高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考小題分項練13 推理與證明 文

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高考小題分項練13　推理與證明 1．在一個俱樂部里，有老實人和騙子兩類成員，老實人永遠(yuǎn)說真話，騙子永遠(yuǎn)說假話，一次我們和俱樂部的四個成員談天，我們便問他們：“你們是什么人，是老實人？還是騙子？”這四個人的回答如下： 第一個人說：“我們四個人全都是騙子”； 第二個人說：“我們當(dāng)中只有一個人是騙子”； 第三個人說：“我們四個人中有兩個人是騙子”； 第四個人說：“我是老實人”． 請判斷一下，第四個人是老實人嗎？________.(請用“是”或“否”作答) 答案　是 解析　依據(jù)題設(shè)條件可知前三個人的說法都是在撒謊，因說別人是騙子的都是不誠實的，所以依據(jù)題設(shè)中的規(guī)則第四個人說的是真話，即第四個人是老實人，所以應(yīng)填是． 2．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是________． ①方程x2＋ax＋b＝0沒有實根； ②方程x2＋ax＋b＝0至多有一個實根； ③方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個實根； ④方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個實根． 答案?、? 解析　反證法證明問題時，反設(shè)實際是命題的否定，∴用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是方程x2＋ax＋b＝0沒有實根． 3．觀察下列規(guī)律|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，….則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為________． 答案　80 解析　觀察可得不同整數(shù)解的個數(shù)4,8,12，…可以構(gòu)成一個首項為4，公差為4的等差數(shù)列，通項公式為an＝4n，則所求為第20項，所以a20＝80. 4． n＝表示一個三位數(shù)，記f(n)＝(a＋b＋c)＋(ab＋bc＋ac)＋abc，如f(123)＝(1＋2＋3)＋(12＋23＋13)＋123＝23，則滿足f(n)＝n的三位數(shù)共有______個． 答案　9 解析　因為a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＋abc＝100a＋10b＋c，所以(ab＋a＋b)(c＋1)＝10(10a＋b)?c＋1＝10，ab＋a＋b＝10a＋b?b＝9，a取1到9，共9個． 5．對于任意正整數(shù)n，定義“n??！”如下：當(dāng)n是偶數(shù)時，n?。。絥(n－2)(n－4)…642，當(dāng)n是奇數(shù)時，n?。。絥(n－2)(n－4)…531，且有n?。絥(n－1)(n－2)…321.現(xiàn)有四個命題： ①2 016??！2 015?。。? 016?。虎? 016?。。?1 0081 008?。虎? 015??！的個位數(shù)字是5；④2 014！！的個位數(shù)字是0. 其中正確的命題有________個． 答案　4 解析　根據(jù)題意，依次分析四個命題可得： 對于①，2 016??！2 015?。。?2468…2 0082 0102 0122 0142 016)(1357…2 0092 0112 0132 015)＝12345…2 0122 0132 0142 0152 016＝2 016！，故①正確；對于②，2 016?。。?46810…2 0082 0102 0122 0142 016＝21 008(1234…1 008)＝21 0081 008！，故②正確；對于③，2 015?。。? 0152 0132 011…31，其個位數(shù)字與13579的個位數(shù)字相同，故其個位數(shù)字為5，故③正確；對于④，2 014?。。?468…2 0082 0102 0122 014，其中含有10，故個位數(shù)字為0，故④正確． 6．如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個端點)有n(n>1，n∈N*)個點，相應(yīng)的圖案中總的點數(shù)記為an，則＋＋＋…＋＝______. 答案　 解析　由已知，a2＝3＝3(2－1)，a3＝6＝3(3－1)， a4＝9＝3(4－1)，a5＝12＝3(5－1)，…，an＝3(n－1)， 數(shù)列{an}是首項為3，公差為3的等差數(shù)列， 通項為an＝3(n－1)(n≥2)． 所以＝＝(－)， 則＋＋＋…＋ ＝9(1－＋－＋…＋－) ＝1－＝. 7. 已知數(shù)列{an}是正項等差數(shù)列，若cn＝，則數(shù)列{cn}也為等差數(shù)列．已知數(shù)列{bn}是正項等比數(shù)列，類比上述結(jié)論可得__________． ①若{dn}滿足dn＝，則{dn}也是等比數(shù)列； ②若{dn}滿足dn＝，則{dn}也是等比數(shù)列； ③若{dn}滿足dn＝[b1(2b2)(3b3)…(nbn)]，則{dn}也是等比數(shù)列； ④若{dn}滿足dn＝[b1bb…b]，則{dn}也是等比數(shù)列． 答案　④ 解析　等差數(shù)列與等比數(shù)列的對應(yīng)關(guān)系有：等差數(shù)列中的加法對應(yīng)等比數(shù)列中的乘法，等差數(shù)列中的除法對應(yīng)等比數(shù)列中的開方，據(jù)此，我們可以類比得：若{dn}滿足dn＝[b1bb…b]，則{dn}也是等比數(shù)列． 8．已知an＝log(n＋1)(n＋2) (n∈N*)，觀察下列運算： a1a2＝log23log34＝＝2； a1a2a3a4a5a6＝log23log34…log78＝…＝3； … 若a1a2a3…ak (k∈N*)為整數(shù)，則稱k為“企盼數(shù)”，試確定當(dāng)a1a2a3…ak＝2 017時，“企盼數(shù)”k為__________． 答案　22 017－2 解析　a1a2a3…ak＝＝2 017 ?lg(k＋2)＝lg 22 017?k＝22 017－2. 9．已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費為1.8元，某食品加工廠對餅干采用兩種包裝，其包裝費用、銷售價格如表所示： 型號 小包裝 大包裝 重量 100克 300克 包裝費 0.5元 0.7元 銷售價格 3.00元 8.4元 則下列說法正確的是________． ①買小包裝實惠；②買大包裝實惠；③賣3小包比賣1大包盈利多；④賣1大包比賣3小包盈利多． 答案　②④ 解析　大包裝300克8.4元，則等價為100克2.8元，小包裝100克3元，則買大包裝實惠，故②正確；賣1大包盈利8.4－0.7－1.83＝2.3(元)，賣1小包盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，則賣3小包盈利0.73＝2.1(元)，則賣1大包比賣3小包盈利多．故④正確． 10．如果甲的身高數(shù)或體重數(shù)至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙．在100個小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么100個小伙子中的棒小伙子最多可能有______個． 答案　100 解析　先推出兩個小伙子的情形，如果甲的身高數(shù)>乙的身高數(shù)，且乙的體重數(shù)>甲的體重數(shù)，可知棒小伙子最多有2人．再考慮三個小伙子的情形，如果甲的身高數(shù)>乙的身高數(shù)>丙的身高數(shù)，且丙的體重數(shù)>乙的體重數(shù)>甲的體重數(shù)，可知棒小伙子最多有3人．由此可以設(shè)想，當(dāng)有100個小伙子時，設(shè)每個小伙子為Ai(i＝1,2，…，100)，其身高數(shù)為xi，體重數(shù)為yi， 當(dāng)y100>y99>…>yi>yi－1>…>y1，x1>x2>…>xi>xi＋1>…>x100時，由身高看，Ai不亞于Ai＋1，Ai＋2，…，A100；由體重看，Ai不亞于Ai－1，Ai－2，…，A1，所以，Ai不亞于其他99人(i＝1,2，…，100)，所以，Ai為棒小伙子(i＝1,2，…，100)．因此，100個小伙子中的棒小伙子最多可能有100個. 11．如圖甲所示，在直角△ABC中，AC⊥AB、AD⊥BC，D是垂足，則有AB2＝BDBC，該結(jié)論稱為射影定理．如圖乙所示，在三棱錐A—BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O為垂足，且O在△BCD內(nèi)，類比直角三角形中的射影定理，則有________． 答案　S＝S△BCOS△BCD 解析　從題中條件不難發(fā)現(xiàn)：圖甲中的AC⊥AB對應(yīng)圖乙中的AD⊥平面ABC，圖甲中的AD⊥BC對應(yīng)圖乙中的AO⊥平面BCD，因此在類比的結(jié)論中，圖甲中的邊AB對應(yīng)圖乙中的面ABC，圖甲中的邊BC對應(yīng)圖乙中的面BCD，圖甲中的邊BD對應(yīng)圖乙中的面BOC. 12．設(shè)S＝ ＋ ＋ ＋…＋，則不大于S的最大整數(shù)[S]＝________. 答案　2 014 解析　∵ ＝ ＝＝1＋(－)， ∴S＝1＋(－)＋1＋(－)＋…＋1＋(－)＝2 015－，故[S]＝2 014. 13．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按下圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三個側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是________． 答案　S＋S＋S＝S 解析　將側(cè)面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊，可得S＋S＋S＝S. 14．對于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1.其余項均為0，例如：子集{a2，a3}的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0，…，0. (1)子集{a1，a3，a5}的“特征數(shù)列”的前3項和等于________； (2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1，p2，…，p100滿足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，…，q100滿足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，則P∩Q的元素個數(shù)為________． 答案　(1)2　(2)17 解析　(1)子集{a1，a3，a5}的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0，…，0，故前3項和為2. (2)依題意，E的子集P的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0，…，1,0，所以P＝{a1，a3，a5，…，a99}；E的子集Q的“特征數(shù)列”為1,0,0,1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，所以Q＝{a1，a4，a7，…，a97，a100}．將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求數(shù)列Mn＝2n－1與數(shù)列Ln＝3n－2在1≤n≤100，n∈N時有幾個公共元素，所以P∩Q＝{a1，a7，a13，…，a97}，因為97＝1＋(17－1)6，所以共有17個元素．