選修4-5_《不等式選講》全冊教案.doc
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C.9 D.122.函數(shù)的最小值是_3函數(shù)的最大值是( )A.0 B.1 C. D. 4.(2009浙江自選)已知正數(shù)滿足,求的最小值。5(2008,江蘇,21)設(shè)為正實數(shù),求證:四、課堂小結(jié):通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家掌握三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值,但是在應(yīng)用時,應(yīng)注意定理的適用條件。五、課后作業(yè)P10習(xí)題1.1第11,12,13題六、教學(xué)后記:課題:第04課時 絕對值三角不等式教學(xué)目標(biāo):1:了解絕對值三角不等式的含義,理解絕對值三角不等式公式及推導(dǎo)方法, 會進(jìn)行簡單的應(yīng)用。2:充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法,體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,并能運用絕對值三角不等式公式進(jìn)行推理和證明。教學(xué)重點:絕對值三角不等式的含義,絕對值三角不等式的理解和運用。教學(xué)難點:絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入: 關(guān)于含有絕對值的不等式的問題,主要包括兩類:一類是解不等式,另一類是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。1請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。 。 幾何意義:在數(shù)軸上,一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。2證明一個含有絕對值的不等式成立,除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外,經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì):(1),當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。(2), (3), (4)那么二、講解新課:結(jié)論:(當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.)已知是實數(shù),試證明:(當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.)方法一:證明:10 .當(dāng)ab0時, 20. 當(dāng)ab,對一切實數(shù)都成立,求實數(shù)的取值范圍。四、課堂練習(xí):解下列不等式:1、 2、 3、 . 4、 . 5、 6、 .7、 8、 9、 10、 五、課后作業(yè):課本20第6、7、8、9題。六、教學(xué)后記:第二講 證明不等式的基本方法課題:第01課時 不等式的證明方法之一:比較法教學(xué)目標(biāo):能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。教學(xué)重、難點:能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。教學(xué)過程:一、新課學(xué)習(xí):要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差的符號即可,即利用不等式的性質(zhì):二、典型例題:例1、設(shè)都是正數(shù),且,求證:。例2、若實數(shù),求證:證明:采用差值比較法: = = = = 討論:若題設(shè)中去掉這一限制條件,要求證的結(jié)論如何變換?例3、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。 證明:1) 差值比較法:注意到要證的不等式關(guān)于對稱,不妨設(shè),從而原不等式得證。2)商值比較法:設(shè) 故原不等式得證。例4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度行走,另一半時間以速度行走;乙有一半路程以速度行走,另一半路程以速度行走。如果,問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點。分析:設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為。要回答題目中的問題,只要比較的大小就可以了。解:設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為,根據(jù)題意有,可得,從而,其中都是正數(shù),且。于是,即。從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點。討論:如果,甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點?三、課堂練習(xí):1比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大?。海?)與;(2)與.2已知 求證:(1) (2)3若,求證四、課時小結(jié):比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是:作差(或作商)、變形、判斷符號?!白冃巍笔墙忸}的關(guān)鍵,是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。五、課后作業(yè):課本23頁第1、2、3、4題。六、教學(xué)后記:課題:第02課時 不等式的證明方法之二:綜合法與分析法教學(xué)目標(biāo):1、 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例,了解直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法。2、 了解分析法和綜合法的思考過程。教學(xué)重點:會用綜合法證明問題;了解綜合法的思考過程。教學(xué)難點:根據(jù)問題的特點,結(jié)合綜合法的思考過程、特點,選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法。教學(xué)過程:一、引入:綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法,也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性,這里將其放在一起加以認(rèn)識、學(xué)習(xí),以便于對比研究兩種思路方法的特點。所謂綜合法,即從已知條件出發(fā),根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式,逐步推導(dǎo)出要證的不等式。而分析法,則是由結(jié)果開始,倒過來尋找原因,直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”,后一種是“執(zhí)果索因”。打一個比方:張三在山里迷了路,救援人員從駐地出發(fā),逐步尋找,直至找到他,這是“綜合法”;而張三自己找路,直至回到駐地,這是“分析法”。二、典型例題:例1、已知,且不全相等。求證: 分析:用綜合法。例2、設(shè),求證證法一 分析法要證成立.只需證成立,又因,只需證成立,又需證成立,即需證成立.而顯然成立. 由此命題得證。證法二 綜合法 注意到,即,由上式即得,從而成立。議一議:根據(jù)上面的例證,你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎?例3、已知a,b,m都是正數(shù),并且求證: (1)證法一 要證(1),只需證 (2)要證(2),只需證 (3)要證(3),只需證 (4)已知(4)成立,所以(1)成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。證法二 因為 是正數(shù),所以 兩邊同時加上得兩邊同時除以正數(shù)得(1)。例4、證明:通過水管放水,當(dāng)流速相同時,如果水管橫截面的周長相等,那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析:當(dāng)水的流速相同時,水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設(shè)截面的周長為,則周長為的圓的半徑為,截面積為;周長為的正方形為,截面積為。所以本題只需證明。證明:設(shè)截面的周長為,則截面是圓的水管的截面面積為,截面是正方形的水管的截面面積為。只需證明:。為了證明上式成立,只需證明。兩邊同乘以正數(shù),得:。因此,只需證明。上式顯然成立,所以 。這就證明了:通過水管放水,當(dāng)流速相同時,如果水管橫截面的周長相等,那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。例5、證明:。證法一: 因為 (2) (3) (4)所以三式相加得 (5)兩邊同時除以2即得(1)。 證法二:所以(1)成立。例6、證明: (1)證明 (1) (2)(3) (4) (5)(5)顯然成立。因此(1)成立。例7、已知都是正數(shù),求證并指出等號在什么時候成立?分析:本題可以考慮利用因式分解公式 著手。證明: = = 由于都是正數(shù),所以而,可知 即(等號在時成立)探究:如果將不等式中的分別用來代替,并在兩邊同除以3,會得到怎樣的不等式?并利用得到的結(jié)果證明不等式: ,其中是互不相等的正數(shù),且.三、課堂小結(jié):解不等式時,在不等式的兩邊分別作恒等變形,在不等式的兩邊同時加上(或減去)一個數(shù)或代數(shù)式,移項,在不等式的兩邊同時乘以(或除以)一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式,得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法,也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧。四、課堂練習(xí):1、已知求證:2、已知求證3、已知求證4、已知求證:(1)(2) 5、已知都是正數(shù)。求證:(1) (2)6、已知都是互不相等的正數(shù),求證五、課后作業(yè): 課本25頁第1、2、3、4題。六、教學(xué)后記:課題:第03課時 不等式的證明方法之三:反證法教學(xué)目標(biāo):通過實例,體會反證法的含義、過程與方法,了解反證法的基本步驟,會用反證法證明簡單的命題。教學(xué)重點:體會反證法證明命題的思路方法,會用反證法證明簡單的命題。教學(xué)難點:會用反證法證明簡單的命題。教學(xué)過程:一、引入:前面所講的幾種方法,屬于不等式的直接證法。也就是說,直接從題設(shè)出發(fā),經(jīng)過一系列的邏輯推理,證明不等式成立。但對于一些較復(fù)雜的不等式,有時很難直接入手求證,這時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性,而是證明它的反論題為假,或轉(zhuǎn)而證明它的等價命題為真,以間接地達(dá)到目的。其中,反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表明:若肯定命題的條件而否定其結(jié)論,就會導(dǎo)致矛盾。具體地說,反證法不直接證明命題“若p則q”,而是先肯定命題的條件p,并否定命題的結(jié)論q,然后通過合理的邏輯推理,而得到矛盾,從而斷定原來的結(jié)論是正確的。利用反證法證明不等式,一般有下面幾個步驟:第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論;第二步 作出與所證不等式相反的假定;第三步 從條件和假定出發(fā),應(yīng)用證確的推理方法,推出矛盾結(jié)果;第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因,在于開始所作的假定不正確,于是原證不等式成立。二、典型例題:例1、已知,求證:(且)例1、設(shè),求證證明:假設(shè),則有,從而 因為,所以,這與題設(shè)條件矛盾,所以,原不等式成立。例2、設(shè)二次函數(shù),求證:中至少有一個不小于.證明:假設(shè)都小于,則 (1) 另一方面,由絕對值不等式的性質(zhì),有 (2) (1)、(2)兩式的結(jié)果矛盾,所以假設(shè)不成立,原來的結(jié)論正確。注意:諸如本例中的問題,當(dāng)要證明幾個代數(shù)式中,至少有一個滿足某個不等式時,通常采用反證法進(jìn)行。議一議:一般來說,利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果,通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式,以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例,討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點?例3、設(shè)0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,則三式相乘:ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 0,ab + bc + ca 0,abc 0,求證:a, b, c 0 證:設(shè)a 0, bc 0, 則b + c = -a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾, 必有a 0 同理可證:b 0, c 0三、課堂練習(xí):1、利用反證法證明:若已知a,b,m都是正數(shù),并且,則 2、設(shè)0 a, b, c 0,且x + y 2,則和中至少有一個小于2。提示:反設(shè)2,2 x, y 0,可得x + y 2 與x + y 2矛盾。四、課時小結(jié):利用反證法證明不等式,一般有下面幾個步驟:第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論;第二步 作出與所證不等式相反的假定;第三步 從條件和假定出發(fā),應(yīng)用證確的推理方法,推出矛盾結(jié)果;第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因,在于開始所作的假定不正確,于是原證不等式成立。五、課后作業(yè):課本29頁第1、4題。六、教學(xué)后記:課題:第04課時 不等式的證明方法之四:放縮法教學(xué)目標(biāo):1感受在什么情況下,需要用放縮法證明不等式。2探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。教學(xué)重、難點:1掌握證明不等式的兩種放縮技巧。2體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。教學(xué)過程:一、引入:所謂放縮法,即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。?,使之得出明顯的不等量關(guān)系后,再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性,從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法,尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時用處更為廣泛。下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。二、典型例題:例1、若是自然數(shù),求證證明: = =注意:實際上,我們在證明的過程中,已經(jīng)得到一個更強(qiáng)的結(jié)論,這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。例2、求證:證明:由(是大于2的自然數(shù)) 得 例3、若a, b, c, dR+,求證:證:記m = a, b, c, dR+ 1 m 2 時,求證:證:n 2 n 2時, 三、課堂練習(xí):1、設(shè)為大于1的自然數(shù),求證2、設(shè)為自然數(shù),求證四、課時小結(jié):常用的兩種放縮技巧:對于分子分母均取正值的分式,()如果分子不變,分母縮?。ǚ帜溉詾檎龜?shù)),則分式的值放大;()如果分子不變,分母放大,則分式的值縮小。五、課后作業(yè):課本29頁第2、3題。第三講 柯西不等式與排序不等式課題:第1課時 二維形式的柯西不等式(一)教學(xué)目標(biāo):認(rèn)識二維柯西不等式的幾種形式,理解它們的幾何意義, 并會證明二維柯西不等式及向量形式. 教學(xué)重點:會證明二維柯西不等式及三角不等式.教學(xué)難點:理解幾何意義.教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備:1. 提問: 二元均值不等式有哪幾種形式? 答案:及幾種變式.2. 練習(xí):已知a、b、c、d為實數(shù),求證 證法:(比較法)=.=二、講授新課:1. 柯西不等式: 提出定理1:若a、b、c、d為實數(shù),則. 即二維形式的柯西不等式 什么時候取等號? 討論:二維形式的柯西不等式的其它證明方法? 證法二:(綜合法) . (要點:展開配方) 證法三:(向量法)設(shè)向量,則,. ,且,則. . 證法四:(函數(shù)法)設(shè),則0恒成立. 0,即. 討論:二維形式的柯西不等式的一些變式? 變式: 或 或. 提出定理2:設(shè)是兩個向量,則. 即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 ) 討論:上面時候等號成立?(是零向量,或者共線) 練習(xí):已知a、b、c、d為實數(shù),求證. 證法:(分析法)平方 應(yīng)用柯西不等式 討論:其幾何意義?(構(gòu)造三角形)2. 教學(xué)三角不等式: 出示定理3:設(shè),則.分析其幾何意義 如何利用柯西不等式證明 變式:若,則結(jié)合以上幾何意義,可得到怎樣的三角不等式? 三、應(yīng)用舉例:例1:已知a,b為實數(shù),求證說明:在證明不等式時,聯(lián)系經(jīng)典不等式,既可以啟發(fā)證明思路,又可以簡化運算。所以,經(jīng)典不等式是數(shù)學(xué)研究的有力工具。例題2:求函數(shù)的最大值。分析:利用不等式解決最值問題,通常設(shè)法在不等式的一邊得到一個常數(shù),并尋找不等式取等號的條件。這個函數(shù)的解析式是兩部分的和,若能化為ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。()解:函數(shù)的定義域為【1,5】,且y0 當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,即時,函數(shù)取最大值課堂練習(xí):1. 證明: (x2+y4)(a4+b2)(a2x+by2)22.求函數(shù)的最大值.例3.設(shè)a,b是正實數(shù),a+b=1,求證分析:注意到,有了就可以用柯西不等式了。四、鞏固練習(xí):1. 練習(xí):試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值. 五、課堂小結(jié):二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式;三角不等式的兩種形式(兩點、三點)六、布置作業(yè):P37頁,4,5, 7,8,9七、教學(xué)后記:課題:第02課時二維形式的柯西不等式(二)教學(xué)目標(biāo):會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題,體會運用經(jīng)典不等式的一般方法發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系,經(jīng)過適當(dāng)變形,依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系.教學(xué)重點:利用二維柯西不等式解決問題.教學(xué)難點:如何變形,套用已知不等式的形式.教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入:1. 提問:二維形式的柯西不等式、三角不等式? 幾何意義? 答案:;2. 討論:如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式,拓廣到三維、四維?3. 如何利用二維柯西不等式求函數(shù)的最大值? 要點:利用變式.二、講授新課:1. 最大(小)值: 出示例1:求函數(shù)的最大值? 分析:如何變形? 構(gòu)造柯西不等式的形式 板演 變式: 推廣: 練習(xí):已知,求的最小值. 解答要點:(湊配法). 討論:其它方法 (數(shù)形結(jié)合法)2. 不等式的證明: 出示例2:若,求證:.分析:如何變形后利用柯西不等式? (注意對比 構(gòu)造) 要點: 討論:其它證法(利用基本不等式) 練習(xí):已知、,求證:.三、應(yīng)用舉例:例1已知a1,a2,an都是實數(shù),求證:分析:用n乘要證的式子兩邊,能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。例2已知a,b,c,d是不全相等的實數(shù),證明:a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da 分析:上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子,特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們,可以用柯西不等式進(jìn)行證明。分析:由形式,聯(lián)系柯西不等式,可以通過構(gòu)造(12+22+32)作為一個因式而解決問題。四、鞏固練習(xí):1. 練習(xí):教材P37 8、9題 練習(xí):1設(shè)x,y,z為正實數(shù),且x+y+z=1,求的最小值。 2已知a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值。 3已知a,b,c為正實數(shù),且a+2b+3c=9,求的最大值。選做:4已知a,b,c為正實數(shù),且a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最小值。(08廣一模) 5已知a,b,c為正實數(shù),且a+2b+c=1,求的最小值。(08東莞二模) 6已知x+y+z=,則m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08惠州調(diào)研)五、布置作業(yè):教材P37 1、6、7題 已知,且,則的最小值. 要點:. 其它證法 若,且,求的最小值. (要點:利用三維柯西不等式)變式:若,且,求的最大值.六、課堂小結(jié):比較柯西不等式的形式,將目標(biāo)式進(jìn)行變形,注意湊配、構(gòu)造等技巧.七、教學(xué)后記:課題:第03課時 一般形式的柯西不等式教學(xué)目標(biāo):1.認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式,理解其幾何意義; 2.通過運用這種不等式分析解決一些問題,體會運用經(jīng)典不等式的一般方法教學(xué)重點:一般形式柯西不等式的證明思路,運用這個不等式證明不等式。教學(xué)難點:應(yīng)用一般形式柯西不等式證明不等式。教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入:定理1:(柯西不等式的代數(shù)形式)設(shè)均為實數(shù),則,其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。定理2:(柯西不等式的向量形式)設(shè),為平面上的兩個向量,則,其中等號當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量方向相同或相反(即兩個向量共線)時成立。定理3:(三角形不等式)設(shè)為任意實數(shù),則: 二、講授新課:類似的,從空間向量的幾何背景業(yè)能得到|.| | .將空間向量的坐標(biāo)代入,可得到這就是三維形式的柯西不等式.對比二維形式和三維形式的柯西不等式,你能猜想出一般形式的柯西不等式嗎?定理4:(一般形式的柯西不等式):設(shè)為大于1的自然數(shù),(1,2,)為任意實數(shù),則:即,其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立(當(dāng)時,約定,1,2,)。證明:構(gòu)造二次函數(shù): 即構(gòu)造了一個二次函數(shù):由于對任意實數(shù),恒成立,則其,即:,即:,等號當(dāng)且僅當(dāng),即等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立(當(dāng)時,約定,1,2,)。如果()全為0,結(jié)論顯然成立。三、應(yīng)用舉例:例3 已知a1,a2,an都是實數(shù),求證:分析:用n乘要證的式子兩邊,能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。例4已知a,b,c,d是不全相等的實數(shù),證明:a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da 分析:上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子,特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們,可以用柯西不等式進(jìn)行證明。 分析:由形式,聯(lián)系柯西不等式,可以通過構(gòu)造(12+22+32)作為一個因式而解決問題。四、鞏固練習(xí):練習(xí):1設(shè)x,y,z為正實數(shù),且x+y+z=1,求的最小值。 2已知a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值。 3已知a,b,c為正實數(shù),且a+2b+3c=9,求的最大值。選做:4已知a,b,c為正實數(shù),且a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最小值。(08廣一模) 5已知a,b,c為正實數(shù),且a+2b+c=1,求的最小值。(08東莞二模) 6已知x+y+z=,則m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08惠州調(diào)研)五、課堂小結(jié):重點掌握三維柯西不等式的運用。六、布置作業(yè):P41習(xí)題3.2 2,3,4,5七、教學(xué)后課題:第04課時 排序不等式教學(xué)目標(biāo):1. 了解排序不等式的基本形式,會運用排序不等式分析解決一些簡單問題; 2. 體會運用經(jīng)典不等式的一般思想方法教學(xué)重點:應(yīng)用排序不等式證明不等式教學(xué)難點:排序不等式的證明思路教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備:1. 提問: 前面所學(xué)習(xí)的一些經(jīng)典不等式? (柯西不等式、三角不等式)2. 舉例:說說兩類經(jīng)典不等式的應(yīng)用實例.二、講授新課:1. 教學(xué)排序不等式: 看書:P41P44. 如 如圖, 設(shè),自點沿邊依次取個點, 邊依次取取個點,在邊取某個點與邊 某個點連接,得到,這樣一一搭配,一共可得到 個三角形。顯然,不同的搭配方法,得到的 不同,問:邊上的點與邊上的點如何搭配,才能使個三角形的面積和最大(或最?。?? 設(shè),由已知條件,得 因為的面積是 ,而 是常數(shù),于是,上面的幾何問題就可以歸結(jié)為 代數(shù)問題: 則 何時取最大(或最?。┲?? 我們把叫做數(shù)組與的亂序和. 其中, 稱為 序和. 稱為 序和.這樣的三個和大小關(guān)系如何? 設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組:;,是,的任一排列,則有+ (同序和)+ (亂序和)+ (反序和) 當(dāng)且僅當(dāng)=或=時,反序和等于同序和. (要點:理解其思想,記住其形式)三、應(yīng)用舉例:例1:設(shè)是n個互不相同的正整數(shù),求證:. 分析:如何構(gòu)造有序排列? 如何運用套用排序不等式? 證明過程: 設(shè)是的一個排列,且,則. 又,由排序不等式,得 小結(jié):分析目標(biāo),構(gòu)造有序排列.四、鞏固練習(xí):1. 練習(xí):教材P45 1題2.已知為正數(shù),求證:. 解答要點:由對稱性,假設(shè),則,于是 , 兩式相加即得.五、課堂小結(jié):排序不等式的基本形式.六、布置作業(yè):教材P45 3、4題七、教學(xué)后記:第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課題:第01課時 數(shù)學(xué)歸納法(一)教學(xué)目標(biāo):1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題;2. 進(jìn)一步發(fā)展猜想歸納能力和創(chuàng)新能力,經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, 體會類比的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點:數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析和對數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟的掌握。教學(xué)難點:數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解。教學(xué)過程:一、創(chuàng)設(shè)情境,引出課題(1)不完全歸納法:今天早上,我曾疑惑,怎么一中(永昌一中)只招男生嗎?因為清晨我在學(xué)校門口看到第一個進(jìn)校園的是男同學(xué),第二個進(jìn)校園的也是男同學(xué),第三個進(jìn)校園的還是男同學(xué)。于是得出結(jié)論:學(xué)校里全部都是男同學(xué),同學(xué)們說我的結(jié)論對嗎?(這顯然是一個錯誤的結(jié)論,說明不完全歸納的結(jié)論是不可靠的,進(jìn)而引出第二個問題)(2)完全歸納法:一個火柴盒,里面共有五根火柴,抽出一根是紅色的,抽出第二根也是紅色的,請問怎樣驗證五根火柴都是紅色的呢?(將火柴盒打開,取出剩下的火柴,逐一進(jìn)行驗證。)注:對于以上二例的結(jié)果是非常明顯的,教學(xué)中主要用以上二題引出數(shù)學(xué)歸納法。結(jié)論:不完全歸納法結(jié)論不可靠;完全歸納法結(jié)論可靠。問題:以上問題都是與正整數(shù)有關(guān)的問題,從上例可以看出,要想正確的解決一個與此有關(guān)的問題,就可靠性而言,應(yīng)該選用第幾種方法?(完全歸納法)情境一:(播放多米諾骨牌視頻)問:怎樣才能讓多米諾骨牌全部倒下?二、講授新課:探究一:讓所有的多米諾骨牌全部倒下,必須具備什么條件?條件一:第一張骨牌倒下;條件二:任意相鄰的兩張骨牌,前一張倒下一定導(dǎo)致后一張倒下。探究二:同學(xué)們在看完多米諾骨牌視頻后,是否對怎樣證明有些啟發(fā)? 得出結(jié)論:證明的兩個步驟:(1)證明當(dāng)時,命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)時命題成立,證明當(dāng)時命題也成立。一般地,證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)取第一個值時命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)時命題成立,證明當(dāng)時,命題也成立。只要完成以上兩個步驟,就可以判定命題對從開始的所有正整數(shù)都成立。上述方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。三、應(yīng)用舉例:例1用數(shù)學(xué)歸納法證明:證明:(1)當(dāng)時,左邊,右邊,等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)(k1,kN*)時,那么:,則當(dāng)時也成立。根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何都成立。注:對例1,首先說明在利用數(shù)學(xué)歸納法證題時,當(dāng)時的證明必須利用的歸納假設(shè), 例2:用數(shù)學(xué)歸納法證明求證:能被6 整除.證明:. 當(dāng)時,13+51=6能被6整除,命題正確;. 假設(shè)時命題正確,即能被6整除,當(dāng)時,兩個連續(xù)的整數(shù)的乘積是偶數(shù),能被6整除,能被6整除,即當(dāng)時命題也正確,由知命題時都正確.即:當(dāng)時,等式成立。根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何都成立。注:上例可讓學(xué)生獨立完成,教師板書寫現(xiàn)完整過程,以突出數(shù)學(xué)歸納法證題的一般步驟。四、鞏固練習(xí):P50練習(xí)題 第1、2題五、課堂小結(jié):問:今天我們學(xué)習(xí)了一種很重要的數(shù)學(xué)證明方法,通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?(學(xué)生總結(jié),教師整理)1、數(shù)學(xué)來源于生活,生活中有許多形如“數(shù)學(xué)歸納法”這樣的方法等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。2、數(shù)學(xué)歸納法中蘊含著一種很重要的數(shù)學(xué)思想:遞推思想;3、數(shù)學(xué)歸納法一般步驟:驗證時命題成立若時命題成立,證明當(dāng)時命題也成立 歸納奠基 歸納遞推 命題對從開始所有的正整數(shù)都成立4、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要注意以下幾點:(1) 第一步是基礎(chǔ),沒有第一步,只有第二步就如空中樓閣,是不可靠的;(2) 第二步是證明傳遞性,只有第一步,沒有第二步,只能是不完全歸納法;(3) n0是使命題成立的最小正整數(shù),n0不一定取1,也可取其它一些正整數(shù);(4) 第二步的證明必須利用歸納假設(shè),否則不能稱作數(shù)學(xué)歸納法。六、布置作業(yè):P50練習(xí)題 第1、2、3題 七、教學(xué)后記:課題:第02課時 數(shù)學(xué)歸納法(二)教學(xué)目標(biāo):掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明過程.對數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識不斷深化.掌握數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用:教學(xué)重點:解數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)意義,掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟教學(xué)難點:數(shù)學(xué)歸納法證題有效性的理解教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)回顧:數(shù)學(xué)歸納法兩大步:(i)歸納奠基:證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立;(ii)歸納遞推:假設(shè)n=k(kn0, kN*)時命題成立,證明當(dāng)n=k+1時命題也成立. 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 練習(xí):1已知,猜想的表達(dá)式,并給出證明? 過程:試值, 猜想 用數(shù)學(xué)歸納法證明.2. 練習(xí):是否存在常數(shù)a、b、c使得等式對一切自然數(shù)n都成立,試證明你的結(jié)論.二、講授新課:1. 教學(xué)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用:例1:求證分析:第1步如何寫?n=k的假設(shè)如何寫? 待證的目標(biāo)式是什么?如何從假設(shè)出發(fā)?關(guān)鍵:在假設(shè)n=k的式子上,如何同補(bǔ)?證明:(略)小結(jié):證n=k+1時,需從假設(shè)出發(fā),對比目標(biāo),分析等式兩邊同增的項,朝目標(biāo)進(jìn)行變形.例2:求證:n為奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除.分析要點:(湊配)xk+2+yk+2=x2xk+y2yk=x2(xk+yk)+y2ykx2yk=x2(xk+yk)+yk(y2x2)=x2(xk+yk)+yk(y+x)(yx).證明:(略)例3:平面內(nèi)有n個圓,任意兩個圓都相交于兩點,任何三個圓都不相交于同一點,求證這n個圓將平面分成f(n)=n2n+2個部分.分析要點:n=k+1時,在k+1個圓中任取一個圓C,剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分,而圓C與k個圓有2k個交點,這2k個交點將圓C分成2k段弧,每段弧將它所在的平面部分一分為二,故共增加了2k個平面部分.因此,f(k+1)=f(k)+2k=k2k+2+2k=(k+1)2(k+1)+2.證明:(略)三、鞏固練習(xí):(1) 求證: (nN*).(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明: ()能被264整除; ()能被整除(其中n,a為正整數(shù))(3) 是否存在正整數(shù)m,使得f(n)=(2n+7)3n+9對任意正整數(shù)n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.(4)教材50 1、2、5題 四、課堂小結(jié):兩個步驟與一個結(jié)論,“遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉”;從n=k到n=k+1時,變形方法有乘法公式、因式分解、添拆項、配方等.五、布置作業(yè):教材50 4、5、6題.六、教學(xué)后記:課題:第03課時用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(一)教學(xué)目標(biāo):1、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,并能以遞推思想作指導(dǎo),2、理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟,3、能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題,并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫.教學(xué)重點:能用數(shù)學(xué)歸納法證明幾個經(jīng)典不等式.教學(xué)難點:理解經(jīng)典不等式的證明思路.教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備:1. 求證:.2. 求證:.二、講授新課:1、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法:作差比較法、作商比較法、綜合法、分析法和放縮法,以及類比與猜想、抽象與概括、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法。2、數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法設(shè)要證命題為P(n)(1)證明當(dāng)n取第一個值n0時,結(jié)論正確,即驗證P(n0)正確;(2)假設(shè)n=k(kN且k- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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