高考數(shù)學大二輪專題復習 第二編 專題整合突破 專題六 解析幾何 第二講 橢圓、雙曲線、拋物線適考素能特訓 理

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專題六 解析幾何 第二講 橢圓、雙曲線、拋物線適考素能特訓 理 一、選擇題 1．[2015陜西質檢(一)]已知直線l：x－y－m＝0經過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，l與C交于A、B兩點．若|AB|＝6，則p的值為(　　) A. B. C．1 D．2 答案　B 解析　因為直線l過拋物線的焦點，所以m＝.聯(lián)立得，x2－3px＋＝0.設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，p＝，故選B. 2．[2016沈陽質檢]已知P是雙曲線－y2＝1上任意一點，過點P分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，則的值是(　　) A．－ B. C．－ D．不能確定 答案　A 解析　令點P(x0，y0)，因為該雙曲線的漸近線分別是－y＝0，＋y＝0，所以可取|PA|＝，|PB|＝，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos＝－，所以＝||||cos∠APB＝＝＝－，選A. 3．[2016南昌三模]已知拋物線y2＝2px(p>0)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)有相同的焦點F，點A是兩曲線的一個交點，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為(　　) A.＋2 B.＋1 C.＋1 D.＋1 答案　D 解析　本題考查拋物線的性質、雙曲線的離心率．由題意得點F的坐標為，又因為AF⊥x軸，所以點A的橫坐標為，因為點A為拋物線與雙曲線的交點，不妨設點A位于第一象限，則yA＝＝p，即點A的坐標為，又因為點F為雙曲線與拋物線的相同的焦點，所以c＝，則點A的坐標為(c,2c)，代入雙曲線的方程得－＝1，結合c2＝a2＋b2，化簡得c4－6a2c2＋a4＝0，解得雙曲線的離心率e＝＝＋1，故選D. 4．[2016黃岡質檢]在以O為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點的橢圓上存在一點M，滿足||＝2||＝2||，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　延長MO與橢圓交于N，因為MN與F1F2互相平分，則四邊形NMF1F2為平行四邊形，則|MN|2＋|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2＋|NF1|2＋|NF2|2，又|MF1|＋|MF2|＝2|MF2|＋|MF2|＝3|MF2|＝2a，故|NF1|＝|MF2|＝a，|NF2|＝|MF1|＝a，|F1F2|＝2c，所以2＋2＋2＋2＝2＋(2c)2，即＝，故e＝. 5．[2016重慶測試]若以F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)為焦點的雙曲線與直線y＝x－1有公共點，則該雙曲線的離心率的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由題意知c＝3，∴e＝，∴a越大e越小，而雙曲線為－＝1，把直線y＝x－1代入化簡整理得(9－2m)x2＋2mx－10m＋m2＝0，由Δ＝0得m＝5，于是a＝，e＝＝，故選B. 6．[2016金版原創(chuàng)]在平面直角坐標系xOy中，以橢圓＋＝1(a>b>0)上一點A為圓心的圓與x軸相切于橢圓的一個焦點，與y軸相交于B，C兩點，若△ABC是銳角三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　本題考查橢圓的幾何性質、直線與圓的位置關系．利用直線與圓的位置關系建立橢圓基本量的關系求解離心率．由題意可得，圓心A，r＝，由三角形ABC是銳角三角形得∠BAC<90，則c＝rcos>rcos45，即c>r.又依題意c<，即<<1，化簡得兩邊同時除以a2，關于離心率e的不等式組為解得0)，即－＝1，則有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求雙曲線的標準方程為－＝1. 8．設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為________． 答案　 解析　易知直線AB的方程為y＝，與y2＝3x聯(lián)立并消去x，得4y2－12y－9＝0.設A(x1，y1)， B(x2，y2)，則y1＋y2＝3，y1y2＝－.S△OAB＝|OF||y1－y2|＝＝＝. 9．[2015山東萊蕪一模]已知圓G：x2＋y2－2x－2y＝0經過橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點及上頂點．過橢圓外一點M(m,0)(m>a)，傾斜角為的直線l交橢圓于C，D兩點，若點N(3,0)在以線段CD為直徑的圓E的外部，則m的取值范圍是________． 答案　 解析　∵圓G：x2＋y2－2x－2y＝0與x軸，y軸交點為(2，0)和(0,2)， ∴c＝2，b＝2，∴a2＝b2＋c2＝12， ∴橢圓方程為＋＝1， 設直線l的方程為y＝－(x－m)(m>2)， 由得10x2－18mx＋9m2－12＝0. 由Δ＝324m2－40(9m2－12)>0， 可得－0. 化簡得2m2－9m＋7>0，解得m>. ∴m的取值范圍是. 三、解答題 10．[2016貴陽質檢]設點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且的最小值為0. (1)求橢圓C的方程； (2)如圖，動直線l：y＝kx＋m與橢圓C有且僅有一個公共點，作F1M⊥l，F(xiàn)2N⊥l分別交直線l于M，N兩點，求四邊形F1MNF2面積S的最大值． 解　(1)設P(x，y)，則＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)， ∴＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2，x∈[－a，a]， 由題意得，1－c2＝0，c＝1，則a2＝2， ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)將直線l的方程l：y＝kx＋m代入橢圓C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 由直線l與橢圓C有且僅有一個公共點知Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0， 化簡得m2＝2k2＋1. 設d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝. ①當k≠0時，設直線l的傾斜角為θ， 則|d1－d2|＝|MN||tanθ|， ∴|MN|＝|d1－d2|，∴S＝|d1－d2|(d1＋d2)＝＝＝， ∵m2＝2k2＋1，∴當k≠0時，|m|>1，|m|＋>2，即S<2. ②當k＝0時，四邊形F1MNF2是矩形，此時S＝2. ∴四邊形F1MNF2面積S的最大值為2. 11．已知過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)(x1－1且a≠1，a≠2時，交點有2個，圓有2個． 而當a＝2時，易驗證有2個交點，圓有2個； 當a＝1時，易知交點有1個，圓有1個． 綜上所述：當a<－1時，圓有0個； 當a＝1時，圓有1個； 當a>－1，且a≠1時，圓有2個． 解法二：設圓心Q(x0，y0)(y＝4x0)，P(a,2－a)，由于準線l：x＝－1，故若存在圓Q滿足條件，則r＝|PQ|＝，且r＝|x0＋1|， ∴(x0－a)2＋(y0＋a－2)2＝(x0＋1)2， 即a2＋y＋2(a－2)y0＋(a－2)2＝(2＋2a)x0＋1＝(2＋2a)＋1， 整理得(1－a)y＋(4a－8)y0＋4a2－8a＋6＝0　(*)， 當a＝1時，(*)式即－4y0＋2＝0，有1個解． 當a≠1時，(*)式中 Δ＝(4a－8)2－4(1－a)(4a2－8a＋6)＝16a3－32a2－8a＋40＝8(a＋1)(2a2－6a＋5)， ∵2a2－6a＋5＝22＋>0， ∴當a>－1時，Δ>0，(*)式有2個解； 當a＝－1時，Δ＝0，(*)式有1個解； 當a<－1時，Δ<0，(*)式無解． 綜上，當a<－1時，圓有0個； 當a＝1時，圓有1個； 當a>－1，且a≠1時，圓有2個． 12．[2016山西太原二模]已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋＝0相切． (1)求橢圓C的方程； (2)已知點P(4,0)，A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交橢圓C于另一點E，直線AE與x軸相交于點Q，過點Q的直線與橢圓C交于M，N兩點，求的取值范圍． 解　(1)∵e＝＝，a2＝b2＋c2，∴＝＝.據另一個題設條件得：b＝r＝＝. ∴a＝2，∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)設B(x1，y1)，E(x2，y2)，據題意A(x1，－y1)，且y1≠0. 設直線PB的方程為x＝my＋4，把它代入＋＝1并整理得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，∴y1，y2是該方程的兩根， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝.(*) 直線AE的方程為y＋y1＝(x－x1)，令y＝0得點Q的橫坐標 xQ＝. ∵x1＝my1＋4，x2＝my2＋4， ∴xQ＝ ＝ 將(*)式代入得xQ＝1. ①當直線MN與x軸不重合時，設直線MN的方程為x＝ny＋1，并設M(x3，y3)，N(x4，y4)． 把x＝ny＋1代入3x2＋4y2＝12整理得 (3n2＋4)y2＋6ny－9＝0，y3，y4是該方程的兩根， ∴y3＋y4＝－，y3y4＝－.(**) ＝x3x4＋y3y4＝(ny3＋1)(ny4＋1)＋y3y4＝(1＋n2)y3y4＋n(y3＋y4)＋1， 把(**)代入并整理得 ＝－. ∵＝4－∈， ∴∈. ②當直線MN與x軸重合時，＝22cos180＝－4. 綜上所述，的取值范圍是.