概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量及其分布ppt課件
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第2章 隨機(jī)變量及其分布,問題一:為什么引入隨機(jī)變量? 問題二:隨機(jī)事件與隨機(jī)變量的區(qū)別是什么? 問題三:隨機(jī)變量的一些例子?,1,概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的,為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象,就要用數(shù)學(xué)的方法來研究,因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算,就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化.當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時(shí),就建立起了隨機(jī)變量的概念。 引入隨機(jī)變量后我們就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其規(guī)律的研究。,問題一:為什么引入隨機(jī)變量?,2,問題二:隨機(jī)事件與隨機(jī)變量的聯(lián)系與區(qū)別是什么?,隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情為隨機(jī)事件,比如,對1、2、3的數(shù)集抽取,A是抽中1,B是抽中2,C是抽中3,那么A、B、C就是隨機(jī)事件。隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的變量,比如我們設(shè)抽中的是X,那么X可能是1,也可能是2,或是3。X完整的描述了該樣本空間,即X可能值的全部是樣本空間。 隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則是一種動態(tài)的觀點(diǎn)。,3,問題三 隨機(jī)變量的一些例子,在隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)結(jié)果很多本身就由數(shù)量表示 (1)每天進(jìn)入教室的人數(shù)X (2)某個(gè)時(shí)間段吃飯排隊(duì)的人數(shù)X (3)電燈泡使用的壽命T 而在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中,比如檢查一個(gè)產(chǎn)品是否合格,此時(shí)樣本空間S={合格品,不合格品},若用1對應(yīng)合格品,-1對應(yīng)不合格品,這樣就都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)。,4,1.隨機(jī)變量的引入,從上面的例子可以看出隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果都可用一個(gè)實(shí)數(shù)來表示,這個(gè)數(shù)隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而變化,它是樣本點(diǎn)的函數(shù),這個(gè)函數(shù)就是我們要引入的隨機(jī)變量。,5,2 隨機(jī)變量的定義,隨機(jī)變量:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S,稱定義在樣本空間S上的實(shí)值函數(shù)X=X( )為隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量的表示: 常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母 等表示 隨機(jī)變量所取的值,一般采用小寫字母x,y,z,6,2 隨機(jī)變量的定義,注意: (1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同 隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù) , 但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別 ,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的 (樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù))。 (2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律 隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值, 由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率, 因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.,7,2 隨機(jī)變量的定義,講課本例1,例2 練習(xí)題: (1)在有兩個(gè)孩子的家庭中,考慮其性別 , 共有 4 個(gè)樣本點(diǎn): 若用X表示該家女孩的個(gè)數(shù)時(shí),則應(yīng)該怎么表示?,8,2 隨機(jī)變量的定義,(2)設(shè)盒中有5個(gè)球 (2白3黑), 從中任抽3個(gè),用隨機(jī)變量 X(e) 的所有可能取值是什么? (3)設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊 , 直到擊中目標(biāo)為止,用隨機(jī)變量 X(e) 的所有可能取值是什么? (4)某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過, 如果某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的, 用隨機(jī)變量 X(e) 的所有可能取值是什么?,9,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,1.離散型隨機(jī)變量:設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,如果它全部可能的取值只有有限個(gè)或可數(shù)無窮個(gè),則稱X為一個(gè)離散隨機(jī)變量。 連續(xù)型隨機(jī)變量:假如一個(gè)隨機(jī)變量X的可能取值充滿數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間(a,b),則稱X為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。 例(1)投擲一顆骰子點(diǎn)數(shù)X的可能取值只有{1,2,3,4,5,6},則X是什么型的隨機(jī)變量? (2)電燈泡的使用壽命T,可能取值{T≥0},所以T是一個(gè)什么型的隨機(jī)變量?,10,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,2.概率分布 定義1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 , 稱為X的概率分布或分布律,也稱概率函數(shù)。 X的概率分布常用表格的形式來表示。 講課本例1 練習(xí)題:設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為 X -1 2 3 0.25 0.5 0.25 試求P(X≤0.5),P(-1≤X≤2.5),,,,,11,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,分布律的說明: 當(dāng)已知一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布時(shí), 而且X所成的任何事件的概率都能夠求出來,,12,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,3 常用離散分布 兩點(diǎn)分布(0-1分布):若一個(gè)隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能取值,且其分布為 則稱X服從 處參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布。 對于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E,它只有兩種可能的結(jié)果A和 ,即A 要么發(fā)生,要么不發(fā)生,則這種試驗(yàn)E總可以用(0-1)分布來描述,這種試驗(yàn)在實(shí)際中很普遍.例如,拋擲硬幣試驗(yàn), A = “出現(xiàn)正面”, “出現(xiàn)反面”;在射擊試驗(yàn)中, A=“命中目標(biāo)”, “未命中目標(biāo)”;它們都可用(0-1)分布來描述.(0-1)分布是實(shí)際中經(jīng)常用到的一種分布.,13,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,二項(xiàng)分布:若一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布由式 給出,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記為X~b(n,p)(或B(n,p)). 注:當(dāng)n=1時(shí), 隨機(jī)變量X即服從0-1分布 在實(shí)際中,把概率很?。ㄒ话阋笤?.05以下)的事件稱 為小概率事件.由于小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性 很小,因此,在一次試驗(yàn)中,小概率事件實(shí)際上是不應(yīng)該發(fā) 生的. 這條原則我們稱它為實(shí)際推斷原理.需要注意的是,實(shí) 際推斷原理是指在一次試驗(yàn)中小概率事件幾乎是不可能發(fā)生 的,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí),小概率事件至少發(fā)生一次卻幾乎 是必然的。 如何證明以上這個(gè)結(jié)論是正確的呢?,14,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,二項(xiàng)分布在經(jīng)濟(jì)管理方面的應(yīng)用: 在實(shí)際問題中,很多商品的銷售量都是服從二項(xiàng)分布的。因?yàn)槊考唐范贾挥惺鄢龊蛶齑鎯煞N狀態(tài),而每件商品售出的概率在一段時(shí)間內(nèi)是基本固定,因此商品的進(jìn)貨量即為二項(xiàng)分布中的參數(shù)n,參數(shù)p的值可利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估計(jì),估計(jì)公式為p≈ /n。 為所出售的商品的件數(shù)。 在不增加成本的前提下, 追求利潤的最大化是迫切需要解決的問題。其實(shí)在有些情況下, 產(chǎn)品可靠性數(shù)據(jù)可按二項(xiàng)分布加以分析, 我們只需作出小小的調(diào)整,就能收到良好的效果。,15,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn): (1)當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí),二項(xiàng)概率 P{X=k}在k=[(n+1)p]時(shí)達(dá)到最大值 (2)當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí),二項(xiàng)概率 P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1時(shí)達(dá)到最大值 講課本例3和例4 注意二項(xiàng)分布b(n,p)和兩點(diǎn)分布的關(guān)系,16,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,在實(shí)際中,我們經(jīng)常要計(jì)算n次獨(dú)立重復(fù)的貝努利試驗(yàn)中恰好k次成功的概率 ,至少有次成功的概率為 等,當(dāng)n很大時(shí),要計(jì)算出它們的確切數(shù)值很不容易,那我們應(yīng)該怎么做呢?,17,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,泊松分布:若一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布為 則稱X服從參數(shù)為 的泊松分布,記為X~P( ) 泊松流:若隨機(jī)事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性,則稱該事件流為泊松流。 對泊松流,在任意時(shí)間間隔(0,t)內(nèi),事件發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為 的泊松分布。 稱為泊松流的強(qiáng)度。,18,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,在實(shí)際中,許多隨機(jī)現(xiàn)象都可用泊松分布來描述.例如,一批產(chǎn)品的廢品數(shù);一本書中某一頁上印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù);某汽車站單位時(shí)間內(nèi)前來候車的人數(shù);某段時(shí)間內(nèi),某種放射性物質(zhì)中發(fā)射出的α粒子數(shù)等等,均可用泊松分布來描述.泊松分布是概率論中的又一個(gè)重要分布,在隨機(jī)過程中也有重要應(yīng)用。,19,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,在經(jīng)濟(jì)管理決策中,利用泊松分布可以合理安排工作崗位。 例如某車間有90臺相同的機(jī)器,每臺機(jī)器需要維修的概率均為0.01,在同一時(shí)間每人只能維修一臺機(jī)器,在崗位設(shè)置中,不同的設(shè)置的方法使得機(jī)器出現(xiàn)故障而等待維修的概率是不同的。如果三個(gè)人明確分工,每人負(fù)責(zé)30臺,此時(shí)λ=0.3,機(jī)器需要維修的概率為P{X1}=0.0369;若三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺,此時(shí)λ=0.9,機(jī)器需要維修的概率為P{X3}=0.0135;通過概率的對比可知,共同協(xié)作比各自為政的維修效率有所提高。 講課本例5,20,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí),對二項(xiàng)分布b(n,p)的概率計(jì)算起來不方便,此時(shí)須尋求某種近似計(jì)算方法,其中一種就是二項(xiàng)分布的泊松近似。 定理1(泊松定理):在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn(注意這與試驗(yàn)的次數(shù)n有關(guān)),如果 時(shí), ( 為常數(shù)),則對任意給定的k,有 b(k,n, pn)= 講課本例6,例7,21,2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),1.隨機(jī)變量的分布函數(shù) 定義1 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,稱F(x)=P{X≤x} 為X的分布函數(shù)。有時(shí)記作X~F(x) 這個(gè)概率具有什么特點(diǎn)呢? ①具有累積性 ②這個(gè)概率與x有關(guān),不同的x此累積概率的值也不同。 注:①X是數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),則分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間 的概率。,22,2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),②對 ,隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間 的概率 ③隨機(jī)變量的分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 分布函數(shù)的性質(zhì): (1)單調(diào)非減。若 ,則 (2) (3)右聯(lián)系性,即 講課本例1,23,2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),2 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 特點(diǎn): ①F(x)是一個(gè)階梯函數(shù) ②跳躍度恰為隨機(jī)變量X在X= 點(diǎn)處的概率 一個(gè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為階梯形函數(shù),則X一定是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,概率分布由F(X)唯一確定。 講課本例2,3,24,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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