高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題11_2 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例試題 文（含解析）

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專題2 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例（文科） 【三年高考】 1. 【2016高考新課標(biāo)3文數(shù)】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和 平均最低氣溫的雷達圖．圖中點表示十月的平均最高氣溫約為，點表示四月的平均最低氣溫約為 ．下面敘述不正確的是（ ） (A)各月的平均最低氣溫都在以上 (B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大 (C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 (D)平均氣溫高于的月份有5個 【答案】D 【解析】由圖可知均在虛線框內(nèi)，所以各月的平均最低氣溫都在0℃以上，A正確；由圖可在七月的平均溫差大于，而一月的平均溫差小于，所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；由圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都大約在，基本相同，C正確；由圖可知平均最高氣溫高于20℃的月份有3個或2個，所以不正確．故選D． 2. 【2016高考山東文數(shù)】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是（ ） （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 【答案】D 【解析】由頻率分布直方圖知，自習(xí)時間不少于22.5小時的有，選D. 3. 【2016高考北京文數(shù)】某學(xué)校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊. 學(xué)生序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳遠（單位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳繩（單位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a?1 b 65 在這10名學(xué)生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則 A.2號學(xué)生進入30秒跳繩決賽 B.5號學(xué)生進入30秒跳繩決賽 C.8號學(xué)生進入30秒跳繩決賽 D.9號學(xué)生進入30秒跳繩決賽 【答案】B 【解析】將確定成績的30秒跳繩成績的按從大到小的順尋排，分別是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7號進了立定跳遠的決賽，10號沒進立定跳遠的決賽，故9號需進30秒跳繩比賽的前8名，此時確定的30秒跳繩比賽決賽的名單為3，6，7，10，9，還需3個編號為1-8的同學(xué)進決賽，而（1，5）與4的成績僅相隔1，故只能1，5，4進30秒跳繩的決賽，故選B. 4.【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其 上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 保費 隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表： 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 （Ⅰ）記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求的估計值； （Ⅱ）記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160％”. 求的估計值； （III）求續(xù)保人本年度的平均保費估計值. 【解析】（Ⅰ）事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)險次數(shù)小于2的頻率為，故P(A)的估計值為0.55. 5. 【2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】]下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖 （I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； （II）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： ． 【解析】（Ⅰ）由折線圖這數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得，，，，．因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系. （Ⅱ）由及（Ⅰ）得，，所以，關(guān)于的回歸方程為：.將2016年對應(yīng)的代入回歸方程得：，所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸. 6. 【2015高考重慶，文4】重慶市2013年各月的平均氣溫（C）數(shù)據(jù)的莖葉圖如下則這組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是（ ） (A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23 【答案】B 【解析】由莖葉圖可知總共12個數(shù)據(jù)，處在正中間的兩個數(shù)是第六和第七個數(shù)，它們都是20，由中位數(shù)的定義可知：其中位數(shù)就是20，故選B. 7.【2015高考陜西，文2】某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（ ） A．93 B．123 C．137 D．167 【答案】 【解析】由圖可知該校女教師的人數(shù)為，故答案選. 8.【2015高考湖北，文4】已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān). 下列結(jié)論中正確的是（ ） A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān) B．與正相關(guān)，與正相關(guān) C．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān) D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān) 【答案】. 【解析】因為變量和滿足關(guān)系，其中，所以與成負(fù)相關(guān)；又因為變量與正相關(guān)，不妨設(shè)，則將代入即可得到：，所以，所以與負(fù)相關(guān)，綜上可知，應(yīng)選. 9.【2015高考廣東，文17】某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖． （1）求直方圖中的值； （2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)； （3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的 方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？ （3）月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，抽取比例，所以月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取戶 10. 【2014高考廣東卷文第6題】為了了解名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為的樣本，則分段的間隔為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意知，分段間隔為，故選C. 11. 【2014高考湖南卷文第3題】對一個容量為的總體抽取容量為的樣本，當(dāng)選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為，則（ ） 【答案】D 【解析】根據(jù)隨機抽樣的原理可得簡單隨機抽樣,分層抽樣,系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個個體被抽到的概率相等,即,故選D. 12. 【2014高考安徽卷文第17題】某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位:小時） （Ⅰ）應(yīng)收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？ （Ⅱ）根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：.估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率. （Ⅲ）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】（1），所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù). （2） 由頻率分布直方圖得，該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率為. （3） 由（2）知，300位學(xué)生中有人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時.又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的.所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下： 每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表 男生 女生 總計 每周平均體育運動時間不超過4小時 45 30 75 每周平均體育運動時間超過4小時 165 60 225 總計 210 90 300 結(jié)合列聯(lián)表可算得. 有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 考查樣本的頻率分布(分布表、直方圖、莖葉圖)中的有關(guān)計算，樣本特征數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)的計算,以樣本的分布估計總體的分布（以樣本的頻率估計總體的頻率、以樣本的特征數(shù)估計總體的特征數(shù)）主要以選擇題、填空題為主；考查獨立性檢驗、回歸分析為主，并借助解決一些簡單的實際問題來考查一些基本的統(tǒng)計思想，在高考中多為選擇、填空題，也有解答題出現(xiàn)． 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式可以看出，頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差、,以樣本的分布估計總體的分布（以樣本的頻率估計總體的頻率、以樣本的特征數(shù)估計總體的特征數(shù)）是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，客觀題考查知識點較單一，解答題常常作為第一問，考查學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力．獨立性檢驗、回歸分析高考對此部分內(nèi)容考查有加強趨勢，主要是以考查獨立性檢驗、回歸分析為主，并借助解決一些簡單的實際問題來考查一些基本的統(tǒng)計思想，在高考中多為選擇、填空題，也有解答題出現(xiàn)．根據(jù)這幾年高考試題預(yù)測2017年高考，頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差仍然是考查的熱點，同時應(yīng)注意線性回歸方程、獨立性檢驗在實際生活中的應(yīng)用，有可能涉及一道與獨立檢驗有關(guān)的大題． 【2017年高考考點定位】 本知識點主要是：隨機抽樣常以選擇、填空題考查分層抽樣，難度較低.在用樣本估計總體中，會讀圖、識圖，會從頻率分布直方圖中分析樣本的數(shù)字特征（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等）；重視莖葉圖；要重視線性回歸方程，不僅會利用公式求，還要能分析其特點（正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、回歸方程過樣本點中心）；重視獨立性檢驗（ 22列聯(lián)表）. 【考點1】抽樣方法、總體分布的估計 【備考知識梳理】1.簡單隨機抽樣：一般地，設(shè)一個總體的個體數(shù)為N，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣. 2.分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣. 3.總體：在數(shù)理統(tǒng)計中，通常把被研究的對象的全體叫做總體. 4.頻率分布：用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示. 【規(guī)律方法技巧】分層抽樣的步驟：（1）分層；（2）按比例確定每層抽取個體的個數(shù)；（3）各層抽樣（方法可以不同）；（4）匯合成樣本. 解決總體分布估計問題的一般程序如下：（1）先確定分組的組數(shù)（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差除以組距得組數(shù)）；（2）分別計算各組的頻數(shù)及頻率（頻率=）；（3）畫出頻率分布直方圖，并作出相應(yīng)的估計. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016屆山西右玉一中高三下學(xué)期模擬】在某電視臺舉行的大型聯(lián)歡會晚上，需抽調(diào)部分觀眾參加互動，已知全部觀眾有900人，現(xiàn)需要采用系統(tǒng)抽樣方法抽取30人，根據(jù)觀眾的座位號將觀眾編號為1,2,3，…，900號，分組后在第一組,采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為3，抽到的30人中，編號落入?yún)^(qū)間的人與主持人一組，編號落入?yún)^(qū)間的人與支持人一組，其余的人與支持人一組，則抽到的人中，在組的人數(shù)為（ ） A．12 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【解析】因，而，故依據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征可知抽到的人中，在組中的人數(shù)應(yīng)是人，應(yīng)選D。 2. 【2016屆河南省新鄉(xiāng)衛(wèi)輝一中高考押題一】博鰲亞洲論壇2015年會員大會于3月27日在海南博鰲舉辦，大會組織者對招募的100名服務(wù)志愿者培訓(xùn)后，組織一次 知識競賽，將所得成績制成如右頻率分布直方圖（假定每個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的成績均勻分布），組織者計劃對成績前20名的參賽者進行獎勵． （1）試確定受獎勵的分?jǐn)?shù)線； （2）從受獎勵的20人中利用分層抽樣抽取5人，再從抽取的5人中抽取2人在主會場服務(wù)，試求2人成績都在90分以上的概率． 【解析】（1）由頻率分布直方圖知，競賽成績在分的人數(shù)為，競賽成績在的人數(shù)為，故受獎勵分?jǐn)?shù)線在之間，設(shè)受獎勵分?jǐn)?shù)線為，則，解得，故受獎勵分?jǐn)?shù)線為86． （2）由（1）知，受獎勵的20人中，分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為8，分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為12，利用分層抽樣，可知分?jǐn)?shù)在 的抽取2人，分?jǐn)?shù)在的抽取3人，設(shè)分?jǐn)?shù)在的2人分別為，分?jǐn)?shù)在的3人分別為，所有的可能情況有滿足條件的情況有，所求的概率為 【考點2】相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例 【備考知識梳理】1．相關(guān)性 (1)通常將變量所對應(yīng)的點描出來，這些點就組成了變量之間的一個圖，通常稱這種圖為變量之間的散點圖． (2)從散點圖上，如果變量之間存在某種關(guān)系，這些點會有一個集中的大致趨勢，這種趨勢通?？梢杂靡粭l光滑的曲線來近似，這樣近似的過程稱為曲線擬合． (3)若兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是線性相關(guān)，若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，稱此相關(guān)是非線性相關(guān)． 如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的． 2．回歸方程 (1)最小二乘法 如果有n個點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用表達式[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2來刻畫這些點與直線y＝a＋bx的接近程度，使得上式達到最小值的直線y＝a＋bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法． (2)回歸方程 方程y＝bx＋a是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中a，b是待定參數(shù)． ， 3．回歸分析 (1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法． (2)樣本點的中心 對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘法估計分別為： ，）.其中＝i，＝i，(，)稱為樣本點的中心． (3)相關(guān)系數(shù) ①，②當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)． r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系． 4．獨立性檢驗 (1)設(shè)A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝1；變量B：B1，B2＝1. 22列聯(lián)表 　B A　 B1 B2 總計 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 構(gòu)造一個隨機變量其中為樣本容量． (2)獨立性檢驗:利用隨機變量來判斷“兩個變量有關(guān)聯(lián)”的方法稱為獨立性檢驗． (3)當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時，在統(tǒng)計中，用以下結(jié)果對變量的獨立性進行判斷 ①當(dāng)χ2≤2.706時，沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的； ②當(dāng)χ2＞2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； ③當(dāng)χ2＞3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； ④當(dāng)χ2＞6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)． 【規(guī)律方法技巧】1．“相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系”的區(qū)別：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系． 2．三點提醒：　一是回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義．二是根據(jù)回歸方程進行預(yù)報，僅是一個預(yù)報值，而不是真實發(fā)生的值．三是獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果作出錯誤的解釋． 3.正確理解計算b，a的公式和準(zhǔn)確的計算是求線性回歸方程的關(guān)鍵．回歸直線方程y＝bx＋a必過樣本點中心(，)．在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程來估計和預(yù)測． 4.利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題作出合理的推斷和預(yù)測．獨立性檢驗就是考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度，具體做法是根據(jù)公式，計算值，值越大，說明“兩個變量有關(guān)系”的可能性越大． 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016年山西四校高三四?！磕逞芯繖C構(gòu)對兒童記憶能力和識圖能力進行統(tǒng)計分析，得到如下數(shù)據(jù)： 記憶能力 識圖能力 由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，,若某兒童的記憶能力為時，則他的識圖能力約為（ ） A.9.2 B.9.5 C.9.8 D.10 【答案】B 2.【2016屆河北省邯鄲市高三下第二次模擬】為推行“新課堂”教學(xué)法，某化學(xué)老師分別用原傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式，在甲、乙兩個平行班進行教學(xué)實驗，為了解教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，作出的莖葉圖如下圖，記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”. （1）分別計算甲、乙兩班20個樣本中，化學(xué)分?jǐn)?shù)前十的平均分，并大致判斷哪種教學(xué)方式的教學(xué)效果更 佳； （2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，并判斷“成績優(yōu)良與教學(xué)方式是否有關(guān)”? 附： 獨立性檢驗臨界值表 【解析】（1）甲班樣本化學(xué)成績前十的平均分為； 乙班樣本化學(xué)成績前十的平均分為 .甲班樣本化學(xué)成績前十的平均分遠低于乙班樣本化學(xué)成績前十的平均分，大致可以判斷“高效課堂”教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳. 【應(yīng)試技巧點撥】 1.三種抽樣方法的比較 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的機會均等Com] 從總體中逐個抽取 總體中的個體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均勻分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體中的個體數(shù)較多 分層抽樣 將總體分成幾層，分層進行抽取 各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 2．樣本頻率直方圖與樣本的數(shù)字特征 在頻率分布直方圖中，平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和；中位數(shù)的估計值，應(yīng)使中位數(shù)左右兩邊的直方圖面積相等；最高小長方形的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)值即為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． 3．方差是刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的量，方差越大，這組數(shù)據(jù)波動越大，越分散．討論產(chǎn)品質(zhì)量、售價高低、技術(shù)高低、產(chǎn)量高低、成績高低、壽命長短等等問題，一般都是通過方差來體現(xiàn)． 4.判斷兩變量是否有相關(guān)關(guān)系很容易將相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系混淆．相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系. 5．求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)a，b，由于a，b的計算量大，計算時應(yīng)仔細(xì)謹(jǐn)慎，分層進行，避免因計算而產(chǎn)生錯誤．(注意回歸直線方程中一次項系數(shù)為b，常數(shù)項為a，這與一次函數(shù)的習(xí)慣表示不同) 6．回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達式；(2)根據(jù)一組觀察值，預(yù)測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出回歸直線方程． 7．獨立性檢驗是一種假設(shè)檢驗，在對總體的估計中，通過抽取樣本，構(gòu)造合適的隨機變量，對假設(shè)的正確性進行判斷． 8.進行分層抽樣時應(yīng)注意以下幾點： (1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊； (2)為了保證每個個體等可能入樣，所有層中每個個體被抽到的可能性應(yīng)相同； (3)在每層抽樣時，應(yīng)采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣． 9.在作莖葉圖時，容易出現(xiàn)莖兩邊的數(shù)字不是從小到大的順序排列，從而導(dǎo)致結(jié)論分析錯誤，在使用莖葉圖整理數(shù)據(jù)時，要注意：一是數(shù)據(jù)不能遺漏，二是數(shù)據(jù)最好按從小到大順序排列，對三組以上的數(shù)據(jù)，也可使用莖葉圖，但沒有表示兩組記錄那么直觀、清晰． 10．回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義．根據(jù)回歸方程進行預(yù)報，僅是一個預(yù)報值，而不是真實發(fā)生的值． 11．r的大小只說明是否相關(guān)并不能說明擬合效果的好壞，R2才是判斷擬合效果好壞的依據(jù)． 12．獨立性檢驗的隨機變量K2＝2.706是判斷是否有關(guān)系的臨界值，K2<2.076應(yīng)判斷為沒有充分證據(jù)顯示X與Y有關(guān)系，而不能作為小于90%的量化值來判斷． 二年模擬 1. 【2016年山西榆林高三二?！繛榱私饽成鐓^(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 收入（萬元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出（萬元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為（ ） A．11.4萬元 B．11.8萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元 【答案】B 【解析】因為過點，所以，因此當(dāng)時，，選B. 2.【2016年河南八市重點高中質(zhì)檢】某疾病研究所想知道吸煙與患肺病是否有關(guān)，于是隨機抽取1000名成年人調(diào)查是否吸煙及是否患有肺病，得到列聯(lián)表，經(jīng)計算得，已知在假設(shè)吸煙與患肺病無關(guān)的前提條件下， ，則該研究所可以（ ） A．有95%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病有關(guān)” B．有95%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病無關(guān)” C．有99%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病有關(guān)” D．有99%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病無關(guān)” 【答案】A 【解析】根據(jù)查對臨界值表知，故有的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病有關(guān)”，即A正確； 3. 【2016年江西南昌高三一?！繛榱艘?guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗，得到5組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知x1+x2 +x3 +x4 +x5 =150，由最小二乘法求得回歸直線方程為= 0.67x+ 54.9，則y1+y2+y3+y4+y5的值為 (A)75 (B)155.4 (C)375 (D)466.2 【答案】C 4. 【2016年廣東廣州高三一?！恳粋€總體中有60個個體，隨機編號0，1，2，…，59，依編號順序平均分成6個小組，組號依次為1，2，3，…，60．現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為6的樣本，若在第1組隨機抽取的號碼為3，則在第5組中抽取的號碼是 ． 【答案】 【解析】因為，所以，抽到編號為3、13、23、33、43、53，第5組為43. 5. 【2016屆湖南省四大名校高三3月聯(lián)考】．以下四個命題中： ①在回歸分析中, 可用相關(guān)指數(shù)的值判斷的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好； ②兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強,相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近； ③若數(shù)據(jù)的方差為,則的方差為； ④對分類變量與的隨機變量的觀測值來說, 越小,判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大. 其中真命題的個數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 6.【2016屆河南省洛陽市高三畢業(yè)班三練】甲、乙、丙三個班各有20名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試后，三個班學(xué)生的成績與人數(shù)統(tǒng)計如下： 分別表示甲、乙、丙三個班本次考試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由標(biāo)準(zhǔn)差的幾何意義得，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，標(biāo)準(zhǔn)差越小；數(shù)據(jù)越接近均值，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，因此最偏離均值，數(shù)值最大，而最接近均值，數(shù)值最小，因此選A. 7. 【2016屆北京市大興區(qū)高三4月統(tǒng)一練習(xí)】．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，隨機抽取某大學(xué)30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分（10分制）如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)，眾數(shù)為，平均數(shù)為，則，，之間的大小關(guān)系是_____. 【答案】 8. 【2016屆四川省成都市石室中學(xué)高三5月一?！磕硨W(xué)科考試共有100道單項選擇題，有甲、乙兩種計分法.已知某學(xué)生有道題答對，道題答錯，道題未作答，按甲計分法的得分為，按乙計分法該生的得分為，某班50名學(xué)生參加了該科考試，現(xiàn)有如下結(jié)論： ①同一同學(xué)的分?jǐn)?shù)不可能大于分?jǐn)?shù)； ②任意兩個學(xué)生分?jǐn)?shù)之差的絕對值不可能大于分?jǐn)?shù)之差的絕對值； ③用分?jǐn)?shù)將全班排名次的結(jié)果與用分?jǐn)?shù)將全班排名次的結(jié)果是完全相同的； ④分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)是正相關(guān)的. 其中的真命題有 .（寫出所有真命題的序號） 【答案】①③④ 【解析】，所以同一同學(xué)的分?jǐn)?shù)不可能大于分?jǐn)?shù)；當(dāng)兩個學(xué)生一個答對一道，未作答10道；另一個答對兩道，未作答5道時，分?jǐn)?shù)之差的絕對值為零，而分?jǐn)?shù)之差的絕對值大于零；，所以③④正確，因此真命題有①③④ 9.【2016屆湖南省四大名校高三3月聯(lián)考】年下學(xué)期某市教育局對某校高三文科數(shù)學(xué)進行教學(xué)調(diào)研,從該校文科生中隨機抽取名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計,將他們的成績分成六段后得到如圖所示的頻率分布直方圖. （1）求這個學(xué)生數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值； （2）若從數(shù)學(xué)成績內(nèi)的學(xué)生中任意抽取人,求成績在中至少有一人的概率. 【解析】（1）眾數(shù)的估計值為最高矩形對應(yīng)的成績區(qū)間的中點,即眾數(shù)的估計值為.設(shè)中位數(shù)的估計值為,則,解得.中位數(shù)的估計值為. （2）從圖中知,成績在的人數(shù)為(人), 成績在的人數(shù)為(人), 設(shè)成績在的學(xué)生記為,成績在的學(xué)生記為.則從成績在內(nèi)的學(xué)生中任取人組成的基本事件有,共種.其中成績在的學(xué)生至少有一人的基本事件有共種.成績在的學(xué)生至少有一人的概率為. 10. 【2016屆廣東省深圳市高三第二次調(diào)研】2016年全國兩會，即中華人民共和國第十二屆全國人民代表大會第四次會議和中國人民政治協(xié)商會議第十二屆全國委員會第四次會議，分別于2016年3月5日和3月3日在北京開幕．為了解哪些人更關(guān)注兩會，某機構(gòu)隨機抽取了年齡在歲之間的100人進行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如下圖所示，其分組區(qū)間為：．把年齡落在區(qū)間和內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”，經(jīng)統(tǒng)計“青少年人”與“中老年人”的人數(shù)之比為9：11． （1）求圖中的值； （2）若“青少年人”中有15人在關(guān)注兩會，根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，根據(jù)此統(tǒng)計結(jié)果能否 有99%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注兩會？ 關(guān)注 不關(guān)注 合計 青少年人 15 中老年人 合計 50 50 100 附參考公式：，其中． 臨界值表： 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）依頻率分布直方圖可知：，解之，得. （2）依題意可知：“青少年人”共有人，“中老年人”共有100-45=55人，完成的列聯(lián)表如下： 關(guān)注 不關(guān)注 合計 青少年人 15 30 45 中老年人 35 20 55 合計 50 50 100 結(jié)合列聯(lián)表的數(shù)據(jù)得：,因為，所以有超過99%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注兩會． 11.【2015屆湖北省武漢華中師大附中高三5月】在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個小長方形，這4個小長方形的面積由小到大依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知，且樣本容量為300，則對應(yīng)小長方形面積最小的一組的頻數(shù)為 A．20 B．40 C．30 D．無法確定 【答案】A 【解析】由已知，4個小長方形面積依次為，所以，，因此面積最小的一組的頻數(shù)為． 12.【2015屆中國人民大學(xué)附屬中學(xué)高考沖刺十】某賽季甲、乙兩名籃球運動員各13場比賽得分情況用莖葉圖表示如下： 根據(jù)上圖，對這兩名運動員的成績進行比較，下列四個結(jié)論中，不正確的是（ ） A．甲運動員得分的極差大于乙運動員得分的極差 B．甲運動員得分的的中位數(shù)大于乙運動員得分的的中位數(shù) C．甲運動員的得分平均值大于乙運動員的得分平均值 D．甲運動員的成績比乙運動員的成績穩(wěn)定 【答案】D 【解析】根據(jù)莖葉圖可知：甲運動員得分：19 18 18 26 21 20 35 33 32 30 47 41 40；乙運動員得分：17 17 19 19 22 25 26 27 29 29 30 32 33，對于A，極差是數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，由圖中的數(shù)據(jù)可得甲運動員得分的極差為47-16=21，乙運動員得分的極差為33-17=16，得甲運動員得分的極差大于乙運動員得分的極差，因此A正確；對于B，甲數(shù)據(jù)從小到大排列：18 18 19 20 21 26 30 32 33 35 40 41 47處于中間的數(shù)是30，所以甲運動員得分的中位數(shù)是30，同理求得乙數(shù)據(jù)的中位數(shù)是26，因此甲運動員得分的中位數(shù)大于乙運動員得分的中位數(shù)，故B正確；對于C，不難得出甲運動員的得分平均值約為29．23，乙運動員的得分平均值為25．0，因此甲運動員的得分平均值大于乙運動員的得分平均值，故C正確；對于D，分別計算甲、乙兩個運動員得分的方差，方差小的成績更穩(wěn)定．可以算出甲的方差為：，同理，得出乙的方差為：，因為乙的方差小于甲的方差，所以乙運動員的成績比甲運動員的成績穩(wěn)定，故D不正確．故選D 13.【2015屆中國人民大學(xué)附屬中學(xué)高考沖刺一】為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個社區(qū)進行了“家庭每月日常消費額”的調(diào)查．他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則它們的大小關(guān)系為 ．（用“”連接） 【答案】 14.【2016屆廣東省惠州市高三第一次調(diào)研】某中學(xué)高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生的平均分是85． （I）計算甲班7位學(xué)生成績的方差； （II）從成績在90分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率． 參考公式： 方差，其中． 【解析】（I）∵甲班學(xué)生的平均分是85，∴．∴． 則甲班7位學(xué)生成績的方差為． 15.【2015屆寧夏固原市第一中學(xué)高三最后沖刺模擬】為了分析某個高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議．現(xiàn)對他前次考試的數(shù)學(xué)成績、物理成績進行分析．下面是該生次考試的成績． 數(shù)學(xué) 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 （1）他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的理由； （2）已知該生的物理成績與數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的，若該生的物理成績達到分，請你估計他的數(shù)學(xué)成績大約是多少？ （已知8894+8391+117108+9296+108104+100101+112106=70497， ） （參考公式：，） 【解析】（1）； ； ，，從而，所以物理成績更穩(wěn)定． （2）由于與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)回歸系數(shù)公式得到， 線性回歸方程為．當(dāng)時，． 拓展試題以及解析 1.2016年2月，為保障春節(jié)期間的食品安全，某市質(zhì)量監(jiān)督局對超市進行食品檢查，如圖所示是某品牌食品中微量元素含量數(shù)據(jù)的莖葉圖，已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的最小值為（ ） A. 9 B. C.8 D.4 【答案】B 【入選理由】本題主要考查莖葉圖的識別、樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)以及均值不等式求解最值等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力，分析問題解決問題的能力和運算求解能力．莖葉圖是高中添加知識，是高考考試的重點，故選此題. 2.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則數(shù)據(jù)，，…，，的平均數(shù)為 . 【答案】37 【解析】設(shè)數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，由已知得， 所以. 【入選理由】本題主要考查平均數(shù)等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和運算求解能力．此題常規(guī)題，也是?？贾R，故選此題. 3.為了解決低收入家庭的住房問題，某城市修建了首批108套住房，已知三個社區(qū)分別有低收入家庭360戶，270戶，180戶，現(xiàn)采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)所分配首批經(jīng)濟住房的戶數(shù)，則應(yīng)從社 區(qū)抽取低收入家庭的戶數(shù)為（ ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】 【解析】根據(jù)分層抽樣的要求可知在社區(qū)抽取戶數(shù)為． 【入選理由】本題主要考查分層抽樣的概念及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和運算求解能力．抽樣方法也是高考?？贾R，故選此題. 4.某市重點中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個小組，在一次階段考試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89，則的值是（ ） A．10　　　　　B．11　　　　　C．12　　　　　D．13 【答案】C 【解析】由題意，得甲組中，解得．乙組中，所以，所以，故選C． 【入選理由】本題主要考查莖葉圖、平均數(shù)、中位數(shù)等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力，分析問題解決問題的能力和運算求解能力．莖葉圖是高中添加知識，是高考考試的重點，故選此題. 5.2016年高考體檢，某中學(xué)隨機抽取名女學(xué)生的身高（厘米）和體重（公斤）的數(shù)據(jù)如下表： x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60 根據(jù)上表可得回歸直線方程為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由表中數(shù)據(jù)可得，∵點一定在回歸直線方程上， ∴，解得．故選A． 【入選理由】本題考查考查散點圖、線性回歸方程等基礎(chǔ)知識，意在考查考生分析問題解決問題的能力，運算求解能力.近年高考加強了對線性回歸方程的考查，應(yīng)多注意，故選此題. 6．某工廠為了了解一批產(chǎn)品的凈重（單位：克）情況，從中隨機抽測了200件產(chǎn)品的凈重，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[96，106]上，其頻率分布直方圖如圖所示，已知各個小方形按高度依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，則在抽測的200件產(chǎn)品中，凈重在區(qū)間上的產(chǎn)品件數(shù)是 ． 【答案】100 【入選理由】本題主要考查頻率分布直方圖，等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生讀圖和將圖中信息轉(zhuǎn)化成所求問題必需的條件的能力，分析問題解決問題的能力和運算求解能力．用頻率估計總體在生活中經(jīng)常用到，故是高考考試重點，故選此題. 7.為了解家庭收入高低對學(xué)生學(xué)習(xí)文史與理工的關(guān)系，某科研機構(gòu)在某綜合性大學(xué) 校園中隨機地對100名學(xué)生進行調(diào)查，其結(jié)果如下： 家庭收入高 家庭收入低 合計 文史 25 25 50 理工 15 35 50 合計 40 60 100 （I）從被調(diào)查的100名學(xué)生中隨機抽取一人，求來自家庭收入低的概率； （Ⅱ）在被調(diào)查的100名學(xué)生中，利用分層抽樣方法從學(xué)習(xí)文史類專業(yè)的學(xué)生中抽取6人參加科研機構(gòu)的 座談，為節(jié)約時間，該科研機構(gòu)從這6人中選出3人進行座談，求這3人中至少有2名學(xué)生來自家庭收 入高的概率. （Ⅲ）你是否有99%的把握認(rèn)為“家庭收入高低對學(xué)生學(xué)習(xí)文史與理工有關(guān)”？ P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】(I)設(shè)“從被調(diào)查的100名學(xué)生中隨機抽取一人，來自家庭收入低”為事件A，由題設(shè)可知被調(diào)查的學(xué)生總數(shù)為100名，其中家庭收入低的學(xué)生有60名，故. （Ⅱ）由題意知，抽取的6名學(xué)生來自家庭收入高和家庭收入低各3名，設(shè)家庭收入高的3名學(xué)生分別是,,，家庭收入低的3名學(xué)生分別為,,，從這6人中選出3人的所有選法為:， ，，共20種不同的方法. 而其中至少有2名學(xué)生來自家庭出入高的可能情況為:，共10種，所以這3人中至少有2名學(xué)生來自家庭收入高的概率為. （Ⅲ）結(jié)合列聯(lián)表可算得, 所以沒有99%的把握認(rèn)為“家庭收入高低對學(xué)生學(xué)習(xí)文史與理工有關(guān)”． 【入選理由】本題主要考查獨立性檢驗，統(tǒng)計初步知識，古典概率等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力、分析問題解決問題的能力和運算求解能力．近幾年高考加強對統(tǒng)計案例的考查，而獨立性檢驗又是重點，故選此題. 8.2016年全國高考只有最后幾十天，某省一重點中學(xué) 對本屆高三文科的1200名學(xué)生進行全國卷數(shù)學(xué)模擬適用測評.這1200人隨機分為6組，每組200人，并把這6組隨機編排在六天分別進行考察，最后把考察結(jié)果量化為分?jǐn)?shù)，總分150分.現(xiàn)根據(jù)第一組200人的得分繪制出如下頻率分布直方圖： （Ⅰ）利用第一組200人的得分情況，估測一下 1200人中得分在105分以上的人數(shù)； （Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖求出中位數(shù)和眾數(shù)； （Ⅲ）如果本次參加測評的1200人平均分?jǐn)?shù)不低于100分，就符合期望，即說明學(xué)生已經(jīng)順利適用高考的題型，學(xué)校的文科數(shù)學(xué)教學(xué)是成功的，否則就不符合期望，學(xué)生和老師要繼續(xù)調(diào)整學(xué)習(xí)和教學(xué).請你利用第一組200人得分的平均值（每組的平均數(shù)按照對應(yīng)區(qū)間的中點來計算）來判斷一下，這次測試是否符合期望. （Ⅲ）估計第一組的200人平均分為： ，所以本次測評符合期望. 【入選理由】本題主要考查頻率分布直方圖，數(shù)理統(tǒng)計求解等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生讀圖和將圖中信息轉(zhuǎn)化成所求問題必需的條件的能力，閱讀能力以及化歸轉(zhuǎn)化能力，分析問題解決問題的能力和運算求解能力．用頻率估計總體在生活中經(jīng)常用到，故是高考考試重點，故選此題.