學(xué)案3 平面向量的數(shù)量積.ppt

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這一部分是向量的核心內(nèi)容，高考的一個(gè)命題點(diǎn)，填空題、選擇題重在考查數(shù)量積的概念、運(yùn)算律、性質(zhì)、向量平行、垂直、向量的夾角、距離等，解答題重在與幾何、三角、代數(shù)等結(jié)合的綜合題.,1.平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和b,則叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是,兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是.,|a||b|cos,ab=|a||b|cos,0,ab=0,ab=|a||b|,2.平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影的乘積.3.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)ea=ae=;(2)非零向量a,b,a⊥b;(3)當(dāng)a與b同向時(shí),ab=;當(dāng)a與b反向時(shí),ab=,aa=,|a|=;,|b|cos,|a|cos,ab=0,|a||b|,-|a||b|,a2,(4)cosθ=;(5)|ab||a||b|.4.平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)ab=(交換律);(2)(λa)b==(λ為實(shí)數(shù));(3)(a+b)c=.,≤,ba,λab,aλb,ac+bc,5.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示(1)設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=,由此得到:若a=(x,y),則|a|2=或|a|=.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)間的距離|AB|=|AB|=.(3)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b.,x1x2+y1y2=0,x1x2+y1y2,x2+y2,,已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60,則|a-b|=.,【分析】求|a-b|可先求|a-b|2.,考點(diǎn)1數(shù)量積的計(jì)算,【解析】|a-b|=,【評(píng)析】求平面向量數(shù)量積的步驟:首先求a與b的夾角為θ,θ∈［0,180］,再分別求|a|,|b|,然后再求數(shù)量積即ab=|a||b|cosθ,若知道向量的坐標(biāo)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.,已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈〔-,〕.(1)求ab及|a+b|;(2)若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.,【解析】(1)ab=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b=(cosx+cos,sinx–sin),∵x∈[],∴cosx>0,∴|a+b|=2︱cosx︱.,(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈[],∴≤cosx≤1,∴當(dāng)cosx=時(shí),f(x)取得最小值為-;當(dāng)cosx=1時(shí),f(x)取得最大值為-1.,設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2的值是.,【分析】由垂直的充要條件,尋找|a|,|b|,|c|之間的關(guān)系.,考點(diǎn)2利用向量解決垂直問(wèn)題,【解析】∵a⊥b,b=-a-c,∴ab=a(-a-c)=-|a|2-ac=0,∴ac=-|a|2=-1.又∵(a-b)⊥c,∴(a-b)c=0,∴ac=bc=-1.∵a=-b-c,∴|a|2=|b|2+|c|2+2bc,∴|b|2+|c|2=|a|2-2bc=3,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.,【評(píng)析】垂直問(wèn)題是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn),在高考題中常常出現(xiàn),常與向量的模、向量的坐標(biāo)表示等聯(lián)系在一起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a⊥ba1a2+b1b2=0,a∥ba1b2-a2b1=0.,已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π).(1)求證:a+b與a-b互相垂直;(2)若ka+b與a-kb的模相等,求β-α(其中k為非零實(shí)數(shù)).,(1)證明:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,∴a+b與a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),|ka+b|=,|a-kb|=.∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α).又k≠0,∴cos(β-α)=0.而0<α<β0得λ2+λ-6>0,∴λ>2或λ0),2=kλλ=-3k,故使向量2a+λb和λa-3b夾角為0的λ不存在.∴當(dāng)λ>2或λ<-3時(shí),向量(2a+λb)與(λa-3b)的夾角是銳角.,解得k2=-.,∴,1.公式ab=|a||b|cosθ,ab=x1x2+y1y2,|a|2=a2=x2+y2的關(guān)系非常密切，必須能夠靈活、綜合運(yùn)用.2.a∥bx1y2-x2y1=0與a⊥bx1x2+y1y2=0要區(qū)分清楚.3.要特別注意：向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律,即(ab)c≠a(bc)，但滿足交換律和分配律：ab=ba,(a+b)c=ac+bc.,1.數(shù)量積ab中間的符號(hào)“”不能省略，也不能用“”來(lái)替代.2.要熟練類似(λa+μb)(sa+tb)=λsa2+(λt+μs)ab+μtb2的運(yùn)算律(λ,μ,s,t∈R).3.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算.,4.零向量:(1)0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別,不可寫(xiě)錯(cuò):0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a0=0≠0;(2)0的方向是任意的,并非沒(méi)有方向,0與任何向量平行,我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系.5.向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì),比如正三角形ABC中,應(yīng)為120,而不是60.,,,祝同學(xué)們學(xué)習(xí)上天天有進(jìn)步！,