高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編9：圓錐曲線 Word版

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高考資源網(wǎng)（ks5u.com） 您身邊的高考專家 2013年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編9：圓錐曲線 一、選擇題 ．（2013年高考江西卷（理））過點引直線與曲線相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,當(dāng)AOB的面積取最大值時,直線的斜率等于 （　?。? A． B． C． D． 【答案】B ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））雙曲線的頂點到其漸近線的距離等于 （　　） A． B． C． D． 【答案】C ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））已知中心在原點的雙曲線的右焦點為,離心率等于,在雙曲線的方程是 （　?。? A． B． C． D． 【答案】B ．（2013年高考新課標(biāo)1（理））已知雙曲線:()的離心率為,則的漸近線方程為 （　　） A． B． C． D． 【答案】C ．（2013年高考湖北卷（理））已知,則雙曲線與的 （　?。? A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．焦距相等 D．離心率相等 【答案】D ．（2013年高考四川卷（理））拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是 （　?。? A． B． C． D． 【答案】B ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,是橢圓與雙曲線的公共焦點,分別是,在第二、四象限的公共點.若四邊形為矩形,則的離心率是 O x y A B F1 F2 （第9題圖） （　?。? A． B． C． D． 【答案】D ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于A, B兩點, O為坐標(biāo)原點. 若雙曲線的離心率為2, △AOB的面積為, 則p = （　?。? A．1 B． C．2 D．3 【答案】C ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對））橢圓的左、右頂點分別為,點在上且直線的斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是 （　　） A． B． C． D． 【答案】B ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對））已知拋物線與點,過的焦點且斜率為的直線與交于兩點,若,則 （　?。? A． B． C． D． 【答案】D ．（2013年高考北京卷（理））若雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為 （　　） A．y=±2x B．y= C． D． 【答案】B ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知拋物線:的焦點與雙曲線:的右焦點的連線交于第一象限的點.若在點處的切線平行于的一條漸近線,則 （　　） A． B． C． D． 【答案】D ．（2013年高考新課標(biāo)1（理））已知橢圓的右焦點為,過點的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標(biāo)為,則的方程為 （　?。? A． B． C． D． 【答案】D ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））設(shè)拋物線的焦點為,點在上,,若以為直徑的圓過點,則的方程為 （　?。? A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）已知為平面內(nèi)兩定點,過該平面內(nèi)動點作直線的垂線,垂足為.若,其中為常數(shù),則動點的軌跡不可能是 （　　） A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線 【答案】C ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知圓,圓,分別是圓上的動點,為軸上的動點,則的最小值為 （　?。? A． B． C． D． 【答案】A 二、填空題 ．（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））雙曲線的兩條漸近線的方程為_____________. 【答案】 ．（2013年高考江西卷（理））拋物線的焦點為F,其準線與雙曲線相交于兩點,若為等邊三角形,則_____________ 【答案】6 ．（2013年高考湖南卷（理））設(shè)是雙曲線的兩個焦點,P是C上一點,若且的最小內(nèi)角為,則C的離心率為___. 【答案】 ．（2013年高考上海卷（理））設(shè)AB是橢圓的長軸,點C在上,且,若AB=4,,則的兩個焦點之間的距離為________ 【答案】. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知直線交拋物線于兩點.若該拋物線上存在點,使得為直角,則的取值范圍為___ _____. 【答案】 ．（ 2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為(包含三角形內(nèi)部與邊界).若點是區(qū)域內(nèi)的任意一點,則的取值范圍是__________. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的標(biāo)準方程為,右焦點為,右準線為,短軸的一個端點為,設(shè)原點到直線的距離為,到的距離為,若,則橢圓的離心率為_______. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））橢圓的左.右焦點分別為,焦距為2c,若直線與橢圓的一個交點M滿足,則該橢圓的離心率等于__________ 【答案】 ．（2013年高考陜西卷（理））雙曲線的離心率為, 則m等于___9_____. 【答案】9 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））已知橢圓的左焦點為與過原點的直線相交于兩點,連接,若,則的離心率______. 【答案】 ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）拋物線的準線方程是_______________ 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)定點,是函數(shù)()圖象上一動點,若點之間的最短距離為,則滿足條件的實數(shù)的所有值為_______. 【答案】或 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè)為拋物線的焦點,過點的直線交拋物線于兩點,點為線段的中點,若,則直線的斜率等于________. 【答案】 三、解答題 ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）本題共有2個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分9分. 已知橢圓的兩個焦點分別為、,短軸的兩個端點分別為 (1)若為等邊三角形,求橢圓的方程; (2)若橢圓的短軸長為,過點的直線與橢圓相交于兩點,且,求直線的方程. [解](1) (2) 【答案】[解](1)設(shè)橢圓的方程為. 根據(jù)題意知, 解得, 故橢圓的方程為. (2)容易求得橢圓的方程為. 當(dāng)直線的斜率不存在時,其方程為,不符合題意; 當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為. 由 得. 設(shè),則 因為,所以,即 , 解得,即. 故直線的方程為或. ．（2013年高考四川卷（理））已知橢圓:的兩個焦點分別為,且橢圓經(jīng)過點. (Ⅰ)求橢圓的離心率; (Ⅱ)設(shè)過點的直線與橢圓交于、兩點,點是線段上的點,且,求點的軌跡方程. 【答案】解: 所以,. 又由已知,, 所以橢圓C的離心率 由知橢圓C的方程為. 設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x,y). (1)當(dāng)直線與軸垂直時,直線與橢圓交于兩點,此時點坐標(biāo)為 (2) 當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為. 因為在直線上,可設(shè)點的坐標(biāo)分別為,則 . 又 由,得 ,即 ① 將代入中,得 ② 由得. 由②可知 代入①中并化簡,得 ③ 因為點在直線上,所以,代入③中并化簡,得. 由③及,可知,即. 又滿足,故. 由題意,在橢圓內(nèi)部,所以, 又由有 且,則. 所以點的軌跡方程是,其中,, ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））橢圓的左、右焦點分別是,離心率為,過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)點是橢圓上除長軸端點外的任一點,連接,設(shè)的角平分線交 的長軸于點,求的取值范圍; (Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點,設(shè)直線的斜率分別為,若,試證明為定值,并求出這個定值. 【答案】解:(Ⅰ)由于,將代入橢圓方程得 由題意知,即 又 所以, 所以橢圓方程為 (Ⅱ)由題意可知:=,=,設(shè)其中,將向量坐標(biāo)代入并化簡得:m(,因為, 所以,而,所以 (3)由題意可知,l為橢圓的在p點處的切線,由導(dǎo)數(shù)法可求得,切線方程為: ,所以,而,代入中得 為定值. ．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”. (1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證); (2)設(shè)直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“C1—C2型點”; (3)求證:圓內(nèi)的點都不是“C1—C2型點”. 【答案】:(1)C1的左焦點為,過F的直線與C1交于,與C2交于,故C1的左焦點為“C1-C2型點”,且直線可以為; (2)直線與C2有交點,則 ,若方程組有解,則必須; 直線與C2有交點,則 ,若方程組有解,則必須 故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點,即原點不是“C1-C2型點”. (3)顯然過圓內(nèi)一點的直線若與曲線C1有交點,則斜率必存在; 根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點,則 直線與圓內(nèi)部有交點,故 化簡得,............① 若直線與曲線C1有交點,則 化簡得,.....② 由①②得, 但此時,因為,即①式不成立; 當(dāng)時,①式也不成立 綜上,直線若與圓內(nèi)有交點,則不可能同時與曲線C1和C2有交點, 即圓內(nèi)的點都不是“C1-C2型點” . ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,在正方形中,為坐標(biāo)原點,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為.分別將線段和十等分,分點分別記為和,連結(jié),過做軸的垂線與交于點. (1)求證:點都在同一條拋物線上,并求該拋物線的方程; (2)過點做直線與拋物線交于不同的兩點,若與的面積比為,求直線的方程. 【答案】解:(Ⅰ)依題意,過且與x軸垂直的直線方程為 ,直線的方程為 設(shè)坐標(biāo)為,由得:,即, 都在同一條拋物線上,且拋物線方程為 (Ⅱ)依題意:直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為 由得 此時,直線與拋物線恒有兩個不同的交點 設(shè):,則 又, 分別帶入,解得 直線的方程為,即或 ．（2013年高考湖南卷（理））過拋物線的焦點F作斜率分別為的兩條不同的直線,且,相交于點A,B,相交于點C,D.以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在的直線記為. (I)若,證明;; (II)若點M到直線的距離的最小值為,求拋物線E的方程. 【答案】解: (Ⅰ) . 所以,成立. (證畢) (Ⅱ) 則, . . ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,點是橢圓的一個頂點,的長軸是圓的直徑.是過點且互相垂直的兩條直線,其中交圓于兩點,交橢圓于另一點 (1)求橢圓的方程; (2)求面積取最大值時直線的方程. x O y B l1 l2 P D A （第21題圖） 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到,且,所以橢圓的方程是; (Ⅱ)因為直線,且都過點,所以設(shè)直線,直線,所以圓心到直線的距離為,所以直線被圓所截的弦; 由,所以 ,所以 , 當(dāng)時等號成立,此時直線 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））如題(21)圖,橢圓的中心為原點,長軸在軸上,離心率,過左焦點作軸的垂線交橢圓于兩點,. (1)求該橢圓的標(biāo)準方程; (2)取垂直于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點,過作圓心為的圓,使橢圓上的其余點均在圓外.若,求圓的標(biāo)準方程. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè)橢圓的焦點在軸上 (Ⅰ)若橢圓的焦距為1,求橢圓的方程; (Ⅱ)設(shè)分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上的第一象限內(nèi)的點,直線交軸與點,并且,證明:當(dāng)變化時,點在某定直線上. 【答案】解: (Ⅰ). (Ⅱ) . 由. 所以動點P過定直線. ．（2013年高考新課標(biāo)1（理））已知圓:,圓:,動圓與外切并且與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線 C. (Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線C交于A,B兩點,當(dāng)圓P的半徑最長時,求|AB|. 【答案】由已知得圓的圓心為(-1,0),半徑=1,圓的圓心為(1,0),半徑=3. 設(shè)動圓的圓心為(,),半徑為R. (Ⅰ)∵圓與圓外切且與圓內(nèi)切,∴|PM|+|PN|===4, 由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左右焦點,場半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點除外),其方程為. (Ⅱ)對于曲線C上任意一點(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2, 當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時,R=2. ∴當(dāng)圓P的半徑最長時,其方程為, 當(dāng)?shù)膬A斜角為時,則與軸重合,可得|AB|=. 當(dāng)?shù)膬A斜角不為時,由≠R知不平行軸,設(shè)與軸的交點為Q,則=,可求得Q(-4,0),∴設(shè):,由于圓M相切得,解得. 當(dāng)=時,將代入并整理得,解得=,∴|AB|==. 當(dāng)=-時,由圖形的對稱性可知|AB|=, 綜上,|AB|=或|AB|=. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (Ⅰ) 求橢圓的方程; (Ⅱ) 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若, 求k的值. 【答案】 ．（2013年高考江西卷（理））如圖,橢圓經(jīng)過點離心率,直線的方程為. (1) 求橢圓的方程; (2) 是經(jīng)過右焦點的任一弦(不經(jīng)過點),設(shè)直線與直線相交于點,記的斜率分別為問:是否存在常數(shù),使得?若存在求的值;若不存在,說明理由. 【答案】解:(1)由在橢圓上得, ① 依題設(shè)知,則 ② ②代入①解得. 故橢圓的方程為. (2)方法一:由題意可設(shè)的斜率為, 則直線的方程為 ③ 代入橢圓方程并整理,得, 設(shè),則有 ④ 在方程③中令得,的坐標(biāo)為. 從而. 注意到共線,則有,即有. 所以 ⑤ ④代入⑤得, 又,所以.故存在常數(shù)符合題意. 方法二:設(shè),則直線的方程為:, 令,求得, 從而直線的斜率為, 聯(lián)立 ,得, 則直線的斜率為:,直線的斜率為:, 所以, 故存在常數(shù)符合題意. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點. (Ⅰ) 求拋物線的方程; (Ⅱ) 當(dāng)點為直線上的定點時,求直線的方程; (Ⅲ) 當(dāng)點在直線上移動時,求的最小值. 【答案】(Ⅰ) 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,解得. 所以拋物線的方程為. (Ⅱ) 拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得 設(shè),(其中),則切線的斜率分別為,, 所以切線的方程為,即,即 同理可得切線的方程為 因為切線均過點,所以, 所以為方程的兩組解. 所以直線的方程為. (Ⅲ) 由拋物線定義可知,, 所以 聯(lián)立方程,消去整理得 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得, 所以 又點在直線上,所以, 所以 所以當(dāng)時, 取得最小值,且最小值為. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））平面直角坐標(biāo)系中,過橢圓的右焦點作直交于兩點,為的中點,且的斜率為. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)為上的兩點,若四邊形的對角線,求四邊形面積的最大值. 【答案】 ．（2013年高考湖北卷（理））如圖,已知橢圓與的中心在坐標(biāo)原點,長軸均為且在軸上,短軸長分別為,,過原點且不與軸重合的直線與,的四個交點按縱坐標(biāo)從大到小依次為,,,.記,和的面積分別為和. (I)當(dāng)直線與軸重合時,若,求的值; (II)當(dāng)變化時,是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線,使得?并說明理由. 第21題圖 【答案】解:(I), 解得:(舍去小于1的根) (II)設(shè)橢圓,,直線: 同理可得, 又和的的高相等 如果存在非零實數(shù)使得,則有, 即:,解得 當(dāng)時,,存在這樣的直線;當(dāng)時,,不存在這樣的直線. ．（2013年高考北京卷（理））已知A、B、C是橢圓W:上的三個點,O是坐標(biāo)原點. (I)當(dāng)點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積; (II)當(dāng)點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由. 【答案】解:(I)橢圓W:的右頂點B的坐標(biāo)為(2,0).因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設(shè)A(1,),代入橢圓方程得,即. 所以菱形OABC的面積是. (II)假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因為點B不是W的頂點,且直線AC不過原點,所以可設(shè)AC的方程為. 由消去并整理得. 設(shè)A,C,則,. 所以AC的中點為M(,). 因為M為AC和OB的交點,所以直線OB的斜率為. 因為,所以AC與OB不垂直. 所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾. 所以當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形. ．（2013年高考陜西卷（理））已知動圓過定點A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長為8. (Ⅰ) 求動圓圓心的軌跡C的方程; (Ⅱ) 已知點B(-1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過定點. 【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),設(shè)圓心C (Ⅱ) 點B(-1,0), . 直線PQ方程為: 所以,直線PQ過定點(1,0) ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））如圖,拋物線,點在拋物線上,過作的切線,切點為(為原點時,重合于),切線的斜率為. (I)求的值; (II)當(dāng)在上運動時,求線段中點的軌跡方程. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對））已知雙曲線的左、右焦點分別為,離心率為直線與的兩個交點間的距離為. (I)求; (II)設(shè)過的直線與的左、右兩支分別相交于兩點,且,證明:成等比數(shù)列. 【答案】 ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分6分. 已知拋物線 的焦點為. (1)點滿足.當(dāng)點在拋物線上運動時,求動點的軌跡方程; (2)在軸上是否存在點,使得點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上?如果存在,求所有滿足條件的點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由. 【答案】(1)設(shè)動點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,則, 因為的坐標(biāo)為,所以, 由得. 即 解得 代入,得到動點的軌跡方程為. (2)設(shè)點的坐標(biāo)為.點關(guān)于直線的對稱點為, 則 解得 若在上,將的坐標(biāo)代入,得,即或. 所以存在滿足題意的點,其坐標(biāo)為和. 高考資源網(wǎng)版權(quán)所有，侵權(quán)必究！