高中數(shù)學 第3章 統(tǒng)計案例 3_1_1 回歸分析 1_2 相關系數(shù) 1.3 可線性化的回歸分析學案 北師大版選修2-3

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1.1　回歸分析 1.2　相關系數(shù) 1.3　可線性化的回歸分析 1．了解回歸分析的思想和方法．(重點) 2．掌握相關系數(shù)的計算和判斷線性相關的方法．(重點) 3．了解常見的非線性回歸模型轉化為線性回歸模型的方法．(難點) [基礎初探] 教材整理1　回歸分析 閱讀教材P73～P75，完成下列問題． 設變量y對x的線性回歸方程為y＝a＋bx，由最小二乘法知系數(shù)的計算公式為： b＝＝＝，a＝－b. 教材整理2　相關系數(shù) 閱讀教材P76～P78，完成下列問題． 1．相關系數(shù)r的計算 假設兩個隨機變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則變量間線性相關系數(shù) r＝＝ ＝. 2．相關系數(shù)r與線性相關程度的關系 (1)r的取值范圍為[－1,1]； (2)|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關程度越高； (3)|r|值越接近0，誤差Q越大，變量之間的線性相關程度越低． 3．相關性的分類 (1)當r>0時，兩個變量正相關； (2)當r<0時，兩個變量負相關； (3)當r＝0時，兩個變量線性不相關． 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)兩個變量的相關系數(shù)r＞0，則兩個變量正相關．(　　) (2)兩個變量的相關系數(shù)越大，它們的相關程度越強．(　　) (3)若兩個變量負相關，那么其回歸直線的斜率為負．(　　) 【答案】　(1)√　(2)　(3)√ 教材整理3　可線性化的回歸分析 閱讀教材P79～P82，完成下列問題． 1．非線性回歸分析 對不具有線性相關關系的兩個變量做統(tǒng)計分析，通過變量代換，轉化為線性回歸模型． 2．非線性回歸方程 曲線 方程 曲線圖形 變換 公式 變換后的 線性函數(shù) y＝axb (a＝1，b＞0)(a＝1，b＜0) c＝ln a v＝ln x u＝ln y u＝c＋bv y＝aebx (a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0) c＝ln a u＝ln y u＝c＋bx y＝ae (a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0) c＝ln a v＝ u＝ln y u＝c＋bv y＝a＋ bln x (b＞0)　　(b＜0) v＝ln x u＝y(tǒng) u＝a＋bv 下列數(shù)據(jù)x，y符合哪一種函數(shù)模型(　　) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2 2.69 3 3.38 3.6 3.8 4 4.08 4.2 4.3 A.y＝2＋x　　　　　 B．y＝2ex C．y＝2e D．y＝2＋ln x 【解析】　分別將x的值代入解析式判斷知滿足y＝2＋ln x. 【答案】　D [質疑手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 [小組合作型] 變量間的相關關系及判定 　(1)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖311①，對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖②.由這兩個散點圖可以判斷(　　) 圖311 A．變量x與y正相關，u與v正相關 B．變量x與y正相關，u與v負相關 C．變量x與y負相關，u與v正相關 D．變量x與y負相關，u與v負相關 (2)(2016上饒高二檢測)兩個變量x，y與其線性相關系數(shù)r有下列說法： ①若r＞0，則x增大時，y也隨之相應增大；②若r＜0，則x增大時，y也相應增大；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關系完全對應(有函數(shù)關系)，在散點圖上各個散點均在一條直線上，其中正確的有(　　) A．①②　　 B．②③ C．①③ D．①②③ (3)有五組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學習時間和平均學習成績；③某人每日吸煙量和其身體健康情況；④正方形的邊長和面積；⑤汽車的重量和百公里耗油量．其中兩個變量成正相關的是 (　　) A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤ 【精彩點撥】　可借助于線性相關概念及性質作出判斷． 【自主解答】　(1)由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負相關，u與v正相關，故選C. (2)根據(jù)兩個變量的相關性與其相關系數(shù)r之間的關系知，①③正確，②錯誤，故選C. (3)其中①③成負相關關系，②⑤成正相關關系，④成函數(shù)關系，故選C. 【答案】　(1)C　(2)C　(3)C 1．線性相關系數(shù)是從數(shù)值上來判斷變量間的線性相關程度，是定量的方法．與散點圖相比較，線性相關系數(shù)要精細得多，需要注意的是線性相關系數(shù)r的絕對值小，只是說明線性相關程度低，但不一定不相關，可能是非線性相關． 2．利用相關系數(shù)r來檢驗線性相關顯著性水平時，通常與0.75作比較，若r>0.75，則線性相關較為顯著，否則為不顯著． [再練一題] 1．下列兩變量中具有相關關系的是(　　) 【導學號：62690052】 A．正方體的體積與邊長 B．人的身高與體重 C．勻速行駛車輛的行駛距離與時間 D．球的半徑與體積 【解析】　選項A中正方體的體積為邊長的立方，有固定的函數(shù)關系；選項C中勻速行駛車輛的行駛距離與時間成正比，也是函數(shù)關系；選項D中球的體積是π與半徑的立方相乘，有固定函數(shù)關系．只有選項B中人的身高與體重具有相關關系． 【答案】　B 求線性回歸方程 　(2016九江高二檢測)某服裝商場為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表： 月平均氣溫x(℃) 17 13 8 2 月銷售量y(件) 24 33 40 55 (1)算出線性回歸方程y＝bx＋a.(a，b精確到0.1) (2)氣象部門預測下個月的平均氣溫約為6 ℃，據(jù)此估計該商場下個月毛衣的銷售量． 【精彩點撥】　(1)可利用公式求解； (2)把月平均氣溫代入回歸方程求解． 【自主解答】　 (1)由散點圖易判斷y與x具有線性相關關系． ＝(17＋13＋8＋2)4＝10， ＝(24＋33＋40＋55)4＝38， xiyi＝1724＋1333＋840＋255＝1 267， x＝526， b＝ ＝ ≈－2.01， a＝－b≈38－(－2.01)10＝58.1， 所以線性回歸方程為y＝－2.0x＋58.1. (2)氣象部門預測下個月的平均氣溫約為6 ℃，據(jù)此估計，該商場下個月毛衣的銷售量為y＝－2.0 x＋58.1＝－2.06＋58.1≈46(件)． 1．回歸分析是定義在具有相關關系的兩個變量基礎上的，因此，在作回歸分析時，要先判斷這兩個變量是否相關，利用散點圖可直觀地判斷兩個變量是否相關． 2．利用回歸直線，我們可以進行預測．若回歸直線方程y＝a＋bx，則x＝x0處的估計值為y0＝a＋bx0. 3．線性回歸方程中的截距a和斜率b都是通過樣本估計而得到的，存在著誤差，這種誤差可能導致預報結果的偏差，所以由線性回歸方程給出的是一個預報值而非精確值． 4．回歸直線必過樣本點的中心點． [再練一題] 2．某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖(要求：點要描粗)； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程y＝bx＋a； (3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力． 【解】　(1)如圖： (2) xiyi＝62＋83＋105＋126＝158， ＝＝9， ＝＝4， x＝62＋82＋102＋122＝344， b＝＝＝0.7， a＝－b＝4－0.79＝－2.3， 故線性回歸方程為y＝0.7x－2.3. (3)由(2)中線性回歸方程得當x＝9時，y＝0.79－2.3＝4，預測記憶力為9的同學的判斷力約為4. [探究共研型] 可線性化的回歸分析 探究1　如何解答非線性回歸問題？ 【提示】　非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式．這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與學過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決．其一般步驟為： 探究2　已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則下列四個函數(shù)中，模擬效果最好的為哪一個？ x 1 2 3 y 3 5.99 12.01 ①y＝32x－1; ②y＝log2x； ③y＝4x; ④y＝x2. 【提示】　觀察散點圖中樣本點的分布規(guī)律可判斷樣本點分布在曲線y＝32x－1附近．所以模擬效果最好的為①. 　某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表： 身高x(cm) 60 70 80 90 100 110 體重y(kg) 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高x(cm) 120 130 140 150 160 170 體重y(kg) 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)試建立y與x之間的回歸方程； (2)如果一名在校男生身高為168 cm，預測他的體重約為多少？ 【精彩點撥】　先由散點圖確定相應的擬合模型，再通過對數(shù)變換將非線性相關轉化為線性相關的兩個變量來求解． 【自主解答】　(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，如下： 由圖看出，這些點分布在某條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝ln y，列表如下： x 60 70 80 90 100 110 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 x 120 130 140 150 160 170 z 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 作出散點圖，如下： 由表中數(shù)據(jù)可求得z與x之間的回歸直線方程為＝0.693＋0.020x，則有y＝e0.693＋0.020x. (2)由(1)知，當x＝168時，y＝e0.693＋0.020168≈57.57，所以在校男生身高為168 cm，預測他的體重約為57.57 kg. 兩個變量不具有線性關系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的關系，可以通過變換的方法轉化為線性回歸模型，如y＝c1ec2x，我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關系變?yōu)榫€性關系，令z＝ln y，則變換后樣本點應該分布在直線z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周圍. [再練一題] 3．在一次抽樣調查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)據(jù)如下表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 試建立y與x之間的回歸方程． 【解】　作出變量y與x之間的散點圖如圖所示． 由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關系． 設y＝，令t＝，則y＝kt.由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表： t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 作出y與t的散點圖如圖所示． 由圖可知y與t呈近似的線性相關關系． 又＝1.55，＝7.2，iyi＝94.25，＝21.312 5， b＝ ＝≈4.134 4， a＝－b＝7.2－4.134 41.55≈0.8， ∴y＝4.134 4t＋0.8. 所以y與x的回歸方程是y＝＋0.8. [構建體系] 1．下列結論正確的是(　　) ①函數(shù)關系是一種確定性關系；②相關關系是一種非確定性關系；③回歸分析是對具有函數(shù)關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法；④回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法． A．①②　　 B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【解析】　函數(shù)關系和相關關系的區(qū)別是前者是確定性關系，后者是非確定性關系，故①②正確；回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法，故③錯誤，④正確． 【答案】　C 2．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關于x的線性回歸方程必過點(　　) x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 A.(2,3) B．(1.5,4) C．(2.5,4) D．(2.5,5) 【解析】　線性回歸方程必過樣本點的中心(，)， 即(2.5,4)，故選C. 【答案】　C 3．對具有線性相關關系的變量x和y，由測得的一組數(shù)據(jù)求得回歸直線的斜率為6.5，且恒過(2,3)點，則這條回歸直線的方程為________. 【導學號：62690053】 【解析】　由題意知＝2，＝3，b＝6.5，所以a＝－b＝3－6.52＝－10，即回歸直線的方程為y＝－10＋6.5x. 【答案】　y＝－10＋6.5x 4．部門所屬的10個工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價值與工業(yè)增加值資料如下表(單位：百萬元)： 固定資產(chǎn)價值 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10 工業(yè)增加值 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45 根據(jù)上表資料計算的相關系數(shù)為________． 【解析】　＝＝6.6. ＝＝31.5. ∴r＝＝0.991 8. 【答案】　0.991 8 5．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b； (2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本) 【解】　(1)＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80， ∵b＝－20，a＝－b， ∴a＝80＋208.5＝250， ∴回歸直線方程為y＝－20x＋250. (2)設工廠獲得的利潤為L元，則L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－202＋361.25， ∴該產(chǎn)品的單價應定為元時，工廠獲得的利潤最大． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學業(yè)分層測評 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．為了考查兩個變量x和y之間的線性相關性，甲、乙兩名同學各自獨立地做了10次試驗和15次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1和l2.已知兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為t，那么下列說法中正確的是(　　) A．直線l1和l2都過點(s，t) B．直線l1和l2相交，但交點不一定是(s，t) C．直線l1和l2必平行 D．直線l1和l2必重合 【解析】　線性回歸方程y＝bx＋a恒過點(，)，故直線l1和l2都過點(s，t)． 【答案】　A 2．已知人的年齡x與人體脂肪含量的百分數(shù)y的回歸方程為y＝0.577x－0.448，如果某人36歲，那么這個人的脂肪含量(　　) A．一定是20.3% B．在20.3%附近的可能性比較大 C．無任何參考數(shù)據(jù) D．以上解釋都無道理 【解析】　將x＝36代入回歸方程得y＝0.57736－0.448≈20.3.由回歸分析的意義知，這個人的脂肪含量在20.3%附近的可能性較大，故選B. 【答案】　B 3．關于回歸分析，下列說法錯誤的是(　　) A．回歸分析是研究兩個具有相關關系的變量的方法 B．線性相關系數(shù)可以是正的或負的 C．回歸模型中一定存在隨機誤差 D．散點圖表明確反映變量間的關系 【解析】　用散點圖反映兩個變量間的關系時，存在誤差，故D錯誤． 【答案】　D 4．某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列擬合曲線，其中擬合程度最好的是(　　) A．y＝2x－2　　　　 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝(x2－1) 【解析】　代入檢驗，當x取相應的值時，所得y值與已知數(shù)據(jù)差的平方和最小的便是擬合程度最高的． 【答案】　D 5．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程y＝bx＋a中的b為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 【解析】　樣本點的中心是(3.5,42)，則a＝－b＝42－9.43.5＝9.1，所以回歸直線方程是y＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y＝65.5. 【答案】　B 二、填空題 6．回歸分析是處理變量之間________關系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法. 【導學號：62690054】 【解析】　回歸分析是處理變量之間相關關系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法． 【答案】　相關 7．已知某個樣本點中的變量x，y線性相關，相關系數(shù)r＜0，則在以(，)為坐標原點的坐標系下的散點圖中，大多數(shù)的點都落在第________象限． 【解析】　∵r＜0時b＜0， ∴大多數(shù)點落在第二、四象限． 【答案】　二、四 8．某數(shù)學老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm,170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________cm. 【解析】　兒子和父親的身高可列表如下： 父親身高 173 170 176 兒子身高 170 176 182 設線性回歸方程y＝a＋bx，由表中的三組數(shù)據(jù)可求得b＝1，故a＝－b＝176－173＝3，故線性回歸方程為y＝3＋x，將x＝182代入得孫子的身高為185 cm. 【答案】　185 三、解答題 9．(2016包頭高二檢測)關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計資料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 如由資料可知y對x呈線性相關關系．試求： (1)線性回歸方程： (2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？ 【解】　(1)＝＝4， ＝＝5， ＝90，iyi＝112.3， b＝＝＝1.23. 于是a＝－bx＝5－1.234＝0.08. 所以線性回歸方程為y＝1.23x＋0.08. (2)當x＝10時，y＝1.2310＋0.08＝12.38(萬元)， 即估計使用10年時維修費用是12.38萬元． 10．某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關系，隨機統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對比表. 氣溫/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯數(shù) 20 24 34 38 50 64 畫出散點圖并判斷熱茶銷售量與氣溫之間是否具有線性相關關系． 【解】　畫出散點圖如圖所示． ＝(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7， ＝(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3， xiyi＝2620＋1824＋1334＋1038＋450－164＝1 910， x＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1 286， y＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10 172， 由r＝， 可得r ≈0.97. 由于r的值較大，所以x與y具有很強的線性相關關系． [能力提升] 1．經(jīng)統(tǒng)計，用于數(shù)學學習的時間(單位：小時)與成績(單位：分)近似于線性相關關系．對某小組學生每周用于數(shù)學的學習時間x與數(shù)學成績y進行數(shù)據(jù)收集如表： x 15 16 18 19 22 y 102 98 115 115 120 由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為y＝bx＋a，則點(a，b)與直線x＋18y＝100的位置關系是(　　) A．a(chǎn)＋18b＜100 B．a(chǎn)＋18b＞100 C．a(chǎn)＋18b＝100 D．a(chǎn)＋18b與100的大小無法確定 【解析】?。?15＋16＋18＋19＋22)＝18， ＝(102＋98＋115＋115＋120)＝110， 所以樣本數(shù)據(jù)的中心點為(18,110)， 所以110＝18b＋a， 即點(a，b)滿足a＋18b＝110＞100. 【答案】　B 2．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y＝bx＋a.若某同學根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結論正確的是 (　　) A．b>b′，a>a′ B．b>b′，aa′ D．ba′. 【答案】　C 3．(2016江西吉安高二檢測)已知x，y的取值如下表所示，由散點圖分析可知y與x線性相關，且線性回歸方程為y＝0.95x＋2.6，那么表格中的數(shù)據(jù)m的值為________. x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 m 【解析】?。剑?，＝＝，把(，)代入回歸方程得＝0.952＋2.6，解得m＝6.7. 【答案】　6.7 4．某商店各個時期的商品流通率y(%)和商品零售額x(萬元)資料如下： x 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 y 6 4.6 4 3.2 2.8 x 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5 y 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 散點圖顯示出x與y的變動關系為一條遞減的曲線．經(jīng)濟理論和實際經(jīng)驗都證明，流通率y決定于商品的零售額x，體現(xiàn)著經(jīng)營規(guī)模效益，假定它們之間存在關系式：y＝a＋.試根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出a與b的估計值，并估計商品零售額為30萬元時的商品流通率． 【解】　設u＝，則y≈a＋bu，得下表數(shù)據(jù)： u 0.105 3 0.087 0 0.074 1 0.064 5 0.057 1 y 6 4.6 4 3.2 2.8 u 0.051 3 0.046 5 0.042 6 0.039 2 0.036 4 y 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 進而可得n＝10，≈0.060 4，＝3.21， u－102≈0.004 557 3， iyi－10 ≈0.256 35， b≈≈56.25， a＝－b≈－0.187 5， 所求的回歸方程為y＝－0.187 5＋. 當x＝30時，y＝1.687 5，即商品零售額為30萬元時，商品流通率為1.687 5%.