高中數(shù)學(xué) 第1章 不等關(guān)系與基本不等式 1.3 第1課時(shí) 平均值不等式學(xué)案 北師大版選修4-5

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3　平均值不等式 第1課時(shí)　平均值不等式 1．了解兩個(gè)(三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值．(易錯(cuò)、易誤點(diǎn)) 2．掌握平均值不等式性質(zhì)定理，能用性質(zhì)定理證明簡(jiǎn)單的不等式．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理　平均值不等式 閱讀教材P10～P12“思考交流”以上部分，完成下列問(wèn)題． 1．定理1：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào))． 2．定理2：對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)a，b，有≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào))． 語(yǔ)言敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值． 3．定理3：對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號(hào))． 4．定理4：對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a，b，c，有≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號(hào))． 語(yǔ)言敘述為：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值． 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)x＋≥2.(　　) (2)ex＋≥2.(　　) (3)當(dāng)a，b，c不全為正數(shù)時(shí)，≥成立．(　　) (4)＋＋≥3.(　　) 【解析】　(1)　當(dāng)x>0時(shí)，x＋≥2，當(dāng)x<0時(shí)，x＋≤－2. (2)√　因?yàn)閑x>0，∴ex＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)． (3)　如a＝1，b＝c＝－1時(shí)，＝－，但＝1.這時(shí)有<. (4)　當(dāng)a，b，c同號(hào)時(shí)，，，均為正數(shù)，有＋＋≥3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)． 【答案】　(1)　(2)√　(3)　(4) [質(zhì)疑手記](méi) 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問(wèn)1：　 解惑：　 疑問(wèn)2：　 解惑：　 疑問(wèn)3：　 解惑：　 [小組合作型] 平均值不等式的條件判定 　命題：①任意x＞0，lg x＋≥2；②任意x∈R，ax＋≥2(a>0且a≠1)；③任意x∈，tan x＋≥2；④任意x∈R，sin x＋≥2. 其中真命題有(　　) A．③　　　　 B．③④ C．②③ D．①②③④ 【精彩點(diǎn)撥】　關(guān)鍵看是否滿足平均值不等式． 【自主解答】　在①，④中，lg x∈R，sin x∈[－1,1]，不能確定lg x＞0與sin x＞0， 因此①，④是假命題． 在②中，ax＞0，ax＋≥2 ＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，故②是真命題． 在③中，當(dāng)x∈時(shí)，tan x＞0，有tan x＋≥2，且x＝時(shí)取等號(hào)，故③是真命題． 【答案】　C 本題主要涉及平均值不等式成立的條件及取等號(hào)的條件.在定理1和定理2中，“a＝b”是等號(hào)成立的充要條件.但兩個(gè)定理有區(qū)別又有聯(lián)系：(1)≥是a2＋b2≥2ab的特例，但二者適用范圍不同，前者要求a，b均為正數(shù)，后者只要求a，b∈R；(2)a，b大于0是≥的充分不必要條件；a，b為實(shí)數(shù)是a2＋b2≥2ab的充要條件. [再練一題] 1．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且ab＞0，下列不等式中一定成立的個(gè)數(shù)是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910010】 ①＋≥2；②a＋b≥2； ③＋≥；④＋≥a＋b. A．1 B．2　　　　C．3　　　　D．4 【解析】　∵ab＞0，∴＋≥2＝2，①成立； a，b＜0時(shí)，②不成立； ＋≥，③成立； 當(dāng)a＝－1，b＝－2時(shí)，④不成立． 因此，①③成立． 【答案】　B 證明簡(jiǎn)單的不等式 　(1)已知a，b，c∈R.求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2； (2)設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 【精彩點(diǎn)撥】　本題考查平均值不等式及不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力．解答此題需要先觀察所求式子的結(jié)構(gòu)，然后拆成平均值不等式的和，再進(jìn)行證明． 【自主解答】　(1)a4＋b4≥2a2b2， 同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2， 將以上三個(gè)不等式相加得： a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2， 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2. (2)∵當(dāng)a>0，b>0時(shí)，a＋b≥2， ∴＋≥2＝2c. 同理：＋≥2＝2b， ＋≥2＝2a. 將以上三個(gè)不等式相加得： 2≥2(a＋b＋c)， ∴＋＋≥a＋b＋c. 平均值不等式具有將“和式”和“積式”相互轉(zhuǎn)化的放縮功能，常常用于證明不等式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用平均值不等式的切入點(diǎn).但應(yīng)注意連續(xù)多次使用平均值不等式定理的等號(hào)成立的條件是否保持一致. [再練一題] 2．設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：(a＋b＋c)2≥27. 【證明】　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a＋b＋c≥3＞0，從而(a＋b＋c)2≥9＞0， 又＋＋≥3＞0， ∴(a＋b＋c)2 ≥39＝27. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． 故原不等式成立． [探究共研型] 平均值不等式的變式及條件不等式的證明 探究1　不等式≥，≥成立的條件都是a，b，c為正數(shù)，在條件b≥a>0成立時(shí)，a，，，，，b之間有怎樣的大小關(guān)系？ 【提示】　a≤≤≤≤≤b. 探究2　若問(wèn)題中一端出現(xiàn)“和式”，另一端出現(xiàn)“積式”時(shí)，這便是應(yīng)用不等式的“題眼”，那么若條件中有“和式為1”時(shí)，應(yīng)如何思考？ 【提示】　應(yīng)用平均值不等式時(shí)，一定要注意條件a>0，b>0，c>0.若有“和式為1”時(shí)，常反過(guò)來(lái)應(yīng)用“1”的代換，即把“1”化成“和”，再試著應(yīng)用平均值不等式． 　已知a＞0，b＞0，c＞0，求證： (1)≤ ； (2)＋＋≥(a＋b＋c)． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)式兩端均是“和”，不能直接利用平均值不等式，解決的關(guān)鍵是對(duì) 的處理，先考慮平方關(guān)系，化難為易；(2)注意兩邊都是“和”式，可利用(1)題的結(jié)論． 【自主解答】　(1)∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2， ∴≥ . 又a＞0，b＞0，∴≤ . (2)由(1)得 ≥(a＋b)． 同理：≥(b＋c)，≥(a＋c)． 三式相加得：＋＋≥(a＋b＋c)． 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，取“＝”號(hào)． 1．第(2)問(wèn)利用了第(1)問(wèn)的結(jié)論≤ ，記住這一結(jié)論可幫我們找到解題思路，但此不等式要給予證明． 2．一般地，數(shù)學(xué)中的定理、公式揭示了若干量之間的本質(zhì)聯(lián)系，但不能定格于某種特殊形式，因此平均值不等式a2＋b2≥2ab的形式可以是a2≥2ab－b2，也可以是ab≤，還可以是a＋≥2b(a＞0)，≥2b－a等．解題時(shí)不僅要會(huì)利用原來(lái)的形式，而且要掌握它的幾種變形形式以及公式的逆用． [再練一題] 3．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，求證：＋≥. 【證明】　因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1， 所以≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立， 所以≤?ab≤?≥4， a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2＝，＋≥≥8. ＋＝a2＋b2＋4＋＋≥＋4＋8＝，所以＋≥. [構(gòu)建體系] 1．“a＞0且b＞0”是“a＋b≥2”成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】　A 2．設(shè)x，y，z為正數(shù)，且x＋y＋z＝6，則lg x＋lg y＋lg z的取值范圍是(　　) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞) 【解析】　∵6＝x＋y＋z≥3， ∴xyz≤8， ∴l(xiāng)g x＋lg y＋lg z＝lg (xyz)≤lg 8＝3lg 2. 【答案】　B 3．設(shè)a＞b＞0，把，，a，b按從大到小的順序排列是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910011】 【解析】　∵a＞b＞0， ∴a＞＞＞b. 【答案】　a＞＞＞b 4．不等式＋＞2成立的充要條件是________． 【解析】　由＋＞2，知＞0，即ab＞0. 又由題意知，≠，∴a≠b. 因此，＋＞2的充要條件是ab＞0且a≠b. 【答案】　ab＞0且a≠b 5．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋≥9. 【證明】?。剑?＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào)． 所以＋＋≥9. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(四) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．下列不等式恒成立的是(　　) A．x＋≥2 B．sin x＋≥2 C.＋≥2 D．ex＋≥2 【解析】　根據(jù)≥知，條件需a>0，b>0.∴A，B，C均不成立，D中，∵ex>0，∴成立． 【答案】　D 2．a(chǎn)，b為非零實(shí)數(shù)，那么不等式恒成立的是(　　) A．|a＋b|＞|a－b| B．≥ C.≥ab D．＋≥2 【解析】　a，b為非零實(shí)數(shù)時(shí)，A，B，D均不一定成立． 而－ab＝≥0恒成立． 【答案】　C 3．設(shè)a＞0，b＞0，且a＋b≤4，則有(　　) A.≥ B．＋≥1 C.≥2 D．≤ 【解析】　4≥a＋b≥2，∴≤2. ∴≥，＋≥2≥1. 【答案】　B 4．設(shè)02ab，b>a2＋b2，且>b. 故2abB. 法二：A＞，B＜，故A＞B. 【答案】　A＞B 8．已知不相等的三個(gè)正數(shù)a，b，c且abc＝1，則a3＋b3＋c3與3的大小關(guān)系是________． 【解析】　∵a，b，c是不相等的三個(gè)正數(shù)，且abc＝1， ∴a3＋b3＋c3＞3＝3. 【答案】　a3＋b3＋c3＞3 三、解答題 9．設(shè)a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8. 【證明】　∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， ∴2≤a＋b. 因此≤，≥4. 則＋＋＝(a＋b)＋ ≥22＋4＝8. 10．已知a，b，c大于0，求證： (a＋b＋c)≥. 【證明】　∵a，b，c大于0， ∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a) ≥3＞0， ＋＋≥3＞0， ∴(a＋b＋c)≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． [能力提升] 1．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件 【解析】　當(dāng)a＝b＝c＝2時(shí)，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；當(dāng)abc＝1時(shí)，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要條件． 【答案】　A 2．當(dāng)a，b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式中最小的是(　　) A. B． C. D． 【解析】　由≥及a2＋b2≥2ab，且a≠b， ∴≥＝， ∴A，B，C中，最小． 而＝. ∵a≠b時(shí)，a＋b＞2＞0， ∴(a＋b)＞2ab＞0，＜. 綜上可知，最小，應(yīng)選D. 【答案】　D 3．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a，b恒成立的是________(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))． ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. 【解析】　利用特殊值a＝b＝1排除②④. 由平均值不等式ab≤＝＝1，∴①正確． 由a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2[(a－1)2＋1]≥2，∴③正確． 由＋＝(a＋b) ＝≥(2＋2)＝2， ∴⑤正確． 【答案】?、佗邰? 4．設(shè)正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值． 【解】　因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)＝9. 于是[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥33＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立，即＋＋≥1，故＋＋的最小值為1.