高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3 綜合法與分析法 3_1 綜合法課后演練提升 北師大版選修1-2
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2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3 綜合法與分析法 3.1 綜合法課后演練提升 北師大版選修1-2 一、選擇題 1．若a>0，b>0，則下列不等式中不成立的是( ) A．a(chǎn)2＋b2≥2ab B．a(chǎn)＋b≥2 C．a(chǎn)2＋b2≥(a＋b)2 D．＋<(a≠b) 解析： a2＋b2≥2ab，a＋b≥2. a2＋b2－(a＋b)2＝a2＋b2－ab＝(a－b)2≥0 即a2＋b2≥(a＋b)2.故選D. 答案： D 2．對(duì)于0＜a＜1，給出四個(gè)不等式：①loga(1＋a)＜loga；②loga(1＋a)＞loga；③a1＋a＜a1＋；④a1＋a＞a1＋. 其中成立的是( ) A．①與③ B．①與④ C．②與③ D．②與④ 解析： ∵0＜a＜1，∴0＜a＜ ∴1＜1＋a＜1＋， 又∵0＜a＜1， ∴l(xiāng)oga(1＋a)＞loga，且a1＋a＞a1＋. 答案： D 3．p＝＋，q＝ (m，n，a，b，c，d均為正數(shù))，則p，q的大小為( ) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．不確定 解析： q＝≥ ＝＋＝p. 答案： B 4．在△ABC中，已知sin Acos A＝sin Bcos B，則該三角形是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 解析： 由sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 答案： D 二、填空題 5．設(shè)a＝，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小關(guān)系為________． 解析： ∵a2－c2＝2－(8－4) ＝4－6＝－＞0，∴a＞c. ∵＝＝＞1，∴c＞b. 答案： a＞c＞b 6．已知a、b、u∈R*，且＋＝1，則使得a＋b≥u恒成立的u的取值范圍是________． 解析： a＋b＝(a＋b) ＝10＋＋≥10＋2＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)＝即3a＝b時(shí)取等號(hào)， 若a＋b≥u恒成立，則u≤16. 答案： (－∞，16] 三、解答題 7．已知a，b>0，且a＋b＝1，求證：＋≥4. 證明： 證法一：∵a，b>0，且a＋b＝1， ∴a＋b≥2.∴≤. ∴＋＝＝≥4. 證法二：∵a，b是正數(shù)， ∴a＋b≥2>0.＋≥2>0. ∴(a＋b)≥4.又∵a＋b＝1，∴＋≥4. 證法三：＋＝＋＝1＋＋＋1 ≥2＋2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取“＝”號(hào)． 8．在△ABC中，若a2＝b(b＋c)．求證：A＝2B. 證明： ∵a2＝b(b＋c)，而 cos A＝＝＝， cos 2B＝2cos2B－1＝22－1 ＝22－1＝＝， ∴cos A＝cos 2B. 又A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝2B. 9．(1)設(shè)x≥1，y≥1，證明x＋y＋≤＋＋xy； (2)設(shè)1＜a≤b≤c，證明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. 證明： (1)由于x≥1，y≥1，所以 x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 將上式中的右式減左式，得 [y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)． 由于x≥1，y≥1， 所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 從而所要證明的不等式成立． (2)設(shè)logab＝x，logbc＝y(tǒng)，由對(duì)數(shù)的換底公式得 logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy. 于是，所要證明的不等式即為 x＋y＋≤＋＋xy， 又由于1下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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