（泰安專版）2019版中考數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)知識過關(guān) 第五章 四邊形 第20講 矩形、菱形、正方形課件.ppt

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第20講矩形、菱形、正方形,總綱目錄,泰安考情分析,基礎(chǔ)知識過關(guān),知識點(diǎn)四平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系,,知識點(diǎn)一矩形,溫馨提示(1)矩形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸,對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn).(2)矩形的對角線把矩形分成四個等腰三角形.,知識點(diǎn)二菱形,溫馨提示(1)菱形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸,分別是對角線所在的直線;對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn).(2)菱形的對角線把菱形分為四個全等的直角三角形.,知識點(diǎn)三正方形,溫馨提示(1)正方形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它有4條對稱軸.(2)正方形的對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.,知識點(diǎn)四平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系1.平行四邊形與特殊平行四邊形的包含關(guān)系,2.從四邊形到特殊平行四邊形的演變關(guān)系溫馨提示依次連接四邊形各邊的中點(diǎn)所得到的新的四邊形的形狀與原四邊形的對角線有關(guān)系,若對角線相等,則新的四邊形是菱形;若對角線垂直,則新的四邊形是矩形.,泰安考點(diǎn)聚焦,考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)和判定中考解題指導(dǎo)口訣“矩形就是長方形,周長、面積仍然用,平行四邊形性質(zhì)它均用,四角相等皆直角”;判定矩形首先要分清楚所給的條件是四邊形還是平行四邊形,再確定矩形的判定方法.,例1,如圖,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E,EF⊥AD交AD于點(diǎn)F,若EF=3,AE=5,則AD等于(C)A.5B.6C.7D.8,,解析∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ADC=90,∵EF⊥AD,∴EF∥CD,∴∠FED=∠EDC,∵DE平分∠ADC,∴∠FDE=∠EDC,∴∠FED=∠FDE,∴DF=EF=3,∵EF⊥AD,∴∠AFE=90,∵AE=5,EF=3,,∴由勾股定理得AF=4,∴AD=AF+DF=4+3=7,故選C.,變式1-1(2017濟(jì)南)如圖,在矩形ABCD中,AD=AE,DF⊥AE于點(diǎn)F.求證:AB=DF.,證明∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠B=90,∴∠AEB=∠DAF,∵DF⊥AE,∴∠AFD=90,在△ABE和△DFA中,∵∴△ABE≌△DFA,∴AB=DF.,方法技巧矩形是特殊的平行四邊形,其特殊性在于內(nèi)角均為直角,故在應(yīng)用其性質(zhì)時常會和直角三角形相結(jié)合.,考點(diǎn)二菱形的性質(zhì)和判定例2(2017北京)如圖,在四邊形ABCD中,BD為一條對角線,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),連接BE.(1)求證:四邊形BCDE為菱形;(2)連接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的長.,解析(1)證明:∵AD=2BC,E為AD的中點(diǎn),∴DE=BC.∵AD∥BC,∴四邊形BCDE是平行四邊形.∵∠ABD=90,AE=DE,∴BE=DE,∴四邊形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴AB=BC=1.,∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,∴∠ADB=30,∴∠DAC=30,∠ADC=60,∴∠ACD=90.在Rt△ACD中,∵AD=2,∴CD=1,AC=.,變式2-1(2018泰安)如圖,在菱形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,E是BD上一點(diǎn),EF∥AB,∠EAB=∠EBA,過點(diǎn)B作DA的垂線,交DA的延長線于點(diǎn)G.(1)∠DEF和∠AEF是否相等?若相等,請證明;若不相等,請說明理由;(2)找出圖中與△AGB相似的三角形,并證明;(3)BF的延長線交CD的延長線于點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)M.求證:BM2=MFMH.,解析(1)∠DEF=∠AEF.理由如下:∵EF∥AB,∴∠DEF=∠EBA,∠AEF=∠EAB,又∵∠EAB=∠EBA,∴∠DEF=∠AEF.(2)△EOA∽△AGB.證明如下:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,AC⊥BD,∴∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE.又∵∠AEO=∠ABE+∠BAE=2∠ABE,,∴∠GAB=∠AEO,又∠AGB=∠AOE=90,∴△EOA∽△AGB.(3)證明:連接DM.∵四邊形ABCD是菱形,由對稱性可知:BM=DM,∠ADM=∠ABM.∵AB∥CH,∴∠ABM=∠H,∴∠ADM=∠H.又∵∠DMH=∠FMD,∴△MFD∽△MDH,∴=,,∴DM2=MFMH,∴BM2=MFMH.方法技巧要判斷一個四邊形是菱形,可以先說明它是平行四邊形,再說明它的一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直;也可說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分.在具體問題中,要根據(jù)題目給出的已知條件選擇合適的方法.,考點(diǎn)三正方形的性質(zhì)和判定例3(2017濟(jì)南)如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=3,E為OC上一點(diǎn),OE=1,連接BE,過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F,與BD交于點(diǎn)G,則BF的長是(A)A.B.2C.D.,,解析∵四邊形ABCD是正方形,AB=3,∴∠AOB=90,AO=BO=CO=3.∵AF⊥BE,∴∠EBO=∠GAO.在△GAO和△EBO中,∴△GAO≌△EBO,∴OG=OE=1,∴BG=2.在Rt△BOE中,BE==,∵∠BFG=∠BOE=90,∠GBF=∠EBO,∴△BFG∽△BOE,,∴=,即=,解得BF=,故選A.方法技巧正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形,具備了矩形和菱形的所有性質(zhì).同時,在解決以正方形為背景的問題時,常與直角三角形、等腰三角形、相似三角形相結(jié)合進(jìn)行解答,特別注意角和角、邊和邊之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.,一、選擇題1.(2017臨沂)在△ABC中,點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)(與B,C兩點(diǎn)不重合),過點(diǎn)D作DE∥AC,DF∥AB,分別交AB,AC于E,F兩點(diǎn),下列說法正確的是(D)A.若AD⊥BC,則四邊形AEDF是矩形,,B.若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形C.若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形二、填空題2.(2017泰山模擬)矩形的兩條對角線的一個夾角為60,兩條對角線的長度的和為8cm,則這個矩形的一條較長邊的長為2cm.,解析如圖,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90,AC=BD=4cm,OA=OC,OD=OB,∴OA=OB=2cm,由題意得∠AOB=60,∴△AOB是等邊三角形,∴OA=OB=AB=AC=2cm.在Rt△ABC中,由勾股定理得BC==2cm.這個矩形的一條較長邊的長為2cm.,3.(2017新泰模擬)邊長為5cm的菱形的一條對角線的長是6cm,則另一條對角線的長是8cm.解析如圖,在菱形ABCD中,AB=5cm,AC=6cm,∵對角線互相垂直平分,∴∠AOB=90,AO=3cm.在Rt△AOB中,BO==4cm,∴BD=2BO=8cm.,,4.(2018濱州)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,若AE=,∠EAF=45,則AF的長為.,解析取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠D=∠BAD=∠B=90,∴NF=x,AN=4-x,∵AB=2,∴AM=BM=1,∵AE=,,∴BE=1,∴ME==,∵∠EAF=45,∴∠MAE+∠NAF=45,∵∠MAE+∠AEM=45,∴∠MEA=∠NAF,又∵∠ANF=∠EMA=180-45=135,∴△AME∽△FNA,∴=,∴=,,解得x=,∴AF==.,5.(2017萊蕪)如圖,在矩形ABCD中,BE⊥AC,BE交AC,AD于點(diǎn)F,E,若AD=1,AB=CF,則AE=.,解析∵四邊形ABCD是矩形,∴BC=AD=1,∠BAE=∠ABC=90,∴∠ABE+∠CBF=90.∵BE⊥AC,∴∠BFC=90,∴∠BCF+∠CBF=90,∴∠ABE=∠FCB,在△ABE和△FCB中,∴△ABE≌△FCB,,∴BF=AE,BE=BC=1.∵∠BAF+∠ABF=90,∠ABF+∠AEB=90,∴∠BAF=∠AEB,∵∠BAE=∠AFB,∴△ABE∽△FBA,∴=,∴=,∴AE=AB2.在Rt△ABE中,根據(jù)勾股定理得,AB2+AE2=BE2=1,,∴AE+AE2=1,∵AE>0,∴AE=.三、解答題6.(2017萊蕪模擬)如圖,菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分別為點(diǎn)E,F,AE=ED,求∠EBF的度數(shù).,解析如圖,連接BD.,∵BE⊥AD,AE=ED,∴AB=BD,∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∴AB=AD=BD,∴∠A=60,∴∠ADC=120,∵BE⊥AD,BF⊥CD,∴∠BED=∠BFD=90,∴∠EBF=60.,7.(2017青島)如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E,O,F分別為AB,AC,AD的中點(diǎn),連接CE,CF,OE,OF.(1)求證:△BCE≌△DCF;(2)當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時,四邊形AEOF是正方形?請說明理由.,解析(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,∵點(diǎn)E,O,F分別為AB,AC,AD的中點(diǎn),∴AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OE∥BC.在△BCE和△DCF中,∴△BCE≌△DCF(SAS).(2)當(dāng)AB⊥BC時,四邊形AEOF是正方形.理由如下:由(1)得AE=OE=OF=AF,,∴四邊形AEOF是菱形.∵AB⊥BC,OE∥BC,∴OE⊥AB,∴∠AEO=90,∴四邊形AEOF是正方形.,