù)F(x)xf(x)的零點個數(shù)是()A0 B1C2 D3答案B解析x0時,f(x)0,0,即0.當x0時,由式知(xf(x)0,U(x)xf(x)在(0,)上為增函數(shù),且U(0)0f(0)0,U(x)xf(x)0在(0,)上恒成立又0,F(xiàn)(x)0在(0,)上恒成立,F(xiàn)(x)在(0,)上無零點當x0時,(xf(x)0在(,0)上恒成立,F(xiàn)(x)xf(x)在(,0)上為減函數(shù)當x0時,xf(x)0,F(xiàn)(x)0,F(xiàn)(x)在(,0)上有唯一零點綜上所述,F(xiàn)(x)在(,0)(0,)上有唯一零點,故選B.二、填空題72015山西四校聯(lián)考函數(shù)f(x)若方程f(x)mx恰有四個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是_答案解析在平面直角坐標系中作出函數(shù)yf(x)的圖象,如圖,而函數(shù)ymx恒過定點,設過點與函數(shù)yln x的圖象相切的直線為l1,切點坐標為(x0,ln x0)因為yln x的導函數(shù)y,所以圖中yln x的切線l1的斜率為k,則,解得x0,所以k.又圖中l(wèi)2的斜率為,故當方程f(x)mx恰有四個不相等的實數(shù)根時,實數(shù)m的取值范圍是.82015河南鄭州質(zhì)檢三設函數(shù)f(x)是定義在(,0)上的可導函數(shù),其導函數(shù)為f(x),且有2f(x)xf(x)x2,則不等式(x2014)2f(x2014)4f(2)0的解集為_答案(,2016)解析由2f(x)xf(x)x2,x0得2xf(x)x2f(x)x3,x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)(x0),則F(x)0(x0即為F(x2014)F(2)0,即F(x2014)F(2),又因為F(x)在(,0)上是減函數(shù),所以x20142,x0(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)),則下列不等式中成立的有_(1)ff(3)f(0)f(4)f0,且f(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(x)(cosx),所以可構(gòu)造函數(shù)g(x),則g(x)0,所以g(x)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增,所以有g(shù)g2f,ggf,gf.由函數(shù)單調(diào)性可知ggg,即ffg(0)f(0),所以(3)正確三、解答題102016珠海模擬某造船公司年最大造船量是20艘,已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)3700x45x210x3(單位:萬元),成本函數(shù)為C(x)460x5000(單位:萬元),又在經(jīng)濟學中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x);(提示:利潤產(chǎn)值成本)(2)問年造船量安排多少艘時,可使公司造船的年利潤最大?(3)求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么?解(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23240x5000(xN*,且1x20);MP(x)P(x1)P(x)30x260x3275(xN*,且1x19)(2)P(x)30x290x324030(x12)(x9),因為x0,所以P(x)0時,x12,當0x0,當x12時,P(x)0,f(x)在(0,)上為增函數(shù),當a0時,當0xa時,f(x)a時,f(x)0,所以f(x)在(0,a)上為減函數(shù),f(x)在(a,)上為增函數(shù)(2)由題意知xaln x10在x1,)恒成立,設g(x)xaln x1,x1,),則g(x)1,x1,),設h(x)2x22ax1ln x,則h(x)4x2a,當a0時,4x為增函數(shù),所以h(x)a0,所以g(x)在1,)上單調(diào)遞增,g(x)g(1)0,當a0時,h(x)a0,所以g(x)在1,)上單調(diào)遞增,g(x)g(1)0,當a時,當x時,2a12x,由(1)知,當a1時,xln x10,ln xx1,ln x1,h(x)2x22axln x12x22ax2x22axx2x2(2a1)x0,此時g(x)0,所以g(x)在上單調(diào)遞減,在上,g(x)g(1)0,不符合題意綜上所述a.122016濟寧模擬已知函數(shù)f(x)exaxa(其中aR,e是自然對數(shù)的底數(shù),e2.71828)(1)當ae時,求函數(shù)f(x)的極值;(2)當0a1時,求證f(x)0;(3)求證:對任意正整數(shù)n,都有e.解(1)當ae時,f(x)exexe,f(x)exe,當x1時,f(x)1時,f(x)0.所以函數(shù)f(x)在(,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在x1處取得極小值f(1)e,函數(shù)f(x)無極大值(2)證明:由f(x)exaxa,得f(x)exa,當a0時,f(x)ex0恒成立,滿足條件當0a1時,由f(x)0,得xln a,則當x(,ln a)時,f(x)0,所以函數(shù)f(x)在(,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在xln a處取得極小值即為最小值f(x)minf(ln a)eln aaln aaaln a因為0a1,所以ln a0,所以aln a0所以f(x)min0,所以當0a1時,f(x)0;(3)證明:由(2)知,當a1時,f(x)0恒成立,所以f(x)exx10恒成立,即exx1,所以ln (x1)x,令x(nN*),得ln ,所以ln ln ln 1n1.所以0時,(x2)exx20;(2)證明:當a0,1)時,函數(shù)g(x)(x0)有最小值設g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.審題過程先求f(x),再確定f(x)的單調(diào)性,從而證明不等式求出函數(shù)g(x)的最小值h(a),再結(jié)合導數(shù)求h(a)的值域.(1)f(x)的定義域為(,2)(2,)f(x)0,且僅當x0時,f(x)0,所以f(x)在(,2),(2,)上單調(diào)遞增因此當x(0,)時,f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2),(x2)exx20.(2)證明:g(x)(f(x)a)由(1)知,f(x)a單調(diào)遞增對任意的a0,1),f(0)aa10,f(2)aa0.因此,存在唯一xa(0,2,使得f(xa)a0,即g(xa)0.當0xxa時,f(x)a0,g(x)xa時,f(x)a0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增因此g(x)在xxa處取得最小值,最小值為g(xa).于是h(a),由0,得單調(diào)遞增所以,由xa(0,2,得h(a).因為單調(diào)遞增,對任意的,存在唯一的xa(0,2,af(xa)0,1),使得h(a),所以h(a)的值域是.綜上,當a0,1)時,g(x)有最小值h(a),h(a)的值域是.模型歸納利用導數(shù)證明不等式的模型示意圖如下:- 配套講稿:
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