參數(shù)的最小二乘法估計.ppt

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第五章參數(shù)的最小二乘法估計,主要內容,1最小二乘法原理2線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法3非線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法4組合測量,數(shù)學工具,關于最小二乘法,算術平均值，依據(jù)使殘差的平方和為最小的原則組合測量的問題擬合經(jīng)驗公式等,最小二乘法典型應用,最小二乘法發(fā)展,200多年的歷史；天文和大地測量；近代矩陣理論與電子計算機經(jīng)典的最小二乘法及其在組合測量的應用深入的內容可參閱專門的書籍和文獻,第一節(jié)最小二乘法原理,從一組測量值中尋找最可信賴值,∝,測得值同時出現(xiàn)的概率為,最可信賴值滿足,最可信賴值；P為最大；式中負指數(shù)中因子達最小,微分法得最可信賴值,（1）最小絕對殘差和法：,小結,從一組測量數(shù)據(jù)中求得最佳結果，還可使用其它原理。例如,最可信賴值是在殘差平方和或加權殘差平方和為最小的意義下求得的，稱之為最小二乘法原理。,（3）最小廣義極差法：,（2）最小最大殘差法：,主要內容,最小二乘法原理線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法非線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法組合測量,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,先舉一個實際遇到的測量問題，為精密測定三個電容值:采用的測量方案是，分別等權、獨立測得,列出待解的數(shù)學模型。這是一個組合測量的問題。,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,如為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量,測得值,待解的數(shù)學模型,待求量,為了獲得更可靠的結果，測量次數(shù)總要多于未知參數(shù)的數(shù)目,組合測量，指直接測量一組被測量的不同組合值，從它們相互所依賴的若干函數(shù)關系中，確定出各被測量的最佳估計值。,,,,,,,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,這是一個超定方程組，即方程個數(shù)多于待求量個數(shù)，不存在唯一的確定解，事實上，考慮到測量有誤差，記它們的測量誤差分別為，按最小二乘法原理,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,分別對求偏導數(shù)，令它們等于零，得如下的確定性方程組。,(x1-0.3)+(x1+x3-0.5)=0(x2+0.4)+(x2+x3+0.3)=0(x1+x3-0.5)+(x2+x3+0.3)=0,x1=0.325,x2=-0.425,x3=0.150,可求出唯一解,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,以下，一般地討論線性參數(shù)測量方程組的最小二乘解及其精度估計。,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,一、正規(guī)方程組,設線性測量方程組的一般形式為：,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,即,式中，有n個直接測得值，t個待求量。n>t,各等權，無系統(tǒng)誤差和粗大誤差。,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,上式分別對求偏導數(shù)，且令其等于零，經(jīng)推導得,應當滿足,式中，，分別為如下列向量,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,和分別為如下兩列向量的內積：,,,,,=,,=,,正規(guī)方程組有如下特點：,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,測量方程組系數(shù)與正規(guī)方程組系數(shù),第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,（1）主對角線系數(shù)是測量方程組各列系數(shù)的平方和，全為正數(shù)。（2）其它系數(shù)關于主對角線對稱（3）方程個數(shù)等于待求量個數(shù)，有唯一解。由此可見，線性測量方程組的最小二乘解歸結為對線性正規(guī)方程組的求解。,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,二、正規(guī)方程組的矩陣形式,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,為了便于進一步討論問題，下面借助矩陣工具給出正規(guī)方程組的矩陣形式。記列向量,,,,,和nt階矩陣,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,則測量方程組可記為：,測量殘差方程組記為,V=L-AX,最小二乘原理記為,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,利用矩陣的導數(shù)及其性質有,,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,令,，得正規(guī)方程組的矩陣形式。,,展開系數(shù)矩陣和列向量，可得代數(shù)形式的正規(guī)方程組。當滿秩的情形，可求出,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,小結,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,線性測量方程組的一般形式為,測量殘差方程組,,含有隨機誤差,,矩陣形式,,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,最小二乘法原理式,求導,正規(guī)方程組,正規(guī)方程組解,,,不等權,,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,三、精度估計,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,對測量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理，其最終結果不僅要給出待求量的最可信賴值，還要確定其可信賴程度，即估計其精度。具體內容包含有兩方面：一是估計直接測量結果的精度；二是估計待求量的精度。,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,1．直接測量結果的精度估計,對t個未知量的線性測量方程組進行n次獨立的等精度測量，得其殘余誤差為；標準偏差。如果服從正態(tài)分布，那么服從分布，其自由度n-t，有變量的數(shù)學期望。,,,,,,,,,,即有,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,,令t=1，由上式又導出了Bessel公式。,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,2．待求量的精度估計,按照誤差傳播的觀點，估計量的精度取決于直接測量數(shù)據(jù)的精度以及建立它們之間聯(lián)系的測量方程組。,,,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,可求待求量的協(xié)方差,,矩陣,,各元素可由矩陣求逆得，也可由下列各方程組分別解得,,,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,,d11,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,,d21,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,,dt1,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,,是直接測量數(shù)據(jù)的標準差，可按,,估計,待求量,的方差,,矩陣,中對角元素,就是誤差傳播系數(shù),第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,待求量與的相關系數(shù),,,,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,小結,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,1、直接測量結果的標準差估計,（加權）,未知量個數(shù),方程個數(shù),,,,,,,殘差,,,2、待求量的標準差估計,直接測量量的標準差,,,對角元素,,誤差傳播系數(shù),3、待求量與的相關系數(shù),元素,,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,例2為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量，進行了等權、獨立、無系統(tǒng)誤差的測量。測得1號電容值，2號電容值，1號和3號并聯(lián)電容值，2號和3號并聯(lián)電容值。試用最小二乘法求及其標準偏差。,【解】,列出測量殘差方程組,代數(shù)求解過程,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,代數(shù)法求解例.doc,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,即,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,代入殘差方程組，計算,第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法,主要內容,最小二乘法原理線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法非線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法組合測量,第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法,第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法,例3,在例2的基礎上，再增加一次測量串聯(lián)電容，測得。試用最小二乘法求及其標準偏差。,【解】,列出非線性測量方程組,,第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法,6次迭代結果,第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法,主要內容,最小二乘法原理線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法非線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法組合測量,第四節(jié)組合測量應用舉例,例4,要求檢定絲紋尺0，1，2，3刻線間的距離。已知用組合測量法測得圖所示刻線間隙的各種組合量。試用最小二乘法求及其標準偏差。,第四節(jié)組合測量應用舉例,計算步驟,第四節(jié)組合測量應用舉例,,,,,,第四節(jié)組合測量應用舉例,第四節(jié)組合測量應用舉例,