《一元二次方程》教材分析.doc

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西城區(qū)教育研修學(xué)院·初二數(shù)學(xué)研修活動(dòng) 2012.4.12 第二十二章《一元二次方程》教材分析 北京八中 劉穎 一. 本章的主要內(nèi)容: 1. 主要內(nèi)容: 一元二次方程及其有關(guān)概念, 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）, 運(yùn)用一元二次方程分析和實(shí)際問(wèn)題. 2. 本章重點(diǎn)：一元二次方程的解法, 難點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用. 二. 中考考試要求: （2012年） 考試內(nèi)容 考試要求 A B C 一元二次方程 了解一元二次方程的概念, 理解配方法, 會(huì)用直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程, 理解各種解法的依據(jù) 能由一元二次方程的概念確定二次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范圍; 能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠? 會(huì)用一元二次方程根的判別式判斷根的情況 能利用根的判別式說(shuō)明含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數(shù)的取值范圍; 會(huì)運(yùn)用一元二次方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 三. 課程學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 以分析實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系并求解其中的未知數(shù)為背景, 認(rèn)識(shí)一元二次方程及其有關(guān)概念. 2. 根據(jù)化歸的思想, 抓住“降次”這一基本策略, 掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法．有條件時(shí)可選學(xué)“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”, 拓展對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí). 3. 經(jīng)歷分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程, 體會(huì)一元二次方程的數(shù)學(xué)模型作用, 進(jìn)一步提高在實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力. 四. 本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖 實(shí)際問(wèn)題 數(shù)學(xué)問(wèn)題 設(shè)未知數(shù), 列方程 實(shí)際問(wèn)題的答案 數(shù)學(xué)問(wèn)題的解 解 方 程 開(kāi)平方法 配方法 公式法 分解因式法 檢 驗(yàn) 降 次 五. 課時(shí)安排 本章教學(xué)時(shí)間約需13課時(shí), 具體分配如下（僅供參考）: 22.1一元二次方程………………（2課時(shí)） 22.2降次——解一元二次方程…（7課時(shí)） 22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程…（2課時(shí)） 數(shù)學(xué)活動(dòng)與小結(jié)…………………（2課時(shí)） 六. 內(nèi)容安排 22.1 節(jié)以實(shí)際問(wèn)題為背景, 引出一元二次方程的概念, 歸納出一元二次方程的一般形式, 給出一元二次方程的根的概念, 并提出一元二次方程的根會(huì)出現(xiàn)不唯一的情況. 這些概念是全章后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ). 22.2節(jié)討論一元二次方程的基本解法, 其中包括直接開(kāi)平方法、配方法、公式法和因式分解法等, 這一節(jié)是全章的重點(diǎn)內(nèi)容之一. 在本章之前的方程都是一次方程或可化為一次方程的分式方程, 一元二次方程是首次出現(xiàn)的高于一次的方程.解二次方程的基本策略是將其轉(zhuǎn)化為一次方程, 這就是“降次”. 本節(jié)首先通過(guò)解比較簡(jiǎn)單的一元二次方程, 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)直接開(kāi)平方法解方程; 然后討論比較復(fù)雜的一元二次方程, 通過(guò)對(duì)比一邊為完全平方形式的方程, 使學(xué)生認(rèn)識(shí)配方法的基本原理并掌握其具體方法; 有了配方法作基礎(chǔ), 再討論如何用配方法解一元二次方程的一般形式(), 就得到一元二次方程的求根公式, 于是有了直接利用公式的公式法, 并引出用判別式確定一元二次方程的根的情況. 本節(jié)在公式法后討論因式分解法解一元二次方程, 這種解法要使方程的一邊為兩個(gè)一次因式相乘, 另一邊為0, 再分別令每個(gè)一次因式為0. 這幾種解法都是依降次的思想, 將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程, 只是具體的降次手段有所不同. 本節(jié)最后增加了選學(xué)內(nèi)容“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”. 學(xué)習(xí)這一內(nèi)容可以進(jìn)一步加深對(duì)一元二次方程及其根的認(rèn)識(shí), 為以后的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備. 22.3節(jié)安排了3個(gè)探究?jī)?nèi)容, 結(jié)合實(shí)際問(wèn)題, 分別討論傳播問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題和幾何圖形面積問(wèn)題. 一元二次方程與許多實(shí)際問(wèn)題都有聯(lián)系, 本節(jié)不是按照實(shí)際問(wèn)題的類(lèi)型分類(lèi)和選材的, 而是選取幾個(gè)具有一定代表性的實(shí)際問(wèn)題來(lái)進(jìn)一步討論如何建立和利用方程模型, 重點(diǎn)在分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系并以方程形式進(jìn)行表示, 這種數(shù)學(xué)建模思想的體現(xiàn)與前面有關(guān)方程的各章是一致的, 只是在問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜程度上又有新的發(fā)展, 數(shù)學(xué)模型由一次方程或可以化為一次方程的分式方程變?yōu)橐辉畏匠蹋? 本章從引言到小結(jié)始終保持貼近實(shí)際、貼近生活. 這樣安排主要目的是: 1. 反映客觀世界與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系; 2. 加強(qiáng)對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力的培養(yǎng). 目前的課程標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有將一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）列為必學(xué)內(nèi)容, 考慮到部分學(xué)有余力的學(xué)生可以進(jìn)一步擴(kuò)大對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí), 以及這個(gè)內(nèi)容是比較重要的數(shù)學(xué)知識(shí), 教科書(shū)在22.2.4中安排了有關(guān)內(nèi)容供選學(xué), 希望能提供一些問(wèn)題給部分學(xué)生去探究. 在本章小結(jié)中, 教科書(shū)再次強(qiáng)調(diào)一元二次方程與實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系, 突出解一元二次方程的基本思路以及具體方法, 這是本章的重點(diǎn)內(nèi)容. 一元二次方程是本套初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中所學(xué)習(xí)的最后一種方程, 從某種意義上說(shuō), 學(xué)習(xí)本章也具有對(duì)方程的學(xué)習(xí)進(jìn)行總結(jié)的作用． 七. 教學(xué)中應(yīng)注意一些的問(wèn)題 （一）一元二次方程的有關(guān)概念 1. 了解一元二次方程的概念 （1）一元二次方程是整式方程; （2）它含有一個(gè)未知數(shù)（“一元”）, 未知項(xiàng)的最高次次數(shù)是2（“二次”）; （3）它的一般形式是: . 2. 能由一元二次方程的概念確定二次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范圍 只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí), 整式方程才是一元二次方程. 例1. ① 關(guān)于x的方程是一個(gè)一元二次方程, 則m的取值范圍是_________,一次項(xiàng)系數(shù)是_____________, 常數(shù)項(xiàng)是______________ ② 關(guān)于x的一元二次方程, 化成一般形式是_____________ 3. 一元二次方程的解(根)的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解(根) （1）一元二次方程作為整式方程, 在有解的情況下, 一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解; （2）區(qū)分“無(wú)解”與“無(wú)實(shí)數(shù)解”. 例2. 已知: a > b, 且有, ① a, b是否方程的根; ② 求a, b的值 例3. 關(guān)于x的方程(1–a)x2+2x+2=0有實(shí)根, 求a的取值范圍. （二）能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠? 在學(xué)習(xí)本章之前, 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一元一次方程、二元一次方程組的解法, 并且學(xué)習(xí)了可以化為一元一次方程的分式方程的解法. 一元二次方程的解法與前面的方程的解法相比, 特點(diǎn)在于未知數(shù)的次數(shù)是2（二次）, 于是重點(diǎn)和難點(diǎn)在于如何將一元二次方程轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會(huì)解的一次方程. 1. 明確解一元二次方程是以降次為目的, 應(yīng)以直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法為手段, 從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解, 其中配方法更是尤為重要; 2. 理解配方法, 能熟練地選用包括直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法在內(nèi)的適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠? 3. 理解各種解法的依據(jù); 4. 各種解法應(yīng)強(qiáng)調(diào)的問(wèn)題 （1）直接開(kāi)平方 對(duì)于形如或的一元二次方程（即一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方, 而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)）, 可用直接開(kāi)平方法求解. 形如的方程的解法: 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), 方程無(wú)實(shí)數(shù)根. 注意: 在進(jìn)行用直接開(kāi)平方法解形如的方程的教學(xué)時(shí), 可有意識(shí)地滲透“換元法”的思想. （2）配方法 通過(guò)配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的形式, 當(dāng)時(shí), 可運(yùn)用直接開(kāi)平方法求解. 配方法的一般步驟: ① 移項(xiàng): 把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊, 常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊; ② “系數(shù)化1”: 根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1; ③ 配方: 將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方, 把方程變形為的形式; ④ 求解: 當(dāng)時(shí), 方程的解為; 若時(shí), 方程無(wú)實(shí)數(shù)解． 注意: 在二次項(xiàng)系數(shù)為1的情況下, “方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)（絕對(duì)值）一半的平方”這是用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵步驟. （3）公式法 一元二次方程, 當(dāng)是, 方程的根為: 當(dāng)時(shí), 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等; 當(dāng)時(shí), 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等, 寫(xiě)為; 當(dāng)時(shí), 方程無(wú)實(shí)數(shù)根． 公式法的一般步驟: ①把一元二次方程化為一般形式; ②確定的值; ③代入中計(jì)算其值, 判斷方程是否有實(shí)數(shù)根; ④若則代入求根公式求值, 否則, 原方程無(wú)實(shí)數(shù)根. 注意: 求根公式適用于任何一個(gè)有實(shí)根一元二次方程, 因此, 公式法是解一元二次方程的通法（使用時(shí)要先將方程化為一般式）, 但它不一定是解決具體問(wèn)題時(shí)的最簡(jiǎn)單的方法. 另外, 求根公式也反映處了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系. （4）因式分解法 ① 因式分解法解一元二次方程的依據(jù): 如果兩個(gè)因式的積等于0, 那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)的值為0; ② 因式分解法的一般步驟: 將方程化為一元二次方程的一般形式; 把方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積, 右邊等于0; 令每一個(gè)因式都為零, 得到兩個(gè)一元一次方程; 解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解. 注意: 因式分解的方法也可以幫助我們達(dá)到降次的目的. 對(duì)于系數(shù)是無(wú)理數(shù)或含字母系數(shù)的一元二次方程, 應(yīng)首先考慮選用因式分解法求解, 往往較為簡(jiǎn)便. 5. 對(duì)于含有字母系數(shù)的一元二次方程 注意: 方程類(lèi)型的確定和必要時(shí)對(duì)系數(shù)的分情況討論. 例4. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠? ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 例5. 解關(guān)于x的方程： ① ② ③ ④ ⑤ 例6. 用配方法解下列方程： ① ② （三）會(huì)用一元二次方程根的判別式判斷根的情況 1. 了解一元二次方程根的判別式概念, 會(huì)用判別式判定根的情況, 能利用根的判別式說(shuō)明含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數(shù)的取值范圍（1）= （2）對(duì)于一元二次方程（） ①當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根; 當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根; 當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根; ②當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根． 2. 常見(jiàn)的題型 （1）不解方程, 利用一元二次方程根的判別式, 判別一元二次方程根的情況; 例7. 不解方程, 判斷下列關(guān)于x的方程的根的情況: ① ② （2）已知一元二次方程的根的情況, 由根的判別式確定字母的取值范圍; 例8. 若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 求k的取值范圍 （3）應(yīng)用判別式, 證明一元二次方程根的情況 ①先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）; ②用配方法將判別式恒等變形; ③判斷判別式的符號(hào); ④總結(jié)出結(jié)論. 例9. 已知a,b,c為實(shí)數(shù). 求證: 關(guān)于x的方程(x–a)(x–b)+(x–b)(x–c)+(x–c)(x–a)=0恒有實(shí)數(shù)根. （4）分類(lèi)討論思想的應(yīng)用: 如果方程給出時(shí)未指明是二次方程, 后面也未指明方程有兩個(gè)根時(shí), 需要對(duì)方程進(jìn)行分類(lèi)討論, 如果二次項(xiàng)系數(shù)為0, 方程可能是一元一次方程; 如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0, 方程是一元二次方程, 可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根. 例10. 已知關(guān)于x的方程: , 在下列情況下, 分別求m的取值范圍: ① 方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根; ② 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根; ③ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識(shí)綜合命題, 解答時(shí)要在全面分析的前提下, 注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧. 例11. 已知: 關(guān)于x的方程 (a+c)x2+2bx–a+c=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. 問(wèn)正數(shù)a,b,c是否可以作為一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)? 如果可以, 是什么形狀的三角形? （6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合. 例12. 當(dāng)k是什么整數(shù)時(shí), 方程(k2–1)x2–6(3k–1)x+72=0有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根 （7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題. 另外, 一元二次方程根的判別式對(duì)于日后學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象與橫軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)也有很好的鋪墊作用. （四）會(huì)運(yùn)用一元二次方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 1. 數(shù)字問(wèn)題: 解答這類(lèi)問(wèn)題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù), 奇偶數(shù), 連續(xù)整數(shù)等形式. 2. 幾何問(wèn)題: 這類(lèi)問(wèn)題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來(lái)尋找等量關(guān)系, 構(gòu)建方程, 對(duì)結(jié)果要結(jié)合幾何知識(shí)檢驗(yàn). 3. 增長(zhǎng)率問(wèn)題: 在此類(lèi)問(wèn)題中, 一般有變化前的基數(shù)（）, 增長(zhǎng)（下降）率（）, 變化的次數(shù)（）, 變化后的結(jié)果（）, 這四者之間的關(guān)系可以用公式表示. 一般采用直接開(kāi)平方法求根, 結(jié)果一般要符合的要求. 4. “握手問(wèn)題”是一種常見(jiàn)的題型, 建議歸納這種方程的模型, 幫助學(xué)生識(shí)別. 5. 面積問(wèn)題要合理設(shè)未知數(shù), 方程模型為, 一般采取因式分解法或公式法求解, 結(jié)果要同時(shí)符合、兩個(gè)要求. 6. 其它實(shí)際問(wèn)題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義, 若不符合實(shí)際意義, 則舍去）. 八. 適當(dāng)補(bǔ)充一些問(wèn)題 （一）目前的課程標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有將一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）列為必學(xué)內(nèi)容, 考慮到部分學(xué)有余力的學(xué)生可以適當(dāng)擴(kuò)充. 定理的前提條件是: 二次項(xiàng)系數(shù). 例13. 根與系數(shù)關(guān)系補(bǔ)充內(nèi)容 ① 已知x1、x2是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 則 ② 已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根是 -2, 求它的另一個(gè)根 a 和 k 的值 ③ 已知x1、x2是方程 的兩個(gè)根, 求下列代數(shù)式的值: ; ; ; ④ 已知關(guān)于x的方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 a 和 b, 且有 a2 - ab + b2 = 12, 求a的值 ⑤ 在等腰△ABC中, 三邊分別為a、b、c, 已知 a = 3, 且b和c是關(guān)于x的方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 求△ABC的周長(zhǎng) （二）可化為一元二次方程的簡(jiǎn)單的分式方程 例14. 解下列方程: ① ② 九. 幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題 本章的主要內(nèi)容包括一元二次方程的基本概念、基本解法、應(yīng)用舉例等, 這些都是重要的基礎(chǔ)知識(shí), 打好基礎(chǔ)很重要, 因此教學(xué)中應(yīng)注意使學(xué)生切實(shí)掌握它們. 此外, 本章教學(xué)應(yīng)特別關(guān)注以下問(wèn)題. （一）教學(xué)中應(yīng)重視聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題, 加強(qiáng)對(duì)于數(shù)學(xué)建模思想的滲透 在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中, 應(yīng)重視相關(guān)內(nèi)容與實(shí)際的聯(lián)系, 可以選擇一些適合一元二次方程內(nèi)容而又接近本班學(xué)生生活的實(shí)際問(wèn)題, 結(jié)合這些問(wèn)題展開(kāi)教學(xué)的內(nèi)容. 對(duì)于把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有關(guān)一元二次方程的問(wèn)題, 關(guān)鍵是弄清實(shí)際問(wèn)題的背景, 找出實(shí)際問(wèn)題中相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系, 并把這樣的關(guān)系 “翻譯”為一元二次方程. 這里需要指出, 正確地理解實(shí)際問(wèn)題情境是完成這一工作的基礎(chǔ). （二）教學(xué)中應(yīng)結(jié)合一元二次方程的特點(diǎn), 從說(shuō)理的角度討論方程的解法 本章所討論的對(duì)象是一元二次方程, 它的特殊性是其未知數(shù)為二次, 這是前所未見(jiàn)的. 將面臨的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會(huì)解的老問(wèn)題, 是解決問(wèn)題的基本思路. 正因如此, 將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程, 即“降次”, 成為解一元二次方程的基本策略. 這也是化歸思想在解一元二次方程時(shí)的具體體現(xiàn). 教學(xué)中應(yīng)反復(fù)指出學(xué)習(xí)一元二次方程的解法時(shí)要了解以下兩點(diǎn): 1. 用配方法、因式分解法等解一元二次方程時(shí), 要通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃蜗仁狗匠剔D(zhuǎn)化為一元一次方程, 也就是使未知數(shù)從二次變?yōu)橐淮? 一元二次方程的降次變形, 是由一個(gè)二次方程得到兩個(gè)一次方程, 因此一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)根. . 2. 配方法是公式法的基礎(chǔ), 通過(guò)配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式, 它省略了具體的配方過(guò)程. 十. 本章滲透的數(shù)學(xué)思想與方法 教學(xué)中要讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程, 通過(guò)學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng), 逐步認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì), 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法．本章涉及的重要數(shù)學(xué)思想方法較多, 如化歸思想、建模思想、配方法、換元法、降次法等等. 1．化歸思想 解方程中的化歸思想, 即逐步使方程變形為x=a的形式, 是解方程的基本指導(dǎo)思想, 它對(duì)各種方程都適用. 2．降次法 解二次（高次）方程的主要思想是降次, 配方法可以看作是開(kāi)方降次, 因式分解法可以看作是分解降次, 它們的共同目的是將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程, 進(jìn)而求出方程的根．降次還有著廣泛的應(yīng)用. 3．換元法 學(xué)生在本章中接觸換元法, 這一方法在后續(xù)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用．用換元法解方程應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的特征, 方程中的未知數(shù)包含在相同的代數(shù)式中可以考慮設(shè)輔助未知數(shù)進(jìn)行“換元”．本章中還有一類(lèi)題目只是把一個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)字母而不引進(jìn)輔助未知數(shù), 這是“換元法”思想的靈活運(yùn)用, 這一點(diǎn)應(yīng)適當(dāng)向?qū)W生說(shuō)明. 4．配方法和對(duì)稱(chēng)思想 配方法是代數(shù)式恒等變形中的一個(gè)重要方法, 學(xué)生已經(jīng)在學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)接觸過(guò), 本章應(yīng)用配方法直接解方程, 進(jìn)一步推出求根公式, 更說(shuō)明了其重要作用．配方法還可以靈活使用, 用來(lái)求代數(shù)式的值. 補(bǔ)充習(xí)題:（僅供參考） 一、選擇題 1. 下列說(shuō)法中, 正確命題有（ C ） ①一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等 ②數(shù)據(jù)5，2，7，1，2，4的中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 ③等腰梯形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形 ④Rt△ABC中，∠C=90°，兩直角邊a，b分別是方程x2－7x＋7=0的兩個(gè)根，則AB邊上的中線長(zhǎng)為 A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 2. 關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，且有，則的值是（ B ） A．1　　B．－1　　　C．1或－1　　　D．　2　 3. 一元二次方程根的情況是（ A ） A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 4. 某商品原售價(jià)289元,經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元,設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,則下面所列方程中正確的是( A ) A. B. C. 289(1-2x)=256 D. 256(1-2x)=289 5. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是（D） A． B． C． D．或 6. 方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（ D ） A．2 B.3 C. －1，2 D. －1，3 7. 一元二次方程的解是（　C 　） A. B. C. 或 D. 或 8. 若一元二次方程式 的兩根為0、2，則 之值為何？B A．2 　　　B．5 　　　C．7　　　 D． 8 9. 如圖(十三)，將長(zhǎng)方形ABCD分割成1個(gè)灰色長(zhǎng)方形與148個(gè)面積相等的小正方形。根據(jù)右圖，若灰色長(zhǎng)方形之長(zhǎng)與寬的比為5：3，則：＝？D A．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：29 10．關(guān)于方程式的兩根，下列判斷何者正確？A A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于－2，另一根大于2 C．兩根都小于0 D．兩根都大于2 11. 已知x=1是方程x2+bx-2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（ C ） A.1 B.2 C.-2 D.-1 12. 已知一元二次方程x2－4x+3=0兩根為x1、x2, 則x1·x2=（　B?。? A. 4 B. 3 C. －4 D. －3 13. 下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ C ） A． B． C． D． 14. 用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（ C ） A． B． C． D． 15. 下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（ D ） A. 方程x＋=－2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 方程x＋=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C. 方程x＋=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D. 方程x＋=a（其中a為常數(shù)，且|a|>2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 16. 一元二次方程x2=2x的根是 （ C ） A．x=2 B．x=0 C．x1=0, x2=2 D．x1=0, x2=－2 17. 已知關(guān)于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一個(gè)根是－a(a≠0)，則a－b的值為（ A ） A．－１ B．0 C．1 D．2 18. 關(guān)于x的方程的根的情況描述正確的是（ B ） A . k 為任何實(shí)數(shù)，方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B . k 為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C . k 為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D. 根據(jù) k 的取值不同，方程根的情況分為沒(méi)有實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根三種 19. 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列關(guān)于判別式 的判斷正確的是（ C ） A. B. C. D. 20．已知關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是( C ) A.a<2 B,a>2 C.a<2且a≠1 D.a<－2· 21. 已知x=1是方程x2+bx-2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（ C ） A.1 B.2 C.-2 D.-1 22. 已知3是關(guān)于x的方程x2－5x＋c＝0的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是（ B ） A. －2 B. 2 C. 5 D. 6 23. 若x1,x2(x1 ＜x2)是方程(x -a)(x-b) = 1(a < b)的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)x1,x2,a,b的大小關(guān)系為（B） A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a(chǎn)＜x1＜b＜x2 24. 某品牌服裝原價(jià)173元，連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)價(jià)為127元，下面所列方程中正確的是（ C ） A． B． C． D． 25. 若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3=0的兩個(gè)根，則x1x2的值是( B ) A．4． ?B．3．? C．－4．? D．－3． 26.設(shè)一元二次方程（x-1）（x-2）=m(m>0)的兩實(shí)根分別為α，β，則α，β滿足( D ) A. 1<α<β<2 B. 1<α<2 <β C. α<1<β<2 D.α<1且β>2 27. 一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（ D ） A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2 28. 一元二次方程的兩根分別為（ D ） A. 3, －5 B. －3，－5 C. －3,5 D.3，5 29. 一元二次方程的解是（　C ?。? A. B. C. 或 D. 或 二、填空題 1. 某公司4月份的利潤(rùn)為160萬(wàn)元，要使6月份的利潤(rùn)達(dá)到250萬(wàn)元，則平均每月增長(zhǎng)的百分率是___25%____ 2. 若x=2是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則a 的值為_(kāi)_____. 3. 若，是方程的兩個(gè)根，則=____3______． 4. 方程2x2+5x-3=0的解是 x1= -3,x2= 5. 方程的解為 6. 一元二次方程的解是 或 7. 關(guān)于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則方程的解是 x1=－4，x2=－1 。 8. 孔明同學(xué)在解一元二次方程x2-3x+c=0時(shí)，正確解得x1=1，x2=2，則c的值為 2 ． 9. 已知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式（a－b）（a＋b－2）＋ab的值等于____-1____. 10．已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根為2,則m=__1___,另一根是__-3_____. 11. 已知一元二次方程的兩根為a、b，則的值是____________． 12. 某城市居民最低生活保障在2009年是240元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩年的增加，到2011年提高到元，則該城市兩年來(lái)最低生活保障的平均年增長(zhǎng)率是_____20%__________． 13. 一元二次方程x2-4=0的解是 ±2 . 14. 如果關(guān)于x的方程（m為常數(shù)）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，那么m＝__1____． 15. 某小區(qū)2011年屋頂綠化面積為2000平方米，計(jì)劃2012年屋頂綠化面積要達(dá)到2880平方米．如果每年屋頂綠化面積的增長(zhǎng)率相同，那么這個(gè)增長(zhǎng)率是___20%______． 16. 如圖，鄰邊不等的矩形花圃ABCD，它的一邊AD利用已有的圍墻，另外三邊所圍的柵欄的總長(zhǎng)度是6m．若矩形的面積為4m2，則AB的 長(zhǎng)度是 1 m（可利用的圍墻長(zhǎng)度超過(guò)6m）． 三、解答題 1. 如圖，用兩段等長(zhǎng)的鐵絲恰好可以分別圍成一個(gè)正五邊形和一個(gè)正六邊形，其中正五邊形的邊長(zhǎng)為（）cm，正六邊形的邊長(zhǎng)為（）cm.求這兩段鐵絲的總長(zhǎng). 【答案】這兩段鐵絲的總長(zhǎng)為420cm. 2. 為落實(shí)國(guó)務(wù)院房地產(chǎn)調(diào)控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建設(shè)力度．2011年市政府共投資2億元人民幣建設(shè)了廉租房8萬(wàn)平方米，預(yù)計(jì)到2012年底三年共累計(jì)投資9.5億元人民幣建設(shè)廉租房，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長(zhǎng)率相同． (1)求每年市政府投資的增長(zhǎng)率； (2)若這兩年內(nèi)的建設(shè)成本不變，求到2012年底共建設(shè)了多少萬(wàn)平方米廉租房． 【答案】（1）市政府投資的增長(zhǎng)率為50%； （2）到2012年底共建廉租房面積38（萬(wàn)平方米）． 3. 關(guān)于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實(shí)數(shù)解是x1和x2。 （1）求k的取值范圍； （2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k為整數(shù)，求k的值。 【答案】（1）K的取值范圍是k≤0 （2）k的值為-1和0. 4. 某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每盆的盈利于每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系.每盆植入3株時(shí)，平均單株盈利3圓；以同樣的栽培條件，若每盆沒(méi)增加1株，平均單株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植多少株？ 小明的解法如下： 解：設(shè)每盆花苗增加株，則每盆花苗有株，平均單株盈利為元，由題意，得. 化簡(jiǎn)，整理，的. 解這個(gè)方程，得 答：要使得每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植入4株或5株. 本題涉及的主要數(shù)量有每盆花苗株數(shù)，平均單株盈利，每盆花苗的盈利等，請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)不同的等量關(guān)系： 請(qǐng)用一種與小明不相同的方法求解上述問(wèn)題。 【答案】（1）平均單株盈利株數(shù)=每盆盈利; 平均單株盈利=每盆增加的株數(shù); 每盆的株數(shù)=3+每盆增加的株數(shù) （2）要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植入4株或5株。 5. 商場(chǎng)某種商品平均每天可銷(xiāo)售30件，每件盈利50元. 為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出 2件．設(shè)每件商品降價(jià)x元. 據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答： （1）商場(chǎng)日銷(xiāo)售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代數(shù)式表示）； （2）在上述條件不變、銷(xiāo)售正常情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元？ 【答案】（1） 2x 50－x （2）每件商品降價(jià)20元，商場(chǎng)日盈利可達(dá)2100元. 6. 已知|a-1|+=0，求方程+bx=1的解. 【答案】x1=-1，x2=. 7. 解方程： 【答案】x＝2或x＝－1 8. 廣安市某樓盤(pán)準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價(jià)對(duì)外銷(xiāo)售，由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購(gòu)房者持幣觀望，房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)兩次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價(jià)開(kāi)盤(pán)銷(xiāo)售。 （1）求平均每次下調(diào)的百分率。 （2）某人準(zhǔn)備以開(kāi)盤(pán)價(jià)均價(jià)購(gòu)買(mǎi)一套100平方米的住房，開(kāi)發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷(xiāo)售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米80元，試問(wèn)哪種方案更優(yōu)惠？ 【答案】（1）平均每次下調(diào)的百分率10 （2）方案①更優(yōu)惠 9. 解方程x2－4x＋1=0 【答案】，． 10．已知關(guān)于x的方程的兩根為、，且滿足.求的值。 【答案】2 11. 解方程：x2 + 4x ? 2 = 0； 【答案】x = ?2 ±． 12.解方程：x2＋3x＋1=0． 【答案】?x1=－3＋?，x2=－3－ 13. 汽車(chē)產(chǎn)業(yè)是我市支柱產(chǎn)業(yè)之一，產(chǎn)量和效益逐年增加.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2008年我市某種品牌汽車(chē)的年產(chǎn)量為6.4萬(wàn)輛，到2010年，該品牌汽車(chē)的年產(chǎn)量達(dá)到10萬(wàn)輛.若該品牌汽車(chē)年產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率從2008年開(kāi)始五年內(nèi)保持不變，則該品牌汽車(chē)2011年的年產(chǎn)量為多少萬(wàn)輛？ 【答案】2011年的年產(chǎn)量為12.5萬(wàn)輛. 14. 隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高及汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展，汽車(chē)已越來(lái)越多的進(jìn)入普通家庭，成為居民消費(fèi)新的增長(zhǎng)點(diǎn)。據(jù)某市交通部門(mén)統(tǒng)計(jì)，2008年底全市汽車(chē)擁有量為15萬(wàn)輛，而截止到2010年底，全市的汽車(chē)擁有量已達(dá)21.6萬(wàn)輛。 (1) 求2008年底至2010年底該市汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率； (2) 為了保護(hù)環(huán)境，緩解汽車(chē)擁堵?tīng)顩r，從2011年起，該市交通部門(mén)擬控制汽車(chē)總量，要求到2012年底全市汽車(chē)擁有量不超過(guò)23.196萬(wàn)輛；另?yè)?jù)估計(jì)，該市從2011年起每年報(bào)廢的汽車(chē)數(shù)量是上年底汽車(chē)擁有量的10%。假定在這種情況下每年新增汽車(chē)數(shù)量相同，請(qǐng)你計(jì)算出該市每年新增汽車(chē)數(shù)量最多不能超過(guò)多少萬(wàn)輛。 【答案】（1）20% （2）該市每年新增汽車(chē)數(shù)量最多不能超過(guò)3萬(wàn)輛。 15. 某商店以6元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某干果1140千克,并對(duì)其起先篩選分成甲級(jí)干果與乙級(jí)干果后同時(shí)開(kāi)始銷(xiāo)售,這批干果銷(xiāo)售結(jié)束后,店主從銷(xiāo)售統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn):甲級(jí)干果與乙級(jí)干果在銷(xiāo)售過(guò)程中每都有銷(xiāo)售量,且在同一天賣(mài)完;甲級(jí)干果從開(kāi)始銷(xiāo)售至銷(xiāo)售的第x天的總銷(xiāo)售量(千克)與x的關(guān)系為;乙級(jí)干果從開(kāi)始銷(xiāo)售至銷(xiāo)售的第t天的總銷(xiāo)售量(千克)與t的關(guān)系為,且乙級(jí)干果的前三天的銷(xiāo)售量的情況見(jiàn)下表: t 1 2 3 21 44 69 (1)求a、b的值. (2)若甲級(jí)干果與乙級(jí)干果分別以元/千克和6元/千克的零售價(jià)出售,則賣(mài)完這批干果獲得的毛利潤(rùn)為多少元? (3)此人第幾天起乙級(jí)干果每天的銷(xiāo)售量比甲級(jí)干果每天的銷(xiāo)售量至少多千克?(說(shuō)明:毛利潤(rùn)=銷(xiāo)售總金額-進(jìn)貨總金額.這批干果進(jìn)貨至賣(mài)完的過(guò)程中的損耗忽略不計(jì).) 【答案】：（1）a=1,b=20. (2) 7. 16. 某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品共10件，其生產(chǎn)成本和利潤(rùn)如下表： A種產(chǎn)品 B種產(chǎn)品 成本（萬(wàn)元/件） 2 5 利潤(rùn)（萬(wàn)元/件） 1 3 （1）若工廠計(jì)劃獲利14萬(wàn)元，問(wèn)A,B兩種產(chǎn)品應(yīng)分別生產(chǎn)多少件？ （2）若工廠計(jì)劃投入資金不多于44萬(wàn)元，且獲利多于14萬(wàn)元，問(wèn)工廠有哪幾種生產(chǎn)方案？ （3）在（2）的條件下，哪種生產(chǎn)方案獲利最大？并求出最大利潤(rùn)． 【答案】（1）生產(chǎn)A種產(chǎn)品8件，B種產(chǎn)品2件； （2）可以采用的方案有： 共6種方案； （3）當(dāng)時(shí)可獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)為萬(wàn)元。 17. 已知關(guān)于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2. （1）求k的取值范圍； （2）若，求k的值. 【答案】（1）. （2）k=﹣3. 18. 隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，尹進(jìn)所在的公司每年都在元月一次性的提高員工當(dāng)年的月工資.尹進(jìn)2008 年的月工資為2000 元，在2010 年時(shí)他的月工資增加到2420 元，他2011年的月工資按2008 到2010 年的月工資的平均增長(zhǎng)率繼續(xù)增長(zhǎng). (1)尹進(jìn)2o11年的月工資為多少? (2)尹進(jìn)看了甲、乙兩種工具書(shū)的單價(jià)，認(rèn)為用自己2011年6 月份的月工資剛好購(gòu)買(mǎi)若干本甲種工具書(shū)和一些乙種工具書(shū)，當(dāng)他拿著選定的這些工具書(shū)去付書(shū)款時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己計(jì)算書(shū)款時(shí)把這兩種工具書(shū)的單價(jià)弄對(duì)換了，故實(shí)際付款比2o11年6月份的月工資少了242 元，于是他用這242 元又購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種工具書(shū)各一本，并把購(gòu)買(mǎi)的這兩種工具書(shū)全部捐獻(xiàn)給西部山區(qū)的學(xué)校.請(qǐng)問(wèn)，尹進(jìn)總共捐獻(xiàn)了多少本工具書(shū)? 【答案】（1）尹進(jìn)2011年的月工資為2662元.? （2）尹進(jìn)捐出的這兩種工具書(shū)總共有23本. 19. 已知x1，x2 是關(guān)于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根． （1）求x1，x2 的值； （2）若x1，x2 是某直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)，問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)m，p滿足什么條件時(shí)，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值． 【答案】（1） x1 = p， x2 = m + 2－p． （2）當(dāng)且m＞－2時(shí)，以x1，x2為兩直角邊長(zhǎng)的直角三角形的面積最大，最大面積為或． 20. 閱讀材料： 如果，是一元二次方程的兩根，那么有. 這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，我們利用它可以用來(lái)解題，例是方程 的兩根，求的值.解法可以這樣： 則. 請(qǐng)你根據(jù)以上解法解答下題： 已知是方程的兩根，求： （1）的值； （2）的值. 第26頁(yè), 共26頁(yè)