高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 13 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 文

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學(xué)案13　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 班級(jí)____ 姓名_________ 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題． 自主梳理 1．等比數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的________，通常用字母________表示(q≠0)． 2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝______________. 3．等比中項(xiàng)： 如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．G2=ab. 4．等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am________ (n，m∈N*)． (2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，則__________________________． (3)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan} (λ≠0)，，{a}，{anbn}，仍是等比數(shù)列． (4)單調(diào)性：或?{an}是遞___數(shù)列；或?{an}是遞___數(shù)列；q＝1?{an}是____數(shù)列；q<0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列． 5．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列{an}的公比為q (q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1； 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝＝－. 6．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列. 自我檢測 1．“b＝”是“a、b、c成等比數(shù)列”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－a，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值是 (　　) A．3 B．1 C．0 D．－1 3．設(shè)f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，則f(n)等于 (　　) A.(8n－1) B.(8n＋1－1) C.(8n＋2－1) D.(8n＋3－1) 4．已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a－2，a＋2，a＋8，則an等于 (　　) A．8n B．8n C．8n－1 D．8n－1 5．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53,－23,19,37,82}中，則6q＝________. 探究點(diǎn)一　等比數(shù)列的基本量運(yùn)算 例1　已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an和前n項(xiàng)和Sn. 變式1　在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n和q. 探究點(diǎn)二　等比數(shù)列的判定 例2　已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝5，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*. (1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列； (2)求{an}的通項(xiàng)公式以及Sn. 變式2　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列． 探究點(diǎn)三　等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例3已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，求b5＋b9的值； 【變式3】（2013全國）已知等差數(shù)列的公差不為零，a1=25，且，，成等比數(shù)列. （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求+a4+a7+…+a3n-2. 【課后練習(xí)與提高】 1．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5等于(　　) A. B. C. D. 2．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則等于 (　　) A．－11 B．－8 C．5 D．11 3．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝3，前三項(xiàng)的和S3＝21，則a3＋a4＋a5等于 (　　) A．33 B．72 C．84 D．189 4．等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為Tn，若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是 (　　) A．T10 B．T13 C．T17 D．T25 5．記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則等于(　　) A．－3 B．5 C．－31 D．33 6．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}前7項(xiàng)的和為________． 7．在等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，前99項(xiàng)的和S99＝30，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________. 8．在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________. 9．已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)； (2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn. 10．已知數(shù)列{log2(an－1)}為等差數(shù)列，且a1＝3，a2＝5. (1)求證：數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列；(2)求＋＋…＋的值． 11．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d>0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 010.