高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2_4_2 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 第2課時 直線與拋物線的位置關系高效測評 新人教A版選修2-1
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2016-2017學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 第2課時 直線與拋物線的位置關系高效測評 新人教A版選修2-1 (本欄目內(nèi)容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程為( ) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 解析： 設切線方程為2x－y＋m＝0，與y＝x2聯(lián)立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1， 即切線方程為2x－y－1＝0. 答案： D 2．過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線( ) A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在 解析： 由定義|AB|＝5＋2＝7， ∵|AB|min＝4，∴這樣的直線有且僅有兩條． 答案： B 3．過點(0，－2)的直線與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為2，則|AB|等于( ) A．2 B. C．2 D. 解析： 設直線方程為y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0. ∵直線與拋物線交于A，B兩點， ∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1. 又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)． ∴|AB|＝ |x1－x2| ＝ ＝ ＝2. 答案： C 4．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k＝( ) A. B. C. D. 解析： 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0， 由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， ∴x1x2＝4. ① ∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2， 且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2. ② 由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝. 答案： D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作傾斜角為45的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________. 解析： ∵F，∴設AB：y＝x－，與y2＝2px聯(lián)立，得x2－3px＋＝0.∴xA＋xB＝3p.由焦半徑公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2. 答案： 2 6．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，則AB的中點M到拋物線準線的距離為________． 解析： 拋物線的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中點M的橫坐標為，因此點M到拋物線準線的距離為＋1＝. 答案： 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．k取何值時，直線y＝2x＋k與拋物線y2＝4x無交點？ 解析： 把拋物線y2＝4x與直線y＝2x＋k聯(lián)立方程組得，消去y整理得4x2＋(4k－4)x＋k2＝0，Δ＝(4k－4)2－44k2<0解得k>.綜上，當k>時直線與拋物線沒有交點． 8．已知拋物線y2＝6x，過點P(4,1)引一弦，使它恰在P點被平分，求這條弦所在直線方程． 解析： 設弦的兩個端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所求直線方程為y－1＝k(x－4)， ∵P1，P2在拋物線上， ∴y＝6x1，y＝6x2， 兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2) ① 將y1＋y2＝2代入①得k＝＝3， ∴直線方程為3x－y－11＝0. 9．(10分)已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線y2＝－x交于A，B兩點，O為坐標原點． (1)若△OAB的面積為，求k的值； (2)求證：以弦AB為直徑的圓必過原點． 解析： (1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，原點O到直線AB的距離為d，聯(lián)立得，化簡整理得 k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由根與系數(shù)的關系得，x1＋x2＝－，x1x2＝1.由弦長公式，得|AB|＝|x1－x2|＝ ， 由點到直線距離公式得d＝， ∴S△OAB＝|AB|d＝ ＝，解得k＝. (2)證明：由(1)可得kOA＝，kOB＝，kOAkOB＝. ∵y＝－x1，y＝－x2， ∴x1x2＝(y1y2)2， ∴kOAkOB＝， 又得ky2＋y－k＝0， ∴y1y2＝－1，即kOAkOB＝－1， ∴OA⊥OB， ∴以弦AB為直徑的圓必過原點．
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