《分式及其運算》PPT課件.ppt

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第4課分式及其運算,1．分式的基本概念：(1)形如的式子叫分式；(2)當時，分式有意義；當時，分式無意義；當時，分式的值為零．,要點梳理,(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0),B≠0,B＝0,A＝0且B≠0,2．分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以(或除以)，分式的值不變，用式子表示為：，．,同一個不等于零的整式,(M是不等于零的整式),3．分式的運算法則：(1)符號法則：分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變．用式子表示為：＝－＝＝－，－＝＝.(2)分式的加減法：同分母加減法：；異分母加減法：.,(3)分式的乘除法：＝，＝.(4)分式的乘方：n＝．,,,(n為正整數(shù)),,4．分式的約分、通分：把分式中分子與分母的公因式約去，這種變形叫做約分，其根據(jù)是分式的基本性質．把幾個異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，這種變形叫做分式的通分，通分的根據(jù)是分式的基本性質．通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母．,5．分式的混合運算：在分式的混合運算中，應先算乘方，再將除法化為乘法，進行約分化簡，最后進行加減運算．遇有括號，先算括號里面的．靈活運用運算律，運算結果必須是最簡分式或整式．6．解分式方程，其思路是去分母轉化為整式方程，要特別注意驗根，使分母為0的未知數(shù)的值，是增根，需舍去．,1．正確理解分式的概念及分式有意義判斷某一個代數(shù)式屬于不屬于分式，不能看化簡后的結果，而應看到它的本來面目，分式的概念是以形式上規(guī)定的．解有關分式是否有意義的問題時，常用到“或”與“且”來表達，正確使用“或”與“且”也是解題的關鍵．“或”表示一種選擇關系，含有“你行，他也行”的意思；“且”表示遞進關系，也有“同時”的意思．,[難點正本疑點清源],2．注意分式運算的法則和順序分式的乘除運算，一般先利用法則轉化為分式的乘法后，能約分的要先約分，再計算，否則運算非常復雜；對于乘除、乘方混合運算，就遵循“先乘方，后乘除”的運算順序；異分母分式相加減，或分式與整式的加減運算，可把整式看作一個整體與分式通分后，按同分母的分式相加減來進行運算．分式運算中，每步運算都要符合法則或運算律，不能隨意套用運算律．,3．理解分式方程的增根并檢驗是否產(chǎn)生增根在分式方程化為整式方程時，一般是將方程兩邊同乘以含未知數(shù)的整式(最簡公分母)，當所乘整式不為零時，所得整式的根為增根，因此，驗根是解分式方程的必要步驟．分式方程的增根是解題時極易忽視的知識點，在一般情形下，檢驗未知數(shù)的值是否是增根并不難，而當題目明確有增根時，反推此時未知數(shù)的值就會讓人不知所措，此時關鍵是要具備逆向的思維能力，特別是涉及分式方程的解而又未明確涉及增根問題時，探討是否有增根(或與增根有關問題)就成了隱含條件，稍不留心就會發(fā)生差錯．,1．(2011江津)下列式子是分式的是()A.B.C.＋yD.解析：根據(jù)分式的定義，分母中必含字母的代數(shù)式叫分式．,基礎自測,B,2．(2011南充)當分式的值為0時，x的值是()A．0B．1C．－1D．－2解析：當x＝1時，分子x－1＝0，而分母x＋2＝3≠0，所以分式的值為0.3．(2011金華)計算－的結果為()A.B．－C．－1D．2解析：－＝＝＝－1.,B,C,4．(2011潛江)化簡(＋)(m＋2)的結果是()A．0B．1C．－1D．(m＋2)2解析：原式＝＝＝1.5．(2011蕪湖)分式方程＝的解是()A．x＝－2B．x＝2C．x＝1D．x＝1或x＝2解析：當x＝1時，方程左邊＝＝＝3，右邊＝＝3，∴x＝1是原方程的解.,B,C,題型一分式的概念，求字母的取值范圍【例1】(1)當x＝_______時，分式無意義；解析：當x－1＝0，x＝1時，分式無意義．(2)(2011泉州)當x＝_______時，分式的值為0.解析：當x－2＝0，x＝2時，分母x＋2＝4，分式的值是0.,題型分類深度剖析,1,2,探究提高1.首先求出使分母等于0的字母的值，然后讓未知數(shù)不等于這些值，便可使分式有意義．2.首先求出使分子為0的字母的值，再檢驗這個字母的值是否使分母的值為0，當它使分母的值不為0時，這就是所要求的字母的值．,知能遷移1(1)使分式有意義的x的取值范圍是________．解析：當2x－4≠0，x≠2時，分式有意義，故x的取值范圍是x≠2.(2)當x＝________時，分式的值為0.解析：當|x|－3＝0，|x|＝3，x＝3，而x－3≠0，x≠3，故x＝－3.,x≠2,－3,(3)若分式的值為0，則x的值為()A．1B．－1C．1D．2解析：當x－2＝0，x＝2時，x2－1≠0，故選D.,D,題型二分式的性質【例2】(1)(2011湛江)化簡－的結果是()A．a(chǎn)＋bB．a(chǎn)－bC．a(chǎn)2－b2D．1解析：－＝＝＝a＋b.,A,(2)已知－＝3，求分式的值．解法一：∵－＝3，∴＝3，y－x＝3xy，x－y＝－3xy.原式＝＝＝＝＝4.,解法二：∵－＝3，∴xy≠0，∴原式＝＝＝＝＝＝4.,探究提高1.分式的基本性質是分式變形的理論依據(jù)，所有分式變形都不得與此相違背，否則分式的值改變.2.將分式化簡，即約分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多項式，要先將它們分別分解因式，然后再約分，約分應徹底.3.巧用分式的性質，可以解決某些較復雜的計算題，可應用逆向思維，將要求的算式向已知條件“湊”而求得結果．,知能遷移2(1)(2011聊城)化簡：＝.解析：＝＝.(2)下列運算中，錯誤的是()A.＝(c≠0)B.＝－1C.＝D.＝解析：＝－.,,D,題型三分式的四則混合運算【例3】先化簡代數(shù)式(＋)，然后選取一個合適的a值，代入求值．解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：原式＝(＋)(a＋2)(a－2)[2分]＝a(a－2)＋2(a＋2)＝a2－2a＋2a＋4＝a2＋4[3分]取a＝1，得原式＝12＋4＝5[5分],探究提高準確、靈活、簡便地運用法則進行化簡，注意在取a的值時，不能取使分式無意義的2.,知能遷移3(1)(2011安徽)先化簡，再求值：－，其中x＝－2.解：原式＝＝＝＝＝－1.,(2)計算：(－)解：原式＝－＝3(a＋3)－(a－3)＝2a＋12.,(3)(2011貴陽)在三個整式x2－1，x2＋2x＋1，x2＋x中，請你從中任意選擇兩個，將其中一個作為分子，另一個作為分母組成一個分式，并將這個分式進行化簡，再求當x＝2時分式的值．解：答案不唯一．如，選擇x2－1為分子，x2＋2x＋1為分母，組成分式.＝＝.將x＝2代入，得原式＝＝.,題型四分式方程的解法【例4】解分式方程：－＝0.解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：原式＝－＝0，去分母，5(x－1)－(x＋3)＝0，去括號，5x－5－x－3＝0，[2分]4x－8＝0，4x＝8，x＝2.經(jīng)檢驗，x＝2是原方程的根．∴原方程的根是x＝2.[4分],探究提高1.按照基本步驟解分式方程，其關鍵是確定各分式的最簡公分母．若分母為多項式時，應首先進行分解因式．將分式方程轉化為整式方程，乘最簡公分母時，應乘原分式方程的每一項，不要漏乘常數(shù)項．2.檢驗是否產(chǎn)生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某個根，但因為它使分式方程的某些分母為零，故應是原方程的增根，須舍去．,知能遷移4(1)(2011潼南)解分式方程：－＝1.解：方程兩邊同乘(x＋1)(x－1)，得x(x－1)－(x＋1)＝(x＋1)(x－1)，化簡，得－2x－1＝－1，解得x＝0.檢驗：當x＝0時，(x＋1)(x－1)≠0，所以x＝0是原分式方程的解．,(2)若方程＝無解，則m＝________.解析：＝，去分母，x－3＝－m，m＝3－x.當x＝2時，m＝3－2＝1.,1,1．勿忘分母不能為零考題再現(xiàn)當a取什么值時，方程－＝的解是負數(shù)？學生作答解：原方程兩邊同乘以(x－2)(x＋1)，得x2－1－x2＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝.由<0,得a<－5.故當a<－5時，原方程的解是負數(shù)．,答題規(guī)范,規(guī)范解答解：當x≠－1且x≠2時，原方程兩邊都乘以(x－2)(x＋1)，得x2－1－x2＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝.由<0，得a<－5.又由≠2，得a≠－1；≠－1，得a≠－7，故當a<－5且a≠－7時，原方程的解是負數(shù)．,老師忠告(1)分式中的分母不能為零，這是同學們熟知的，但在解題時，往往忽視題目中的這一隱含條件，從而導致解題錯誤；(2)利用分式的基本性質進行恒等變形時，應注意分子與分母同乘或同除的整式的值不能是零；(3)解分式方程為什么要檢驗？因為用各分母的最簡公分母去乘方程的兩邊時，不能肯定所得方程與原方程同解．如果最后x取值使這個最簡公分母不為零，則這個步驟符合方程同解原理，這個取值就是方程的解；否則，不保證新方程與原方程同解．從另一角度看，既然使各分母的最簡公分母為零，則必使某個分母為零，該分式則無意義，原方程不可能成立，這個取值就不是原方程的解.,方法與技巧1．分式運算過程較長，運算中錯一個符號，往往會使原來能夠化簡的趨勢改觀，使算式越來越繁，形成對分式運算厭煩甚至懼怕的心理．為了避免這種現(xiàn)象，一定要養(yǎng)成分類分級逐步演算的習慣，每次添、去括號時，要注意每一個符號的正確處理．2．在加深對方法的原理理解的前提下，清楚地歸納運算步驟，宜分步式，不宜跳步，不宜一個符號下完成數(shù)個步驟．,思想方法感悟提高,失誤與防范1．分式的分母不為零，分式才有意義，這又是分式的值為0的前提．討論分式的值為0，即要求分母不為0，又要求分子為0，二者缺一不可．2．當分式的分子或分母為多項式時，在運算順序上，相當于使分子或分母的外面有一個括號，從而把它們分別當成一個整體看，例如：5，應得，而不是.3．分式加減法中的通分是等值變形，不要在學了解分式方程后，兩者混淆，把通分變形成去分母了．,完成考點跟蹤訓練4,