《高考數(shù)學(xué)人教A版(理)一輪復(fù)習(xí):第十一篇 第8講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)人教A版(理)一輪復(fù)習(xí):第十一篇 第8講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布(10頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第8講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布
A級(jí) 基礎(chǔ)演練(時(shí)間:30分鐘 滿分:55分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1.(2011·湖北)如圖,用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng),當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí),系統(tǒng)正常工作,已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為( ).
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
解析 P=0.9×[1-(1-0.8)2]=0.864.
答案 B
2.(2011·廣東)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽,現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍,乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊(duì)勝每局的概率相同,則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為 ( ).
A. B. C. D.
解析 問題等價(jià)為兩類:第一類,第一局甲贏,其概率P1=;第二類,需比賽2局,第一局甲負(fù),第二局甲贏,其概率P2=×=.故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為P1+P2=.
答案 A
3.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率,則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是 ( ).
A.[0.4,1] B.(0,0.4]
C.(0,0.6] D.[0.6,1]
解析 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p,則Cp(1-p)3≤Cp2(1-p)2,解得p≥0.4,故選A.
答案 A
4.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(X
1)=1-P(X≤1)=1-0.841 3=0.158 7.
∵X~N(0,1),∴μ=0.
∴P(X<-1)=P(X>1)=0.158 7,
∴P(-11)=0.682 6.
∴P(-1σ)
=2P(X-μ<-σ)+0.682 6=1,
∴P(X-μ<-σ)=0.158 7,
∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 7=0.841 3.
∴54×0.841 3≈45(人),即及格人數(shù)約為45人.
∵P(X≥130)=P(X-110≥20)=P(X-μ≥σ),
∴P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)
=0.682 6+2P(X-μ≥σ)=1,
∴P(X-μ≥σ)=0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人),
即130分以上的人數(shù)約為9人.
8.(13分)(2012·重慶)甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球.約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響.
(1)求甲獲勝的概率;
(2)求投籃結(jié)束時(shí)甲的投球次數(shù)ξ的分布列與期望.
解 設(shè)Ak,Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中,則
P(Ak)=,P(Bk)=(k=1,2,3).
(1)記“甲獲勝”為事件C,由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知
P(C)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=P(A1)+P()P()P(A2)+P()P()P()P()P(A3)
=+××+2×2×
=++=.
(2)ξ的所有可能值為1,2,3由獨(dú)立性,知
P(ξ=1)=P(A1)+P( B1)=+×=,
P(ξ=2)=P(A2)+P(B2)
=××+2×2=,
P(ξ=3)=P=2×2=.
綜上知,ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P
從而E(ξ)=1×+2×+3×=(次).
B級(jí) 能力突破(時(shí)間:30分鐘 滿分:45分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.(2013·金華模擬)已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)=·e-(x∈R,i=1,2,3)的圖象如圖所示,則 ( ).
A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3
B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3
D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
解析 正態(tài)分布密度函數(shù)φ2(x)和φ3(x)的圖象都是關(guān)于同一條直線對(duì)稱,所以其平均數(shù)相同,故μ2=μ3,又φ2(x)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值比φ1(x)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值大,故有μ1<μ2=μ3.又σ越大,曲線越“矮胖”,σ越小,曲線越“瘦高”,由圖象可知,正態(tài)分布密度函數(shù)φ1(x)和φ2(x)的圖象一樣“瘦高”,φ3(x)明顯“矮胖”,從而可知σ1=σ2<σ3.
答案 D
2.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng):質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位;移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率都是.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是 ( ).
A.5 B.C5
C.C3 D.CC5
解析 由于質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位,移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?,移?dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3),所以質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)兩次,向上移動(dòng)三次,故其概率為
C3·2=C5=C5,故選B.
答案 B
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(2013·湘潭二模)如果X~B(20,p),當(dāng)p=且P(X=k)取得最大值時(shí),k=________.
解析 當(dāng)p=時(shí),P(X=k)=Ck·20-k=C·20,顯然當(dāng)k=10時(shí),P(X=k)取得最大值.
答案 10
4.(2013·九江一模)將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小1球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí),向左、右兩邊下落的概率都是,則小球落入A袋中的概率為________.
解析 記“小球落入A袋中”為事件A,“小球落入B袋中”為事件B,則事件A的對(duì)立事件為B,若小球落入B袋中,則小球必須一直向左落下或一直向右落下,故P(B)=3+3=,從而P(A)=1-P(B)=1-=.
答案
三、解答題(共25分)
5.(12分)(2012·湖南)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.
一次購物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顧客數(shù)(人)
x
30
25
y
10
結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55 %.
(1)確定x,y的值,并求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率.(注:將頻率視為概率)
解 (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡單隨機(jī)樣本,將頻率視為概率得
P(X=1)==,P(X=1.5)==,P(X=2)==,P(X=2.5)==,P(X=3)==.
X的分布列為
X
1
1.5
2
2.5
3
P
X的數(shù)學(xué)期望為
E(X)=1×+1.5×+2×+2.5×+3×=1.9.
(2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘”,Xi(i=1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間,則
P(A)=P(X1=1且X2=1)+P(X1=1且X2=1.5)+P(X1=1.5且X2=1).
由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,且X1,X2的分布列都與X的分布列相同,所以
P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+P(X1=1)×P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1)
=×+×+×=.
故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率為.
6.(13分)(2012·山東)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.
(1)求該射手恰好命中一次的概率;
(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
解 (1)記:“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C,“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D.
由題意,知P(B)=,P(C)=P(D)=,
由于A=B +C+ D,
根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性,得
P(A)=P(B +C+ D)
=P(B )+P(C)+P( D)
=P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)
=××+××+××
=.
(2)根據(jù)題意,知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性,得
P(X=0)=P( )
=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)]
=××=;
P(X=1)=P(B )=P(B)P()P()
=××=;
P(X=2)=P( C+ D)=P( C)+P( D)
=××+××=;
P(X=3)=P(BC+BD)=P(BC)+P(BD)
=××+××=;
P(X=4)=P(CD)=××=,
P(X=5)=P(BCD)=××=.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
4
5
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.
特別提醒:教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.
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