排列組合基本知識(shí).doc
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基本知識(shí) 排列與元素的順序有關(guān),組合與順序無關(guān).如231與213是兩個(gè)排列,2+3+1的和與2+1+3的和是一個(gè)組合. (一)兩個(gè)基本原理是排列和組合的基礎(chǔ) (1)加法原理:做一件事,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法. (2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n個(gè)步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法. 這里要注意區(qū)分兩個(gè)原理,要做一件事,完成它若是有n類辦法,是分類問題,第一類中的方法都是獨(dú)立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n個(gè)步驟,步與步之間是連續(xù)的,只有將分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟,依次相繼完成,這件事才算完成,因此用乘法原理. 這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的,因此也將兩個(gè)原理區(qū)分開來. (二)排列和排列數(shù) (1)排列:從n個(gè)不同元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從排列的意義可知,如果兩個(gè)排列相同,不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同,而且排列的順序必須完全相同,這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€(gè)排列是否相同的方法. (2)排列數(shù)公式:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列 ,當(dāng)m=n時(shí),為全排列Pnn=n(n-1)(n-1)…3·2·1=n! (三)組合和組合數(shù) (1)組合:從n個(gè)不同元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組,叫做從 n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合. 從組合的定義知,如果兩個(gè)組合中的元素完全相同,不管元素的順序如何,都是相同的組合;只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí),才是不同的組合. (2)組合數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè) 這里要注意排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系,從n個(gè)不同元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素,“按照一定的順序排成一列”與“不管怎樣的順序并成一組”這是有本質(zhì)區(qū)別的. 一、排列組合部分是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一,原因在于 (1)從千差萬別的實(shí)際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型,需要較強(qiáng)的抽象思維能力 (2)限制條件有時(shí)比較隱晦,需要我們對(duì)問題中的關(guān)鍵性詞(特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞)準(zhǔn)確理解; (3)計(jì)算手段簡單,與舊知識(shí)聯(lián)系少,但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的思維量較大; (4)計(jì)算方案是否正確,往往不可用直觀方法來檢驗(yàn),要求我們搞清概念、原理,并具有較強(qiáng)的分析能力。 二、兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用 (1)加法原理和分類計(jì)數(shù)法 1.加法原理 2.加法原理的集合形式 3.分類的要求 每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù);兩類不同辦法中的具體方法,互不相同(即分類不重);完成此任務(wù)的任何一種方法,都屬于某一類(即分類不漏) (2)乘法原理和分步計(jì)數(shù)法 1.乘法原理 2.合理分步的要求 任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù),必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù);各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立;只要有一步中所采取的方法不同,則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同 [例題分析]排列組合思維方法選講 1.首先明確任務(wù)的意義 例1. 從1、2、3、……、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列,這樣的不同等差數(shù)列有________個(gè)。 分析:首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問題。 設(shè)a,b,c成等差,∴ 2b=a+c, 可知b由a,c決定, 又∵ 2b是偶數(shù),∴ a,c同奇或同偶,即:從1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列,由此就可確定等差數(shù)列,因而本題為2=180。 例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道,街道之間的間距相同,如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn),則從M到N有多少種不同的走法? 分析:對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入 (一)從M到N必須向上走三步,向右走五步,共走八步。 (二)每一步是向上還是向右,決定了不同的走法。 (三)事實(shí)上,當(dāng)把向上的步驟決定后,剩下的步驟只能向右。 從而,任務(wù)可敘述為:從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走,就可以確定走法數(shù), ∴ 本題答案為:=56。 2.注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn),分析是分類還是分步,是排列還是組合 例3.在一塊并排的10壟田地中,選擇二壟分別種植A,B兩種作物,每種種植一壟,為有利于作物生長,要求A,B兩種作物的間隔不少于6壟,不同的選法共有______種。 分析:條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù),組合數(shù)的式子表示,因而采取分類的方法。 第一類:A在第一壟,B有3種選擇; 第二類:A在第二壟,B有2種選擇; 第三類:A在第三壟,B有一種選擇, 同理A、B位置互換 ,共12種。 例4.從6雙不同顏色的手套中任取4只,其中恰好有一雙同色的取法有________。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析:顯然本題應(yīng)分步解決。 (一)從6雙中選出一雙同色的手套,有種方法; (二)從剩下的十只手套中任選一只,有種方法。 (三)從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只,有種方法; (四)由于選取與順序無關(guān),因而(二)(三)中的選法重復(fù)一次,因而共240種。 例5.身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列,在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮,則所有不同的排法種數(shù)為_______。 分析:每一縱列中的兩人只要選定,則他們只有一種站位方法,因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系,共有三縱列,從而有=90種。 例6.在11名工人中,有5人只能當(dāng)鉗工,4人只能當(dāng)車工,另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?,F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工,4人當(dāng)車工,問共有多少種不同的選法? 分析:采用加法原理首先要做到分類不重不漏,如何做到這一點(diǎn)?分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。 以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象,考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。 第一類:這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工,有種; 第二類:這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工,有種; 第三類:這兩人都不去當(dāng)鉗工,有種。 因而共有185種。 例7.現(xiàn)有印著0,l,3,5,7,9的六張卡片,如果允許9可以作6用,那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)? 分析:有同學(xué)認(rèn)為只要把0,l,3,5,7,9的排法數(shù)乘以2即為所求,但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9的話才可能用6替換,因而必須分類。 抽出的三數(shù)含0,含9,有種方法; 抽出的三數(shù)含0不含9,有種方法; 抽出的三數(shù)含9不含0,有種方法; 抽出的三數(shù)不含9也不含0,有種方法。 又因?yàn)閿?shù)字9可以當(dāng)6用,因此共有2×(+)++=144種方法。 例8.停車場(chǎng)劃一排12個(gè)停車位置,今有8輛車需要停放,要求空車位連在一起,不同的停車方法是________種。 分析:把空車位看成一個(gè)元素,和8輛車共九個(gè)元素排列,因而共有種停車方法。 3.特殊元素,優(yōu)先處理;特殊位置,優(yōu)先考慮 例9.六人站成一排,求 (1)甲不在排頭,乙不在排尾的排列數(shù) (2)甲不在排頭,乙不在排尾,且甲乙不相鄰的排法數(shù) 分析:(1)先考慮排頭,排尾,但這兩個(gè)要求相互有影響,因而考慮分類。 第一類:乙在排頭,有種站法。 第二類:乙不在排頭,當(dāng)然他也不能在排尾,有種站法, 共+種站法。 (2)第一類:甲在排尾,乙在排頭,有種方法。 第二類:甲在排尾,乙不在排頭,有種方法。 第三類:乙在排頭,甲不在排頭,有種方法。 第四類:甲不在排尾,乙不在排頭,有種方法。 共+2+=312種。 例10.對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試,至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測(cè)試方法有多少種可能? 分析:本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品,并且是最后一個(gè)次品,因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了,分步完成。 第一步:第五次測(cè)試的有種可能; 第二步:前四次有一件正品有中可能。 第三步:前四次有種可能。 ∴ 共有種可能。 4.捆綁與插空 例11. 8人排成一隊(duì) (1)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰 (3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4)甲乙必須相鄰,丙丁必須相鄰 (5)甲乙不相鄰,丙丁不相鄰 分析:(1)有種方法。 (2)有種方法。 (3)有種方法。 (4)有種方法。 (5)本題不能用插空法,不能連續(xù)進(jìn)行插空。 用間接解法:全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰,共--+=23040種方法。 例12. 某人射擊8槍,命中4槍,恰好有三槍連續(xù)命中,有多少種不同的情況? 分析:∵ 連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰,因而這是一個(gè)插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別,不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列,即。 例13. 馬路上有編號(hào)為l,2,3,……,10 十個(gè)路燈,為節(jié)約用電又看清路面,可以把其中的三只燈關(guān)掉,但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只,在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下,求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種? 分析:即關(guān)掉的燈不能相鄰,也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū)別,因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。 ∴ 共=20種方法。 5.間接計(jì)數(shù)法. (1)排除法 例14. 三行三列共九個(gè)點(diǎn),以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形? 分析:有些問題正面求解有一定困難,可以采用間接法。 所求問題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù), ∴ 共種。 例15.正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè),可組成多少個(gè)四面體? 分析:所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù), ∴ 共-12=70-12=58個(gè)。 例16. l,2,3,……,9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù),可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)? 分析:由于底數(shù)不能為1。 (1)當(dāng)1選上時(shí),1必為真數(shù),∴ 有一種情況。 (2)當(dāng)不選1時(shí),從2--9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù),真數(shù),共,其中l(wèi)og24=log39,log42=log93, log23=log49, log32=log94. 因而一共有53個(gè)。 (3)補(bǔ)上一個(gè)階段,轉(zhuǎn)化為熟悉的問題 例17. 六人排成一排,要求甲在乙的前面,(不一定相鄰),共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢? 分析:(一)實(shí)際上,甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱,具有相同的排法數(shù)。因而有=360種。 (二)先考慮六人全排列;其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位,因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種, ∴ 共=120種。 例18.5男4女排成一排,要求男生必須按從高到矮的順序,共有多少種不同的方法? 分析:首先不考慮男生的站位要求,共種;男生從左至右按從高到矮的順序,只有一種站法,因而上述站法重復(fù)了次。因而有=9×8×7×6=3024種。 若男生從右至左按從高到矮的順序,只有一種站法, 同理也有3024種,綜上,有6048種。 例19. 三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行,共有多少種不同的方法? 分析:先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同,共種方法。而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下,共有變化,因而共=20種。 6.擋板的使用 例20.10個(gè)名額分配到八個(gè)班,每班至少一個(gè)名額,問有多少種不同的分配方法? 分析:把10個(gè)名額看成十個(gè)元素,在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中,選出七個(gè)位置放置檔板,則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。 7.注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系: 所有的排列都可以看作是先取組合,再做全排列;同樣,組合如補(bǔ)充一個(gè)階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問題。 例21. 從0,l,2,……,9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字,3個(gè)奇數(shù)數(shù)字,可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)? 分析:先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。 (一)兩個(gè)選出的偶數(shù)含0,則有種。 (二)兩個(gè)選出的偶數(shù)字不含0,則有種。 例22. 電梯有7位乘客,在10層樓房的每一層停留,如果三位乘客從同一層出去,另外兩位在同一層出去,最后兩人各從不同的樓層出去,有多少種不同的下樓方法? 分析:(一)先把7位乘客分成3人,2人,一人,一人四組,有種。 (二)選擇10層中的四層下樓有種。 ∴ 共有種。 例23. 用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù), (1)可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)? (2)可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)? (3)可組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)? (4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列,問第85項(xiàng)是什么? 分析:(1)有個(gè)。 (2)分為兩類:0在末位,則有種:0不在末位,則有種。 ∴ 共+種。 (3)先把四個(gè)相加能被3整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來,即先選 0,1,2,3 0,1,3,5 0,2,3,4 0,3,4,5 1,2,4,5 它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除,再排列,有:4×()+=96種。 (4)首位為1的有=60個(gè)。 前兩位為20的有=12個(gè)。 前兩位為21的有=12個(gè)。 因而第85項(xiàng)是前兩位為23的最小數(shù),即為2301。 8.分組問題 例24. 6本不同的書 (1) 分給甲乙丙三人,每人兩本,有多少種不同的分法? (2) 分成三堆,每堆兩本,有多少種不同的分法? (3) 分成三堆,一堆一本,一堆兩本,一堆三本,有多少種不同的分法? (4) 甲一本,乙兩本,丙三本,有多少種不同的分法? (5) 分給甲乙丙三人,其中一人一本,一人兩本,第三人三本,有多少種不同的分法? 分析:(1)有中。 (2)即在(1)的基礎(chǔ)上除去順序,有種。 (3)有種。由于這是不平均分組,因而不包含順序。 (4)有種。同(3),原因是甲,乙,丙持有量確定。 (5)有種。 例25. 6人分乘兩輛不同的車,每車最多乘4人,則不同的乘車方法為_______。 分析:(一)考慮先把6人分成2人和4人,3人和3人各兩組。 第一類:平均分成3人一組,有種方法。 第二類:分成2人,4人各一組,有種方法。 (二)再考慮分別上兩輛不同的車。 綜合(一)(二),有種。 例26. 5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組參加活動(dòng),每個(gè)科技小組至少有一名學(xué)生參加,則分配方法共有________種. 分析:(一)先把5個(gè)學(xué)生分成二人,一人,一人,一人各一組。 其中涉及到平均分成四組,有=種分組方法。 (二)再考慮分配到四個(gè)不同的科技小組,有種, 由(一)(二)可知,共=240種。- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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