同濟大學(高等數(shù)學)_第一章_函數(shù)極限.doc

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第一篇 函數(shù)、極限與連續(xù) 第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 高等數(shù)學的主要內容是微積分，微積分是以變量為研究對象，以極限方法為基本研究手段的數(shù)學學科.本章首先復習函數(shù)相關內容，繼而介紹極限的概念、性質、運算等知識，最后通過函數(shù)的極限引入函數(shù)的連續(xù)性概念，這些內容是學習高等數(shù)學課程極其重要的基礎知識. 第1節(jié) 集合與函數(shù) 1.1 集合 1.1.1 集合 討論函數(shù)離不開集合的概念.一般地，我們把具有某種特定性質的事物或對象的總體稱為集合，組成集合的事物或對象稱為該集合的元素. 通常用大寫字母、、、表示集合，用小寫字母、、、表示集合的元素. 如果是集合的元素，則表示為，讀作“屬于”；如果不是集合的元素，則表示為，讀作“不屬于”. 一個集合，如果它含有有限個元素，則稱為有限集；如果它含有無限個元素，則稱為無限集；如果它不含任何元素，則稱為空集，記作. 集合的表示方法通常有兩種：一種是列舉法，即把集合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表示集合.例如，有1,2,3,4,5組成的集合，可表示成 ={1,2,3,4,5}； 第二種是描述法，即設集合所有元素的共同特征為，則集合可表示為 . 例如，集合是不等式的解集，就可以表示為 . 由實數(shù)組成的集合，稱為數(shù)集，初等數(shù)學中常見的數(shù)集有： （1）全體非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作，即 ； （2）所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作，即 ； （3）全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作，即 ； （4）全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作，即 ； （5）全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集，記作. 1.1.2 區(qū)間與鄰域 在初等數(shù)學中，常見的在數(shù)集是區(qū)間.設，且，則 （1）開區(qū)間 ； （2）半開半閉區(qū)間 ，； （3）閉區(qū)間 ； （4）無窮區(qū)間 ， ，， ，. 以上四類統(tǒng)稱為區(qū)間，其中（1）-（4）稱為有限區(qū)間，（5）-（8）稱為無限區(qū)間.在數(shù)軸上可以表示為（圖1-1）： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 圖 1-1 在微積分的概念中，有時需要考慮由某點附近的所有點組成的集合，為此引入鄰域的概念. 定義1 設為某個正數(shù)，稱開區(qū)間為點的鄰域，簡稱為點的鄰域，記作，即 . 在此，點稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑，圖形表示為（圖1-2）： 圖1-2 另外，點的鄰域去掉中心后，稱為點的去心鄰域，記作，即 , 圖形表示為（圖1-3）： 圖1-3 其中稱為點的左鄰域，稱為點的右鄰域. 1.2函數(shù)的概念 1.2.1函數(shù)的定義 定義2 設、是兩個變量，是給定的數(shù)集，如果對于每個，通過對應法則，有唯一確定的與之對應，則稱為是的函數(shù)，記作.其中為自變量，為因變量，為定義域,函數(shù)值的全體成為函數(shù)的值域，記作，即 . 函數(shù)的記號是可以任意選取的, 除了用 外, 還可用“”、“”、“”等表示. 但在同一問題中, 不同的函數(shù)應選用不同的記號. 函數(shù)的兩要素：函數(shù)的定義域和對應關系為確定函數(shù)的兩要素. 例1 求函數(shù)的定義域. 解 的定義區(qū)間滿足：；的定義區(qū)間滿足：，解得. 這兩個函數(shù)定義區(qū)間的公共部分是 . 所以，所求函數(shù)定義域為. 例2 判斷下列各組函數(shù)是否相同. （1），； （2），； （3），. 解 （1）的定義域為，的定義域為.兩個函數(shù)定義域不同，所以和不相同. （2）和的定義域為一切實數(shù).,所以和是相同函數(shù). （3），,故兩者對應關系不一致，所以和不相同. 函數(shù)的表示法有表格法、圖形法、解析法(公式法)三種.常用的是圖形法和公式法兩種.在此不再多做說明. 函數(shù)舉例: 例3 函數(shù)，函數(shù)為符號函數(shù)，定義域為，值域. 如圖1-4： 圖1-4 例4 函數(shù)，此函數(shù)為取整函數(shù)，定義域為， 設為任意實數(shù), 不超過的最大整數(shù)，值域. 如圖1-5： 圖1-5 特別指出的是，在高等數(shù)學中還出現(xiàn)另一類函數(shù)關系，一個自變量通過對于法則有確定的值與之對應，但這個值不總是唯一.這個對應法則并不符合函數(shù)的定義，習慣上我們稱這樣的對應法則確定了一個多值函數(shù). 1.2.2 函數(shù)的性質 設函數(shù)，定義域為，. （1）函數(shù)的有界性 定義3 若存在常數(shù)，使得對每一個，有，則稱函數(shù)在上有界. 若對任意，總存在，使，則稱函數(shù)在上無界.如圖1-6： 圖1-6 例如 函數(shù) 在上是有界的:.函數(shù) 在內無上界，在內有界. （2）函數(shù)的單調性 設函數(shù)在區(qū)間上有定義, 及為區(qū)間上任意兩點, 且.如果恒有, 則稱在上是單調增加的；如果恒有, 則稱在上是單調遞減的.單調增加和單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)（圖1-7）. 圖1-7 （3）函數(shù)的奇偶性 設函數(shù)的定義域關于原點對稱.如果在上有, 則稱為偶函數(shù)；如果在上有, 則稱為奇函數(shù). 例如，函數(shù)，由于，所以是偶函數(shù)；又如函數(shù)，由于，所以是奇函數(shù).如圖1-8： 圖1-8 從函數(shù)圖形上看，偶函數(shù)的圖形關于軸對稱，奇函數(shù)的圖形關于原點對稱. (4)函數(shù)的周期性 設函數(shù)的定義域為. 如果存在一個不為零的數(shù),使得對于任一有, 且, 則稱為周期函數(shù), 稱為的周期.如果在函數(shù)的所有正周期中存在一個最小的正數(shù)，則我們稱這個正數(shù)為的最小正周期.我們通常說的周期是指最小正周期. 例如，函數(shù)和是周期為的周期函數(shù)，函數(shù)和是周期為的周期函數(shù). 在此，需要指出的是某些周期函數(shù)不一定存在最小正周期. 例如，常量函數(shù)，對任意實數(shù)，都有，故任意實數(shù)都是其周期，但它沒有最小正周期. 又如，狄里克雷函數(shù) ， 當時，對任意有理數(shù)，，必有，故任意有理數(shù)都是其周期，但它沒有最小正周期. 1.3 反函數(shù) 在初等數(shù)學中的函數(shù)定義中，若函數(shù)為單射,若存在，稱此對應法則為的反函數(shù). 習慣上,的反函數(shù)記作 . 例如，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為，圖像為（圖1-9） 圖1-9 反函數(shù)的性質： （1）函數(shù) 單調遞增(減)，其反函數(shù)存在，且也單調遞增（減）. （2）函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關于直線對稱. 下面介紹幾個常見的三角函數(shù)的反函數(shù)： 正弦函數(shù)的反函數(shù)，正切函數(shù)的反函數(shù). 反正弦函數(shù)的定義域是，值域是；反正切函數(shù)的定義域是，值域是，如圖1-10： 9 圖1-10 1.4復合函數(shù) 定義4 設函數(shù)，函數(shù)，則 稱為由復合而成的復合函數(shù)，其中為中間變量. 注：函數(shù)與函數(shù)構成復合函數(shù)的條件是，否則不能構成復合函數(shù). 例如，函數(shù)，.在形式上可以構成復合函數(shù) . 但是的值域為，故沒有意義. 在后面的微積分的學習中，也要掌握復合函數(shù)的分解，復合函數(shù)的分解原則： 從外向里，層層分解，直至最內層函數(shù)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運算. 例5 對函數(shù)分解. 解 由，復合而成. 例6 對函數(shù)分解. 解 由，，復合而成. 1.5初等函數(shù) 在初等數(shù)學中我們已經(jīng)接觸過下面各類函數(shù)： 常數(shù)函數(shù)：（為常數(shù)）； 冪函數(shù)：； 指數(shù)函數(shù)：； 對數(shù)函數(shù)：； 三角函數(shù)：； 反三角函數(shù)：. 這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù). 定義5 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復合步驟所構成的并用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù). 例如，，，等都是初等函數(shù). 需要指出的是，在高等數(shù)學中遇到的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，但是分段函數(shù)不是初等函數(shù)，因為分段函數(shù)一般都有幾個解析式來表示.但是有的分段函數(shù)通過形式的轉化，可以用一個式子表示，就是初等函數(shù).例如，函數(shù) ， 可表示為. 習題 1-1 1.求下列函數(shù)的定義域. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 2.下列各題中，函數(shù)和是否相同，為什么？ （1），； （2），； （3），； （4），. 3.已知的定義域為，求下列函數(shù)的定義域. （1）； （2）； （3）. 4.設，求，. 5.判斷下列函數(shù)的奇偶性. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 6.設下列考慮的函數(shù)都是定義在區(qū)間上的，證明： （1）兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)； （2）兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)和奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). 7.下列函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？如果是，確定其周期. （1）； （2）； （3）； （4）. 8.求下列函數(shù)的反函數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 9.下列函數(shù)是有哪些函數(shù)復合而成的. （1）； （2）； （3）； （4）. 10.設，，求，，. 第2節(jié) 極限 極限在高等數(shù)學中占有重要地位，微積分思想的構架就是用極限定義的. 本節(jié)主要研究數(shù)列極限、函數(shù)極限的概念以及極限的有關性質等內容. 2.1 數(shù)列的極限 2.1.1 數(shù)列的概念 定義1 若按照一定的法則，有第一個數(shù)，第二個數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應著一個確定的數(shù)，那么，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項。第n項叫做數(shù)列的一般項或通項. 例如 ； ； ； 都是數(shù)列，它們的一般項依次為 ，，，. 我們可以看到，數(shù)列值隨著n變化而變化，因此可以把數(shù)列看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)，即 另外，從幾何的角度看，數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列，可看作一動點在數(shù)軸上依次取a1，a2，，，，在數(shù)軸上表示為（圖1-11）： 圖1-11 2.1.2 數(shù)列極限的定義 數(shù)列極限的思想早在古代就已萌生，我國《莊子》一書中著名的“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中首創(chuàng)“割圓術”，用圓內接多邊形的 面積去逼近圓的面積，都是極限思想的萌芽. 設有一圓，首先作圓內接正六邊形，把它的面積記為；再作圓的內接正十二邊形，其面積記為；再作圓的內接正二十四邊形，其面積記為；依次進行下去，一般把內接正邊形的面積記為，可得一系列內接正多邊形的面積： ，，，…，，…， 它們就構成一列有序數(shù)列.可以發(fā)現(xiàn)，當內接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個確定的數(shù)值在數(shù)學上被稱為數(shù)列當時的極限. 在上面的例子中，數(shù)列如圖1-12： 圖1-12 當時，無限接近于常數(shù)0，則0就是數(shù)列當時的極限. 再如數(shù)列：當時，無限接近于常數(shù)1，則1就是數(shù)列當時的極限；而數(shù)列：當時，在1和-1之間來回震蕩，無法趨近一個確定的常數(shù)，故數(shù)列當時無極限.由此推得數(shù)列的直觀定義： 定義2 設是一數(shù)列，是一常數(shù).當n無限增大時（即），無限接近于，則稱為數(shù)列當時的極限，記作 或 an→a （n→∞）． 在上例中， ，， 對于數(shù)列，其極限為，即當n無限增大時，無限接近于.如何度量與無限接近呢？ 一般情況下，兩個數(shù)之間的接近程度可以用這兩個數(shù)之差的絕對值來度量，并且 越小，表示與越接近. 例如數(shù)列，通過觀察我們發(fā)現(xiàn)當n無限增大時，無限接近0，即0是數(shù)列當時的極限.下面通過距離來描述數(shù)列的極限為0. 由于 當n越來越大時，越來越小，從而越來越接近于0. 當n無限增大時，無限接近于0. 例如，給定，要使，只要即可.也就是說從101項開始都能使 成立. 給定，要使，只要即可.也就是說從10001項開始都能使 成立. 一般地，不論給定的正數(shù)多么的小，總存在一個正整數(shù)，使得當時，不等式 都成立.這就是數(shù)列當時極限的實質. 根據(jù)這一特點得到數(shù)列極限的精確定義. 定義3 設是一數(shù)列，是一常數(shù).如果對任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當時，不等式 都成立，則稱是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于.記作. 反之，如果數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散. 在上面的定義中，可以任意給定，不等式表達了與無限接近程度.此外與有關，隨著的給定而選定.表示了從項開始滿足不等式. 對數(shù)列的極限為也可以略寫為： 數(shù)列的極限為的幾何解釋： 將常數(shù)與數(shù)列在數(shù)軸上用對應的點表示出來，從項開始，數(shù)列的點都落在開區(qū)間內，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外（圖1-13）. 圖1-13 例1 證明數(shù)列極限. 證明 由于 對，要使 即取當時，有由極限的定義知 例2 證明數(shù)列極限. 證明 由于 對，要使 即取當時，有由極限的定義知 . 注：在利用數(shù)列極限的定義來證明數(shù)列的極限時，重要的是要指出對于任意給定的正數(shù)，正整數(shù)確實存在，沒有必要非去尋找最小的. 例3 證明數(shù)列極限. 證明 由于 對，要使 即取對數(shù)得.取，當時，有由極限的定義知 . 2.2 數(shù)列極限的性質 定理1(極限的唯一性) 收斂數(shù)列的極限必唯一. 證明 （反證法）假設同時有及, 且，不妨設a0, 由于，存在充分大的正整數(shù), 使當時, 有 , 有 . 由于，存在充分大的正整數(shù), 使當時, 有 , 有 . 取，則當時，同時有和成立，這是不可能的，故假設不成立.收斂數(shù)列的極限必唯一. 定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列收斂, 那它一定有界. 即對于收斂數(shù)列，必存在正數(shù)，對一切，有 證明 設， 根據(jù)數(shù)列極限的定義, 取e =1, 存在正整數(shù)N, 當時, 不等式 都成立. 于是當時, . 取，那么數(shù)列中的一切都滿足不等式.這就證明了數(shù)列是有界的. 定理2說明了收斂數(shù)列一定有界，反之不成立. 例如，數(shù)列有界，但是不收斂. 定理3(收斂數(shù)列的保號性) 如果, 且(或), 那么存在正整數(shù)N, 當時, 有(或). 證明 就的情形. 由數(shù)列極限的定義, 對,, 當時, 有 , 從而 . 推論 如果數(shù)列從某項起有(或), 且, 那么(或). 定理4(夾逼準則) 如果數(shù)列、及滿足下列條件: (1), (2), , 那么數(shù)列的極限存在, 且. 證明 因為, , 以根據(jù)數(shù)列極限的定義, "e >0, $, 當時, 有 . 又, 當時, 有 . 現(xiàn)取, 則當 時, 有 , 同時成立. 又因 , 所以當 時, 有 , 即 . 這就證明了. 例4 求證. 證明 由于 ， 而，，由夾逼準則知， . 如果數(shù)列滿足條件 , 就稱數(shù)列是單調增加的. 如果數(shù)列滿足條件 , 就稱數(shù)列是單調減少的. 單調增加和單調減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調數(shù)列. 定理5(單調有界準則) 單調有界數(shù)列必有極限. 例5 求數(shù)列的極限. 解 證明數(shù)列的有界性. 令則 其中，.設，則 . 由歸納法知，對所有的，有故有界. 證明數(shù)列的單調性. 已知，，則.設，則 . 由歸納法知，對所有的，有故單調遞增. 由單調有界準則知，數(shù)列存在極限，設為. 在兩邊取極限，得 , 解得或.由于收斂數(shù)列保號性知舍去. 故所求數(shù)列的極限是. 2.3 函數(shù)的極限 由于數(shù)列可以看做是自變量為的函數(shù)：.所以數(shù)列的極限為，可以認為是當自變量取正整數(shù)且無限增大時，對應的函數(shù)值無限接近于常數(shù).對一般的函數(shù)而言，在自變量的某個變化過程中，函數(shù)值無限接近于某個確定的常數(shù)，那么這個常數(shù)就叫做在自變量在這一變化過程的極限.這說明函數(shù)的極限與自變量的變化趨勢有關，自變量的變化趨勢不同，函數(shù)的極限也會不同. 下面主要介紹自變量的兩種變化趨勢下函數(shù)的極限. 2.3.1 自變量時函數(shù)的極限 引例 觀察函數(shù)當時的變化趨勢（圖1-14）. 圖1-14 從圖1-14可以看出，當無限增大時，函數(shù)無限接近于0（確定的常數(shù)）. 由此推得函數(shù)在時極限的直觀定義： 定義4 設當 x 大于某一正數(shù)時有定義，當 x 無限增大時,函數(shù)值無限接近于一個確定的常數(shù) ,稱為當 x→+∞時的極限. 記作 或 ． 引例中， 類比于數(shù)列極限的定義推得當時函數(shù)的極限的直觀定義： 定義5 設當 x 大于某一正數(shù)時有定義，如果存在常數(shù)，對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當時，不等式 都成立，則稱是函數(shù)在時的極限，記作 . 對定義5的簡單敘述： 類比當時函數(shù)的極限定義，當時函數(shù)的極限定義： 定義6 設當 大于某一正數(shù)時有定義，如果存在常數(shù)，對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當時，不等式 都成立，則稱是函數(shù)在時的極限，記作 . 對定義6的簡單敘述： 在引例中， 結合定義5和定義6，推得函數(shù)在時的極限定義： 定義7 設當 大于某一正數(shù)時有定義，如果存在常數(shù)，對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當時，不等式 都成立，則稱是函數(shù)在時的極限，記作 . 對定義7的簡單敘述： 結合定義7，函數(shù)在時的極限存在的充要條件是： 例6 證明. 證明 由于 對，要使 即取當時，有由極限的定義知 . 從幾何上看，表示當時，曲線位于直線和之間（圖1-15）. 圖1-15 這時稱直線為曲線的水平漸近線. 例如 ，則是曲線的水平漸近線. 2.3.2 自變量時函數(shù)的極限 引例1 觀察函數(shù)和在時函數(shù)值的變化趨勢（圖1-16）： 圖1-16 從圖1-16中得出，函數(shù)和在時函數(shù)值都無限接近于2，則稱2是函數(shù)和在時的極限. 從上例中看出，雖然和在處都有極限，但在處不定義. 這說明函數(shù)在一點處是否存在極限與它在該點處是否有定義無關. 因此，在后面的定義中假定函數(shù)在的某個去心鄰域內有定義，函數(shù)在時函數(shù)極限的直觀定義： 定義7 函數(shù)在的某個去心鄰域內有定義.當時，函數(shù)的函數(shù)值無限接近于確定的常數(shù)，稱為函數(shù)在時的極限. 在定義7中，函數(shù)的函數(shù)值無限接近于某個確定的常數(shù)，表示能任意小，在此同樣可以通過對于任意給定的正數(shù)，表示. 而可以表示為（>0），體現(xiàn)了接近的程度. 由此得到函數(shù)在時函數(shù)極限的精確定義： 定義8 函數(shù)在的某個去心鄰域內有定義.對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當滿足不等式時，函數(shù)滿足不等式 ， 稱為函數(shù)在時的極限.記作 或. 定義8簡單表述為： 函數(shù)在時極限為的幾何解釋： 對，當時，曲線位于直線和之間，如圖1-17： 圖1-17 例7 證明為常數(shù). 證明 由于 對，對，當時，都有故 例8 證明 證明 由于 對，要使，即取，當時，都有故 在函數(shù)的極限中，既包含從左側向靠近，又包含從右側向靠近. 因此，在求分段函數(shù)在分界點處的極限時，由于在處兩側函數(shù)式子不同，只能分別討論. 左側向靠近的情形，記作. 從右側向靠近的情形，記作. 在定義8中，若把空心鄰域改為，則稱為函數(shù)在時的左極限.記作 或 . 類似地，若把空心鄰域改為，則稱為函數(shù)在時的右極限.記作 或 . 我們把左極限和右極限統(tǒng)稱為單側極限. 根據(jù)在時極限的定義推出在時的極限存在的充要條件是左、右極限都存在并且相等，即： . 例9 討論函數(shù) 當時極限不存在. 解 函數(shù)圖形（圖1-18）如下： 圖1-18 載處的左極限為 ； 右極限為 . 由于，故不存在. 2.3.3 函數(shù)的極限的性質 類比數(shù)列極限的性質，可以推得函數(shù)極限的性質.由于函數(shù)極限自變量的變化趨勢有不同的形式，下面僅以為代表討論. 性質1（唯一性） 若，則極限值是唯一的. 性質2（局部有界性） 若，若存在常數(shù)及，當時，有. 性質3（保號性） 若，且（或），若存在，當時，有（或）. 性質4（夾逼準則） 設、、是三個函數(shù)，若存在，當時，有 ，， 則 . 2.4無窮大與無窮小 在研究函數(shù)的變化趨勢時，經(jīng)常會遇到兩種特殊情形：一是函數(shù)的極限為零，二是函數(shù)的絕對值無限增大，即是本節(jié)討論的無窮小和無窮大，以為代表討論. 2.4.1 無窮小 若，則稱函數(shù)為時的無窮小. 例如 ，則是時的無窮小.，則是時的無窮小. 在此需要指出的是：（1）無窮小不是很小的數(shù)，它表示當時，的絕對值可以任意小的函數(shù). （2）在說一個函數(shù)是無窮小時，一定要指明自變量的變化趨勢. 同一函數(shù)，在自變量的不同變化趨勢下，極限不一定為零；在常數(shù)里面. （3）0是唯一的無窮小. 2.4.2 無窮大 函數(shù)在的某個去心鄰域內有定義.對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當滿足不等式時，函數(shù)值滿足不等式 ， 則稱函數(shù)為時的無窮大. 按照函數(shù)極限的定義，當時無窮大的函數(shù)極限是不存在的.為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)，習慣上稱作函數(shù)的極限是無窮大，記作 . 若把定義中改為，稱函數(shù)極限為正無窮大（或負無窮大），記作 . 在此，同樣注意無窮大不是很大的數(shù)，不能和很大的數(shù)混為一談. 例如 由于，為時的無窮大，如圖1-19. 圖1-19 從圖形上看，當時，曲線無限接近于直線. 一般地，若，則直線為曲線的鉛直漸近線. 在上例中，是曲線的鉛直漸近線. 2.4.3 無窮小的性質 性質1 充要條件是，其中為時的無窮小. 證明 ，，當時，都有 . 令，則，即，說明為時的無窮小. 此時. 性質2 在自變量的同一變化過程中，若為無窮大，則為無窮??；若為無窮小，且，則為無窮大. 例如 由于，則. 性質3 有限個無窮小的和是無窮小. 性質4 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 例10 求極限. 解 由于，是有界函數(shù)，而.由性質4得 推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 推論2 有限個無窮小的乘積是無窮小. 習題1-2 1.根據(jù)數(shù)列的變化趨勢，求下列數(shù)列的極限： （1）； （2）； （3）； （4）. 2.根據(jù)數(shù)列極限的定義，證明： （1）； （2）. （3）； （4）. 3.設，求證. 4.設數(shù)列有界，，求證. 5.根據(jù)函數(shù)極限的定義，證明： （1）； （2）； （3）； （4）. 6.求下列函數(shù)在指定點處的左、右極限，并判斷在改點處極限是否存在. （1），在處； （2），在處； （3），在處. 7.指出下列函數(shù)在什么情況下是無窮小，什么情況下是無窮大. （1）； （2）； （3）； （4）. 8.求下列函數(shù)的極限. （1）； （2）； （3）； （4）. 9.求函數(shù)的圖形的漸近線. 10.利用極限存在準則證明： （1）； （2）； （3）數(shù)列的極限存在； （4）數(shù)列，的極限存在. 第3節(jié) 極限的運算 本節(jié)討論極限的求法，主要內容是極限的四則運算、復合函數(shù)的極限運算法則，以及利用這些法則，求某些特定函數(shù)的極限.由于函數(shù)極限自變量的變化趨勢有不同的形式，下面僅以為代表討論. 3.1 極限的四則運算法則 定理1 如果，則 （1）； （2）； （3）若，則 證明 只證. 由于，則 ，, 其中是時的無窮小.于是 . 由于仍然是時的無窮小，則 . 其它情況類似可證. 注：本定理可推廣到有限個函數(shù)的情形. 例1 求 解 例2 求 解 注：在運用極限的四則運算的商運算時，分母的極限.但有時分母的極限，這時就不能直接應用商運算了. 例3 求 解 由于，分母中極限為0，故不能用四則運算計算. 由于，根據(jù)無窮小的性質，知 例4 求 解 由于時，分子、分母的極限都為0，記作型.分子分母有公因子，可約去公因子，所以 總結：在求有理函數(shù)除法的極限時， （1）當時，應用極限四則運算法則，； （2）當，且時，由無窮小的性質，； （3）當，且時，約去使分子、分母同為零的公因子，再使用四則運算求極限. 例5 求 解 由于時，分子、分母的極限都為，記作型.用去除分子及分母，即 例6 求（1） （2） 解 （1）用去除分子及分母，得 . （2）用去除分子及分母，求極限得 總結：型的函數(shù)極限的一般規(guī)律是：當，，為正整數(shù)，則 . 例7 求 解 這是型，可以先通分，再計算. 例8 求 解 這是型無理式，可以先進行有理化，再計算. . 3.2 兩個重要極限 3.2.1 作單位圓（圖1-20）, 圖1-20 取圓心角，設，由圖1-20可知， 的面積， 即 ， 整理，得 . 不等式兩邊同時除以，取倒數(shù)，得 . 當取值范圍換成區(qū)間，不等式符號不改變. 當時，，有夾逼準則知 注意：在利用求函數(shù)的極限時，要注意使用條件： （1）極限是型；（2）式中帶有三角函數(shù)；（3）中的變量一致，都趨向于0. 例9 求 解 例10 求 解 例11 求 解 3.2.2 考慮（正整數(shù)）的情形.記，下面證明是單調有界數(shù)列. 由于 . 類似地， . 比較和的展開式，除前兩項外，的每一項都小于的對應項，且比多了最后的正數(shù)項，所以，即是單調遞增數(shù)列. 由于 . 即是有界數(shù)列. 由極限存在準則知，當時，的極限存在，通常用字母來表示,即 . 可以證明，當取實數(shù)而趨向（或）時，函數(shù)的極限也存在，且等于. 故當時， . 令，當時，，上式可變?yōu)? ， 故極限的另一種形式是 注意：在利用求函數(shù)極限時，要注意使用條件： （1）極限是型；（2）和中的變量一致，且括號內與括號右上角處互為倒數(shù). 例12 求 解 例13 求 解 例14 求 解 3.3 無窮小的比較 引例 當時，、、都是無窮小，而極限 ，，. 引例中，在時，三個函數(shù)都是無窮小，但比值的極限結果不同，這反映了不同的無窮小趨于0的速度“快慢”不同. 定義 在時，和為無窮小， （1）如果則稱是為高階無窮小，記作； （2）如果則稱是為低階無窮小； （3）如果則稱與為同階無窮??； （4）如果則稱是關于的階無窮?。? （5）如果則稱與為等價無窮小，記作. 顯然等價無窮小是同階無窮小的特殊情形，即. 在上面的例子中， 由于，則當時，是的高階無窮小，記作； 由于，則當時，是的低階無窮小； 由于，則當時，是的同階無窮??； 由于，則當時，是的等價無窮小. 在此，列舉出當時，常見的等價無窮小有 ；；；；； ；；. 在上述幾個無窮小的概念中，最常見的是等價無窮小，下面給出等價無窮小的性質： 定理2 的充要條件是. 證明 以自變量時的極限為例. 必要性 設，則 . 故，即. 充分性 設，則 ， 故. 注：其他自變量的變化趨勢下同上. 定理3 ，，且存在，則 . 證明 以自變量時的極限為例. 定理3表明，在求兩個無窮小之比的的極限時，分子或分母都可用等價無窮小來代替. 例15 求 解 當時，，，則 例16 求 解 當時，，，則 例17 求 解 （錯誤做法）當時，.則 （正確做法）當時，.則 說明：在代數(shù)和中各等價無窮小不能分別替換，在因式中可以用等價無窮小的替換. 習題1-3 1.求下列極限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）（常數(shù)）； （14）； （15）； （16）（常數(shù)）； （17）； （18）； （19）； （20）； （21）； （22）； （23）； （24）. 2.已知，求常數(shù). 3.已知，求常數(shù). 第4節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 在自然界中，有許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化、河水的流動、植物的生長等.這種現(xiàn)象在函數(shù)關系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性. 4.1 函數(shù)連續(xù)的概念 4.1.1 函數(shù)的增量 定義1 設變量從它的一個值變到另一個值，其差稱作變量的增量，記作，即. 例如，一天中某段時間，溫度從到，則溫度的增量.當溫度升高時，；當溫度降低時，；當時間的改變量很微小時，溫度的變化也會很??；當時，. 定義2 對于函數(shù)，如果在定義區(qū)間內自變量從變到，對應的函數(shù)值由變化到，則稱為自變量的增量，記作，即 或. （1-4-1） 為函數(shù)的增量，記作，即 或. （1-4-2） 注：增量不一定是正的，當初值大于終值時，增量就是負的. 4.1.2 函數(shù)連續(xù)的概念 設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，當自變量在這鄰域內從變到時，函數(shù)增量（圖1-21）. 圖1-21 假定不變，讓變動，也隨之變化.如果當無限變小時，也無限變小.根據(jù)這一特點，給出函數(shù)在處連續(xù)的概念. 定義3 設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，如果 ， （1-4-3） 則稱函數(shù)在點處連續(xù). 設，則當時，即是.而 ， 由就是，即 . 定義3可以改寫為如下定義： 定義4 設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，如果 ， （1-4-4） 那么就稱函數(shù)在點處連續(xù). 由定義4知，函數(shù)在點處連續(xù)，必須滿足下列三個條件： （1） 函數(shù)在點處有定義； （2） 存在，即； （3） 例1 討論函數(shù)在處的連續(xù)性. 解 由于 ， 而，故 . 由連續(xù)性的定義知，函數(shù)在處連續(xù). 由于函數(shù)在處極限存在等價于在處左、右極限都存在并且相等，結合這一特點，下面定義左、右連續(xù)的概念. 如果，則稱函數(shù)在點處的左連續(xù).如果，則稱函數(shù)在點處的右連續(xù). 如果函數(shù)在點處連續(xù)，必有，則有 ， 這說明了函數(shù)在點處連續(xù)，既包含了在點處左連續(xù)，又包含了在點處右連續(xù). 定理1 函數(shù)在點處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在點處既左連續(xù)又右連續(xù). 注：此定理常用于判定分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性. 例2 討論函數(shù) 在處的連續(xù)性. 解 函數(shù)圖形如圖1-22. 圖1-22 由于，故在處左連續(xù). ，故在處不右連續(xù). 因此由定理1知，函數(shù)在處不連續(xù). 以上是介紹函數(shù)在一點處連續(xù)的概念，下面介紹連續(xù)函數(shù)的概念. 定義5 如果函數(shù)在區(qū)間內每一點都連續(xù),稱為內的連續(xù)函數(shù). 如果函數(shù)在內連續(xù),且在左端點處右連續(xù)，在右端點處左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù). 例3 證明函數(shù)在內是連續(xù)的. 證明 任取，則 由于 ， 當時，由無窮小的性質知，. 由定義1，在處連續(xù).而是在內任取的，故在內是連續(xù)的. 類似地，可以驗證在定義區(qū)間內是連續(xù)的. 4.2 函數(shù)的間斷點 定義6 如果函數(shù)在點處不連續(xù)，則稱在處間斷，稱為的間斷點. 根據(jù)定義3，函數(shù)在點處連續(xù)必須滿足的三個條件知.換句話說，只要其中一個條件不滿足，函數(shù)就在處間斷.因此在處出現(xiàn)間斷的情形有下列三種： （1） 在處無定義； （2）在處雖然有定義，但是不存在； （3）在處有定義，存在，但是. 在處只要符合上述三種情形之一，則函數(shù)在處必間斷. 下面舉例函數(shù)間斷的例子. （1）函數(shù)在處無定義，所以是的間斷點. （2）符號函數(shù)，在處，由于 ，. 由于在處函數(shù)左、右極限不相等，故不存在，因此是此函數(shù)的間斷點. （3）函數(shù)，在處，由于 ， 而故，是此函數(shù)的間斷點. 從上面的例子看出，函數(shù)在處雖然都是間斷，但產(chǎn)生間斷的原因各不相同.根據(jù)這一特點，下面對間斷點進行分類: 如果與都存在，則稱為的第一類間斷點，否則稱為第二類間斷點. 在第一類間斷點中，如果，則稱為的可去間斷點；如果，則稱為的跳躍間斷點. 在上面的例子中，在（2）中是跳躍間斷點，在（3）中是可去間斷點. 在第二類間斷點中，如果與至少有一個為，則稱為的無窮間斷點；如果與至少有一個是不斷振蕩的，則稱為的振蕩間斷點. 在上例（1）中，是無窮間斷點. 再如，為函數(shù)的間斷點.當時，函數(shù)在-1和1之間出現(xiàn)無限次的振蕩，如圖1-23： 圖1-23 則為振蕩間斷點. 4.3 初等函數(shù)的連續(xù)性 定理2 設函數(shù)與在處連續(xù)，則其和、差、積、商（分母在處函數(shù)值不為零）在處也連續(xù). 定理3 設函數(shù)由和復合而成.且在處連續(xù)，處極限存在，則 . 注：內函數(shù)的極限存在, 外函數(shù)在該極限點連續(xù)，則求復合函數(shù)的極限時極限符號可以與外函數(shù)符號互換. 例4 求 解 由和復合而成.且，在處連續(xù)，則 在定理3中，如果把條件改為在處連續(xù)，且結論仍然成立，即 . 例5 求 解 由和復合而成.在處連續(xù)，；在處連續(xù)，則 由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復合構成的，結合定理2和定理3知，初等函數(shù)在定義區(qū)間是連續(xù)的. 定理4 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內是連續(xù)的. 例6 求 解 例7 求 解 例8 求 解 令，則，當時，.則 里7、例8也說明了當時，，. 例9 求 解 由于 ， 當時，，故 . 一般地，形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù). 如果 則 . 4.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 在4.1中已經(jīng)介紹了函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)的概念，下面繼續(xù)討論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質. 4.4.1最值定理 定理5（最值定理）閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值. 此定理說明，如果函數(shù)，如圖1-24： 圖1-24 則至少存在一點，，，都有，則是上的最小值.至少存在一點，，，都有，則是上的最大值. 注：定理5中條件“閉區(qū)間”和“連續(xù)”很重要，如果缺少一個，定理5不一定成立. 例如，函數(shù)在開區(qū)間內雖然連續(xù)，但是沒有最大值和最小值（圖1-25）. 函數(shù)在閉區(qū)間上不連續(xù)，不存在最大值和最小值（圖1-26）. 圖1-25 圖1-26 由于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)存在最大值和最小值，因此閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必定有界. 推論：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界. 4.4.2 介值定理 定理6（介值定理）函數(shù)在上連續(xù)，和分別是在上的最大值和最小值，則至少存在一點，使得（圖1-27）. 圖1-27 定理7（零點定理）函數(shù)在上連續(xù)，且，則在開區(qū)間內至少存在一點，使得（圖1-28）. 圖1-28 例10 證明方程在區(qū)間內至少有一個根. 解 設，顯然在上連續(xù)，而 ，， 由零點定理知，至少存在一點，使得.即在區(qū)間內至少有一個根. 例11 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且,,證明至少存在一點，使得. 解 設，顯然在上連續(xù)，而 ，， 由零點定理知，至少存在一點，使得.即. 注：在應用零點定理時，一定要注意檢驗函數(shù)是否滿足定理使用的條件. 習題1-4 1.用定義證明在內是連續(xù)的. 2.討論下列函數(shù)在指定點處的連續(xù)性，如果間斷，說明間斷點的類型；如果是可去間斷點，補充或改變函數(shù)的定義使其連續(xù). （1），在處； （2），在處； （3），在處； （4），在處. 3.討論函數(shù)的連續(xù)性，如果間斷，說明間斷點的類型. 4.已知函數(shù)在處連續(xù)，求的值. 5.求下列極限. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）. 6. 已知方程至少有一個實根. 7. 證明：若與都在上連續(xù)，且，，則存在點，使得. 8.證明方程（）至少有一個正根，且它不超過. 9.證明函數(shù)在之間至少有2個零點. 第5節(jié) 極限與連續(xù)的應用 5.1 經(jīng)濟應用 5.1.1需求與供給函數(shù) 設為商品社會需求量，為商品的價格，則稱為需求函數(shù). 設商品的社會供給量為，則社會供給量與商品價格之間的函數(shù)為供給函數(shù). 某商品的價格水平位，商品的社會需求量和商品的供給量達到平衡，稱為均衡價格，即.此時，為均衡數(shù)量. 例1 某種商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為 ，， 求該商品的市場均衡價格和均衡數(shù)量. 解 設均衡價格為，滿足，即 ， 解得.從而均衡數(shù)量 5.1.2 成本、收益、利潤函數(shù) 某商品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟資源的價格或費用總額.它由固定資本(生產(chǎn)準備費,用于維修、添制設備等)和可變資本 (每單位產(chǎn)品消耗原材料、勞力等費用)組成.由此可見總成本函數(shù)是產(chǎn)量（或銷量）的函數(shù)，即. 總收益是指銷售一定數(shù)量商品所得的收入，它既是銷量的函數(shù)，又是價格的函數(shù)，即. 生產(chǎn)（或銷售）一定數(shù)量商品的總利潤在不考慮稅收的情況下，它是總收入 與總成本之差，即. 例2 已知某產(chǎn)品的價格為，需求函數(shù)為，成本函數(shù)為，求利潤與產(chǎn)量之間的函數(shù)關系？產(chǎn)量為多少時利潤最大及最大利潤是多少？ 解 有需求函數(shù)知，故收益函數(shù)為 ， 利潤函數(shù) 因此，當時取得最大利潤，最大利潤為25. 5.2 工程應用 根據(jù)實際問題，建立函數(shù)關系式（建立數(shù)學模型），并根據(jù)實際問題的要求，確定函數(shù)的定義域. 例3 放射性元素鍶的半衰期是25年，存量與時間的關系式為：.即任意質量的鍶在25年后，其質量將為原來的一半，其中為原始量. (1) 若一份鍶樣品的質量為24mg，求鍶在年后質量表達式； (2) 求. 解 （1）質量為24mg，求鍶在年后質量表達式：. （2）. 例4 設 冰從升到所需要的熱量（單位：）模型為 試問當時，函數(shù)是否連續(xù)？并解釋其幾何意義. 解 此分段函數(shù)的分界點為，因此只討論處的連續(xù)性即可. 由于 ， ， 故，函數(shù)在處的不連續(xù). 這是由于冰水混合物在時吸收熱量而不改變溫度. 習題1-5 1.某型號手機價格為每只1000元時能賣出15只，當價格為每只800元時，能賣出20只.已知手機的價格高低與其需求量多少是線性關系，試建立該型號手機的需求量與價格之間的函數(shù)關系. 2.工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,生產(chǎn)準備費1000元，可變資本4元，單位售價8元.求： （1） 總成本函數(shù)； （2）單位成本函數(shù)； （3）銷售收入函數(shù)； （4）利潤函數(shù). 3.某商品的銷售量與單價的關系為，試將總收益表示為銷售量的函數(shù). 4.某礦廠A要將生產(chǎn)出的礦石運往鐵路旁的冶煉廠B冶煉.已知該礦距冶煉廠所在鐵路垂直距離為 a 公里,它的垂足 C 到 B 的距離為 b公里.又知鐵路運價為 m 元/噸·公里,公路運價是 n元/噸·公里(m < n),為節(jié)省運費,擬在鐵路上另修一小站 M 作為轉運站,那么總運費的多少決定于M的位置.試求出運費與距離的函數(shù)關系. 5.一個商場的停車場第一個小時及以內收費5元，以后每小時及以內加收費3元，每天最多收費20元，討論此函數(shù)的間斷點及它們的意義. 6.空氣通過盛有吸收劑的圓柱形器皿，已知該器皿吸收的量與的體積分數(shù)及吸收層厚度成正比.今有體積分數(shù)為8%的空氣，通過厚度為10cm的吸收層后，體積分數(shù)為2%.問 （1）若吸收層厚度為30cm，出口處空氣中的體積分數(shù)是多少？ （2）若要使出口處空氣中的體積分數(shù)為1%，吸收層厚度應為多少？ 第6節(jié) MATLAB軟件應用 6.1函數(shù)作圖 在高等數(shù)學中，經(jīng)常利用函數(shù)圖形研究函數(shù)的性質，在此，我們應用MATLAB命令來實現(xiàn)這一操作.應用MATLAB命令描繪函數(shù)圖形常用命令是ezplot，其實用方法為： 對于一元函數(shù)在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命令：ezplot(f,[a,b])； 對于平面方程在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命ezplot(f,[a,b,c,d])； 對于參數(shù)方程在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命令：ezplot(f,g,[,]). 例1 作出在上的圖形. 解 輸入命令： ezplot(sin(x),[-pi,pi])； 輸出結果如圖1-28. 例2 作出在上的圖形. 解 輸入命令： ezplot(asin(x),[-1,1])； 輸出結果如圖1-29。 圖1-29 圖1-30 例3作出在上的圖形. 解 輸入命令： ezplot(t-sin(t),1-cos(t),[0,2*pi])； 輸出結果如圖1-30. 圖1-31 6.2 極限的計算 在MATLAB命令中，提供limit函數(shù)來求取數(shù)列的極限，其調用格式為： 的MATLAB命令：L=limit(an,n,inf); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,inf); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,-inf); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,a); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,a,’right’); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,a,’left’). 例4 計算. 解 輸入命令： syms n； L=limit(1/n,n,inf)； 輸出結果：L=0. 例5 計算. 解 輸入命令： syms x； L=limit((x^2-1)/(x-1),x,1)； 輸出結果：L=2. 例6 計算. 解 輸入命令： syms x； L=limit(atan(x),x,inf)； 輸出結果：L =pi/2. 例7 設，計算. 解 此函數(shù)為分段函數(shù)，在處要討論左、右極限. 輸入命令： Lleft=limit(abs(x)/x,x,0,'left')； 輸出結果：Lleft = -1. Lright=limit(abs(x)/x,x,0,'right')； 輸出結果：Lright =1. 由于函數(shù)在處左、右極限不相等，故在處極限不存在. 總習題1 （A） 1. 求下列函數(shù)的定義域. （1）； （2）； （3）； （4）； （5），已知的定義域為； （6）. 2. 設，求. 3. 求下列函數(shù)的反函數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）. 4. 求下列函數(shù)的極限. （1）； （2）； （3）；