圓錐曲線中的范圍問題.doc
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解析幾何中的參數(shù)取值范圍問題 例1:選題意圖:利用三角形中的公理構(gòu)建不等式 x y 設分別是橢圓的左、右焦點,若在直線上存在點P,使線段的中垂線過點,求橢圓離心率的取值范圍. 解法一:設P,F(xiàn)1P的中點Q的坐標為,則kF1P=,kQF2=. 由kF1P·kQF2=-1, 得y2=. 因為y2≥0,但注意b2+2c2≠0, 所以2c2-b2>0,即3c2-a2>0. 即e2>.故<e<1. 當b2-2c2=0時,y=0,此時kQF2不存在,此時F2為中點,-c=2c,得e=.綜上得,≤e<1. 解法二:設準線與x軸的交點為Q,連結(jié)PF2, ∵PF1的中垂線過點F2, ∴|F1F2|=|PF2|,可得|PF2|=2c, 且|PF2|≥|QF2|, 例2:選題意圖:利用橢圓自身范圍構(gòu)建不等式 x y P G 設分別是橢圓的左、右焦點,是橢圓上的點,且到右準線的距離為,若,求橢圓離心率的取值范圍. 例3:選題意圖:利用函數(shù)關系構(gòu)建不等式 已知橢圓:的兩個焦點分別為,斜率為的直線過左焦點F1且與橢圓的交點為A、B,與軸交點為C,若B為線段CF1的中點,若,求橢圓離心率e的取值范圍. 解:,焦點F1(-c,0).∴直線L:y=k(x+c).===>點C(0,kc),再由中點公式得B(-c/2,kc/2).又因點B在橢圓上,∴[c2/(4a2)]+[k2c2/(4b2)]=1.整理可得:k2=(a2-c2)(4a2-c2)/(a2c2)≥7/2.===>(a2-2c2)(8a2-c2)≥0.===>a2≥2c2.===>0<e≤(√2)/2. 例4、已知橢圓的左右焦點分別為,若橢圓上存在點P使,求該橢圓的離心率的取值范圍. 要求離心率的取值范圍,要求我們能找到一個關于離心率或的不等關系,我們從唯一的已知等式入手,在中有,因此有,是橢圓上的點到焦點的距離,于是想到焦半徑公式,設,則,,從而有。根據(jù)題意,,因此不等關系就是,即,解得,又橢圓中,故。 例5、橢圓與直線交于兩點,且,其中為坐標原點. (1)求的值; (2)若橢圓的離心率滿足,求橢圓長軸的取值范圍. 解析:(1)設?? 由得……………………………2分 又,故 由韋達定理得??………………………………….4分 (2)?????? ………………………………………. ????…………………………又,故.……………………………….12分 例6、設是橢圓上的不同兩點,點,且滿足,若,求直線的斜率的取值范圍. (1)由已知得,所以橢圓的方程為? ………4分 (2)∵,∴三點共線,而,且直線的斜率一定存在,所以設的方程為,與橢圓的方程聯(lián)立得 ???????????????????????????? 由,得.????????????????????…………………6分 設,???????????① 又由得:????∴??????????②. 將②式代入①式得: ??? 消去得:????????????????…………………9分 當時,?是減函數(shù),?, ∴,解得, 又因為,所以,即或 ∴直線AB的斜率的取值范圍是???? …………12分 例7、已知等腰形ABCD中,,點在有向量上,且,雙曲線過三點,且以為焦點,當時,求雙曲線的離心率的取值范圍. 如圖建系:設雙曲線方程為:? 則B(c,0), C(,A(-c,0) ,代入雙曲線方程得: ,? 例8、已知圓是圓上一動點,的垂直平分線交于點,設點的軌跡為. (1) 求軌跡的方程; (2) 過點的直線交軌跡于兩個不同的點,的面積,若弦的中點為,求直線斜率的取值范圍. 解:(1)由題意, 所以軌跡E是以A,C為焦點,長軸長為4的橢圓,…(2分) 即軌跡E的方程為.…(4分) (2)解:記A(x1,y1),B(x2,y2), 由題意,直線AB的斜率不可能為0, 故可設AB:x=my+1, 由,消x得:(4+m2)y2+2my-3=0, 所以…(7分) .…(9分) 由,解得m2=1,即m=±1.…(10分) 故直線AB的方程為x=±y+1, 即x+y-1=0或x-y-1=0為所求.…(12分) 例10、已知橢圓的左頂點和上頂點分別為,設是橢圓上的兩個不同點,,直線與軸、軸分別交于兩點,且,求的取值范圍. 取值范圍問題的求解策略: 1、總方針:充分利用已知條件構(gòu)建不等式 2、具體方法: ①利用三角形中的公理構(gòu)建不等式 ②利用圓錐曲線自身范圍構(gòu)建不等式 ③利用函數(shù)關系構(gòu)建不等式 ④利用構(gòu)建不等式 解析幾何中的定值問題 1.已知橢圓:的焦點為,P是橢圓上任意一點,若以坐標原點為圓心,橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點,且的周長為. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)設直線的方程是圓O:上動點處的切線,與橢圓交于不同的兩點,,證明:的大小為定值. 2.(2012湖北七市聯(lián)考)已知橢圓長軸上有一頂點到兩個焦點之間的距離分別為:. (1)求橢圓的方程; (2)如果直線與橢圓相交于A,B,若,證明直線CA與直線 BD的交點K必在一條確定的雙曲線上; (3)過點作直線l(與軸不垂直)與橢圓交于M,N兩點,與軸交于點R,若,求證:為定值. 3.橢圓的中心為原點,離心率,一條準線的方程為. (Ⅰ)求該橢圓的標準方程; (Ⅱ)設動點滿足,其中是橢圓上的點,直線與的斜率之積為.問:是否存在兩個定點,使得為定值.若存在,求的坐標;若不存在,說明理由. 4. 在平面直角坐標系中,過定點作直線與拋物線相交于兩點.是否存在垂直于軸的定直線,使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出的方程;若不存在,說明理由. 5. 已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,長軸長為,離心率為,經(jīng)過其左焦點的直線交橢圓于、兩點。(1)求橢圓的方徎;(2)在軸上是否存在一點,使得·恒為常數(shù)?若存在,求出點的坐標和這個常數(shù);若不存在,說明理由。 6. 已知橢圓的右焦點為,點在橢圓上. (1)求橢圓方程; (2)點在圓上,在第一象限,過作圓的切線交橢圓于兩點,問是否為定值?如果是,求出定值;如果不是,請說明理由.- 配套講稿:
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- 圓錐曲線 中的 范圍 問題
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