高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第八篇 第8講 立體幾何中的向量方法（二）

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第8講 立體幾何中的向量方法（二） A級　基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為 (　　)． A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　設(shè)l與α所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°. 答案　A 2．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中點(diǎn)，G是DD1中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FB＝BC，則GB與EF所成的角為 (　　)． A．30° B．120° C．60° D．90° 解析　如圖建立直角坐標(biāo)系D－xyz， 設(shè)DA＝1，由已知條件，得 G，B，E，F(xiàn)，＝， ＝ cos〈，〉＝＝0，則⊥. 答案　D 3．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　建立坐標(biāo)系如圖， 則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)． ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos〈，〉＝＝. 所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為. 答案　B 4．(2013·杭州月考)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin〈，〉的值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　設(shè)正方體的棱長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝， 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·連云港模擬)若平面α的一個法向量為n＝(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a＝(－2，－3,3)，則l與α所成角的正弦值為________． 解析　cos〈n，a〉＝＝＝－. 又l與α所成角記為θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉|＝. 答案　. 6．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是________． 解析　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AB＝BC＝AA1＝2， 則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)， 則＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)， ∴·＝2， ∴cos〈，〉＝＝， ∴EF和BC1所成角為60°. 答案　60° 三、解答題(共25分) 7．(12分)如圖，四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分別為棱BC、AD的中點(diǎn)． (1)求異面直線AB與EF所成角的余弦值； (2)求E到平面ACD的距離； (3)求EF與平面ACD所成角的正弦值． 解　如圖，分別以直線BC、BD、BA為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)． (1)∵＝(0,0，－4)，＝(－2,2,2)， ∴|cos〈，〉|＝＝， ∴異面直線AB與EF所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面ACD的一個法向量為n＝(x，y,1)， 則∵＝(4,0，－4)，＝(－4,4,0)， ∴ ∴x＝y(tǒng)＝1，∴n＝(1,1,1，)． ∵F∈平面ACD，＝(－2,2,2)， ∴E到平面ACD的距離為d＝＝＝. (3)EF與平面ACD所成角的正弦值為|cos〈n，〉|＝＝ 8．(13分)如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6. (1)求證：BD⊥平面PAC； (2)求二面角P－BD－A的大?。? (1)證明　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(0,0,0)，B(2，0,0)， C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)， ∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)， ＝(－2，2,0)． ∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC. 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC. (2)解　設(shè)平面ABD的法向量為m＝(0,0,1)， 設(shè)平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)， 則n·＝0，n·＝0.∵＝(－2，0,3)， ∴解得 令x＝，則n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝. ∴二面角P－BD－A的大小為60°. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．如圖，在四面體ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝，則二面角A－BC－D的大小為 (　　)． A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析　二面角A－BC－D的大小等于AB與CD所成角的大小.＝＋＋.而2＝2＋2＋2－2||·||·cos 〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB與CD所成角為，即二面角A－BC－D的大小為.故選B. 答案　B 2．如圖，設(shè)動點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上，記＝λ.當(dāng)∠APC為鈍角時，則λ的取值范圍是 (　　)． A. 　　　 B. C. 　　　 D. 解析　由題設(shè)可知，以、、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D -xyz，則有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)． 由＝(1,1，－1)，得 ＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)． 顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos ∠APC＝cos〈，〉＝＜0，這等價于·＜0， 即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)＜0，得＜λ＜ 1.因此，λ的取值范圍為. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2011·全國)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________． 解析　如圖，建立直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)DA＝1由已知條件A(1,0,0)，E，F(xiàn)， ＝，＝， 設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)， 面AEF與面ABC所成的二面角為θ， 由得 令y＝1，z＝－3，x＝－1，則n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量為m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝. 答案　 4．在三棱錐O－ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的正切值是________． 解析　如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OA＝OB＝OC＝1，則A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝. 設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)， 則由得 令x＝1，得n＝(1,1,1)．故cos〈n，〉＝＝， 所以O(shè)M與平面ABC所成角的正弦值為，其正切值為. 答案　 三、解答題(共25分) 5．(12分)(2012·新課標(biāo)全國)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD. (1)證明：DC1⊥BC. (2)求二面角A1－BD－C1的大?。? (1)證明　由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形．由于D為AA1的中點(diǎn)， 故DC＝DC1. 又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC. 而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD. 因為BC?平面BCD，所以DC1⊥BC. (2)解　由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，則BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1兩兩相互垂直．以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為x軸的正方向，||為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C－xyz.由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)． 則＝(0,0，－1)，＝ (1，－1,1)，＝(－1,0,1)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，則 即可取n＝(1,1,0)． 同理，設(shè)m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，則 即可取m＝(1,2,1)． 從而cos〈n，m〉＝＝. 故二面角A1－BD－C1的大小為30°. 6.(13分)(2012·全國)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一點(diǎn)，PE＝2EC. (1)證明：PC⊥平面BED； (2)設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大?。? (1)證明　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. 設(shè)C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，則P(0,0,2)，E， B.于是＝(2，0，－2)，＝，＝， 從而·＝0，·＝0， 故PC⊥BE，PC⊥DE. 又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE. (2)解?。?0,0,2)，＝(，－b,0)． 設(shè)m＝(x，y，z)為平面PAB的法向量，則m·＝0，且 m·＝0，即2z＝0且x－by＝0，令x＝b，則m＝(b，，0)． 設(shè)n＝(p，q，r)為平面PBC的法向量， 則n·＝0，且n·＝0， 即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0， 令p＝1，則r＝，q＝－，n＝. 因為面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)， cos〈n，〉＝＝，〈n，〉＝60°. 因為PD與平面PBC所成角和〈n，〉互余， 故PD與平面PBC所成的角為30°. 特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.