同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第二章_導(dǎo)數(shù)與微分.doc
《同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第二章_導(dǎo)數(shù)與微分.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第二章_導(dǎo)數(shù)與微分.doc(50頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第二篇 一元函數(shù)微積分 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 微積分學(xué)包含微分學(xué)和積分學(xué)兩部分,而導(dǎo)數(shù)和微分是微分學(xué)的核心概念.導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對(duì)于自變量的變化的快慢程度,微分則指明了當(dāng)自變量有微小變化時(shí),函數(shù)大體上變化了多少,即函數(shù)的局部改變量的估值.本章主要討論導(dǎo)數(shù)和微分的概念、性質(zhì)以及計(jì)算方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用. 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 1.1 導(dǎo)數(shù)概念的引入 1.1.1 質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題 現(xiàn)有一質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式記為,求在時(shí)刻時(shí)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為多少? 整體來(lái)說(shuō)速度是變化的,但局部來(lái)說(shuō)速度可以近似看成是不變的.設(shè)質(zhì)點(diǎn)從時(shí)刻改變到時(shí)刻,在時(shí)間增量?jī)?nèi),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為,在時(shí)間內(nèi)的平均速度為 , 當(dāng)時(shí)間增量越小時(shí),平均速度越接近于時(shí)刻的瞬時(shí)速度,于是當(dāng)時(shí),的極限就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度,即 . 1.1.2 平面曲線的切線斜率問(wèn)題 已知曲線,求曲線上點(diǎn)處的切線斜率. 欲求曲線上點(diǎn)的切線斜率,由切線為割線的極限位置,容易想到切線的斜率應(yīng)是割線斜率的極限. 圖2-1 如圖2-1所示,取曲線上另外一點(diǎn),則割線的斜率為 . 當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨于時(shí),即當(dāng)時(shí),的極限位置就是曲線在點(diǎn)的切線,此時(shí)割線的傾斜角趨于切線的傾斜角,故切線的斜率為 . 前面我們討論了瞬時(shí)速度和切線斜率兩個(gè)問(wèn)題,雖然實(shí)際意義不同,但如果舍棄其實(shí)際背景,從數(shù)學(xué)角度看,卻有著相同的數(shù)學(xué)形式,即當(dāng)自變量的改變量趨于零時(shí),求函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限.在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中,許多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為上述極限形式進(jìn)行研究,如電流強(qiáng)度、人口增長(zhǎng)速度、國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率、邊際成本和邊際利潤(rùn)等.因此,我們舍棄這些問(wèn)題的實(shí)際意義,抽象出它們數(shù)量關(guān)系上的共同本質(zhì)——導(dǎo)數(shù). 1.2 導(dǎo)數(shù)的概念 1.2.1 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,自變量在處取得增量,且時(shí),函數(shù)取得相應(yīng)的增量,如果極限 存在,那么稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),并稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),記作,即 . 注:(1)由導(dǎo)數(shù)的定義可得與其等價(jià)的定義形式 ; . (2)若極限不存在,則稱函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo).特別地,若,也可稱函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大,此時(shí)在點(diǎn)的切線存在,它是垂直于軸的直線. 例1 設(shè),求. 解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義,可得 . 例2 設(shè),求下列極限: (1); (2). 解 (1). (2) . 1.2.2 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)是由函數(shù)的極限來(lái)定義的,因?yàn)闃O限存在左、右極限,所以導(dǎo)數(shù)也存在左、右導(dǎo)數(shù)的定義. 定義2 (1)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某左鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在點(diǎn)左側(cè)取得增量時(shí),如果極限或存在,則稱此極限值為在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù),記為,即 . (2)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在點(diǎn)右側(cè)取得增量時(shí),如果極限或存在,則稱此極限值為在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù),記為,即 . 由極限存在的充要條件可得函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件如下: 定理1 函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)和存在且相等. 例3 研究函數(shù)在點(diǎn)的可導(dǎo)性. 解 因?yàn)?,所? , , 從而,因此在點(diǎn)不可導(dǎo). 1.2.3 導(dǎo)函數(shù) 定義3 (1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)均可導(dǎo),則稱在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo); (2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),在區(qū)間左端點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)和區(qū)間右端點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)均存在,則稱在閉區(qū)間上可導(dǎo). 定義4 若函數(shù)在區(qū)間(可以是開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間)上可導(dǎo),且對(duì)于任意的,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)導(dǎo)數(shù)值,其是自變量的新函數(shù),則稱為在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù),記作,即 或. 注:(1)在導(dǎo)函數(shù)的定義式中,雖然可以取區(qū)間上的任意值,但在求極限的過(guò)程中,是常數(shù),和是變量. (2)導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù),只要沒(méi)有指明是特定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時(shí)所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)都是指導(dǎo)函數(shù).顯然函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值,即. 下面利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 例4 求常值函數(shù)(為常數(shù))的導(dǎo)數(shù). 解 . 即得常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 例5求正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 . 即得正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 類似可得余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 例6求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 . 由于當(dāng)時(shí),,所以 . 即得指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 特別地, . 例7 求對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 . 即得對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 特別地, . 例8 求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 , 因?yàn)楫?dāng)時(shí),,從而,故 . 即得冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)時(shí),導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線斜率(圖2-1). 由此可得,曲線在處的切線方程為 . 若,可得切線的傾斜角為或,此時(shí)切線方程為. 當(dāng)時(shí),曲線在處的法線方程為 . 若,則法線方程為. 例9 求函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率,并寫(xiě)出在該點(diǎn)的切線方程和法線方程. 解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為 . 從而所求的切線方程為 , 即 . 所求法線的斜率為 , 從而所求的法線的方程為 , 即 . 1.4 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 定理2 如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),那么在點(diǎn)處連續(xù). 證明 因?yàn)樵邳c(diǎn)處可導(dǎo),即 , 其中,所以 . 根據(jù)連續(xù)的定義可知在點(diǎn)處連續(xù). 注:(1)定理2的逆命題不成立,即連續(xù)函數(shù)未必可導(dǎo). (2)如果函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù),那么函數(shù)在該點(diǎn)一定不可導(dǎo). 例10 討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性. 解 因?yàn)? , 所以在點(diǎn)處連續(xù). 又因?yàn)? 不存在,所以在點(diǎn)處不可導(dǎo). 例11 討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性. 解 因?yàn)? , 所以在點(diǎn)處不連續(xù),從而在點(diǎn)處不可導(dǎo). 例12 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),求. 解 由于在點(diǎn)處可導(dǎo),所以在點(diǎn)處必連續(xù),即 . 因?yàn)? , , , 所以可得. 又因?yàn)? , . 要使在點(diǎn)處可導(dǎo),則應(yīng)有,即.所以,如果在點(diǎn)處可導(dǎo),則有. 習(xí)題2-1 1. 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,求: (1)物體在到這一時(shí)間段的平均速度; (2)物體在時(shí)的瞬時(shí)速度. 2. 設(shè),按定義求. 3. 設(shè)存在,指出下列極限各表示什么? (1); (2); (3)(設(shè)且存在). 4. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),且,求. 5. 已知函數(shù),求和,判定是否存在? 6. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 7. 試討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性. 8. 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),求的值. 第2節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則 在上一節(jié)中,利用導(dǎo)數(shù)的定義求得了一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).但對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)定義去求解,難度比較大.因此本節(jié)將介紹幾種常用的求導(dǎo)法則,利用這些法則和基本求導(dǎo)公式就能比較簡(jiǎn)單地求一般初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 定理1 如果函數(shù)和都在點(diǎn)處可導(dǎo),那么它們的和、差、積、商(分母不為零)都在點(diǎn)處可導(dǎo),且 (1). (2). 特別地, (為常數(shù)). (3). 特別地, . 證明 (1) . (2) , 由于在點(diǎn)處可導(dǎo),從而其在點(diǎn)處連續(xù),故 . (3)先考慮特殊情況.當(dāng)時(shí), , 由于在點(diǎn)處可導(dǎo),從而其在點(diǎn)處連續(xù),故 . 因此,函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),且.于是 . 注:(1)法則(1)可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和與差的求導(dǎo).如 . (2)法則(2)可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的積的求導(dǎo).如 . 例1 設(shè),求. 解 . 例2 設(shè),求. 解 . 例3 設(shè),求. 解 . 例4 設(shè),求. 解 . 例5 設(shè),求. 解 . 即得正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 類似可得余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 例6 設(shè),求. 解 . 即得正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 類似可得余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理2 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且,那么它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo),且 或 . 換句話說(shuō),即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). 證明 由于在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(必連續(xù)),從而可知的反函數(shù)存在,且在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)、連續(xù). 取,給以增量,由的單調(diào)性可知 , 于是有 , 由于連續(xù),所以 , 從而 . 例7 設(shè),求. 解 因?yàn)榈姆春瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),且.又因?yàn)樵趦?nèi)有,所以在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)有 . 即得到反正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 類似可得反余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 例8 設(shè),求. 解 因?yàn)榈姆春瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),且,所以在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)有 . 即得反正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 類似可得反余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: . 2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理3 如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo),那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 或 . 證明 因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo),所以 存在,于是根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系可得 , 其中是時(shí)的無(wú)窮小.由于上式中,在其兩邊同乘,可得 , 用除上式兩邊,可得 , 于是 . 根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必在該點(diǎn)連續(xù)可知,當(dāng)時(shí),,從而可得 . 又因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo),所以 , 故 . 如果,規(guī)定,那么,此時(shí)仍成立,從而仍有 . 注:(1)表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo),而則表示函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo). (2)定理的結(jié)論可以推廣到有限個(gè)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).例如,設(shè)可導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù),則 . 例9 設(shè),求. 解 因?yàn)橛蓮?fù)合而成,所以 . 例10 設(shè),求. 解 因?yàn)橛蓮?fù)合而成,所以 . 從以上例子可以直觀的看出,對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí),是從外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo),故形象地稱其為鏈?zhǔn)椒▌t.當(dāng)對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程較熟練后,可以不用寫(xiě)出中間變量,而把中間變量看成一個(gè)整體,然后逐層求導(dǎo)即可. 例11 設(shè),求. 解 . 例12 設(shè),求. 解 . 例13 設(shè)(為常數(shù)),求. 解 . 例14 設(shè),求. 解 因?yàn)? , 所以,當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), . 綜上可得 . 例15 設(shè)可導(dǎo),求的導(dǎo)數(shù). 解 . 2.4 高階導(dǎo)數(shù) 變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的路程函數(shù)為,則速度 , 加速度 , 從而 . 這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù),依次類推就產(chǎn)生了高階導(dǎo)數(shù)的概念.一般地,可給出如下定義: 定義1 若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),則稱在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù),記作 , 即 . 這時(shí)也稱在點(diǎn)二階可導(dǎo). 若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都二階可導(dǎo),則稱它在區(qū)間上二階可導(dǎo),并稱為在區(qū)間上的二階導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱為二階導(dǎo)數(shù). 如果函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo),那么可定義三階導(dǎo)數(shù): , 記作 . 以此類推,如果函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo),那么可定義階導(dǎo)數(shù): , 記作 . 習(xí)慣上,稱為的一階導(dǎo)數(shù),二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).有時(shí)也把函數(shù)本身稱為的零階導(dǎo)數(shù),即. 注:由高階導(dǎo)數(shù)的定義可知,求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù),所以前面學(xué)到的求導(dǎo)方法對(duì)于計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)同樣適用. 定理4 如果函數(shù)和都在點(diǎn)處具有階導(dǎo)數(shù),那么 (1). (2),其中. 特別地,(為常數(shù)). 定理4中的(2)式稱為萊布尼茲(Leibniz)公式. 例16 設(shè),求. 解 ,,,. 一般地,設(shè),則. 例17 設(shè),求. 解 ,,,,…, 由歸納法可得 . 特別地,當(dāng)時(shí),. 例18 設(shè),求. 解 , , , , ,…, 由歸納法可得 . 類似地,可得 . 例19 設(shè),求. 解 ,,,,…, 由歸納法可得 . 例20 設(shè)(為任意常數(shù)),求. 解 ,,, ,…, 由歸納法可得 . 特別地,當(dāng)時(shí),可得 . 而 . 例21 設(shè),求. 解 . 例22 設(shè),求. 解 設(shè),則 , . 由萊布尼茲公式,可得 . 2.5 導(dǎo)數(shù)公式與基本求導(dǎo)法則 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等在初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算中起著重要的作用.為了便于查閱,現(xiàn)在把這些導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則歸納如下: 2.5.1 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (1)(為常數(shù)); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11); (12); (13); (14); (15); (16). 2.5.2 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 設(shè)函數(shù)和都可導(dǎo),則 (1); (2); (3)(為常數(shù)); (4); (5). 2.5.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且,那么它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo),且 或 . 2.5.4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo),那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 或 . 2.5.5 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 如果函數(shù)和都在點(diǎn)處具有階導(dǎo)數(shù),那么 (1). (2),其中. 特別地,(為常數(shù)). 習(xí)題2-2 1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10). 2. 求曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 3. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11); (12). 4. 設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1); (2); (3); (4). 5. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6). 6. 求下列函數(shù)所指定階的導(dǎo)數(shù). (1),求; (2),求. 第3節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 以解析式的形式確定的函數(shù)稱為顯函數(shù).例如 ,. 以二元方程的形式確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).例如 ,. 把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù),稱為隱函數(shù)的顯化.例如從方程解出,就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù).但隱函數(shù)的顯化有時(shí)候是困難的,甚至是不可能的.例如方程所確定的隱函數(shù)就難以化成顯函數(shù). 但在很多情況下,需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),因此,我們希望找到一種方法,不論隱函數(shù)能否顯化,都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 隱函數(shù)求導(dǎo)的基本思想是:把方程中的看成自變量的函數(shù),結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,在方程兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù),然后整理變形解出即可.的結(jié)果中可同時(shí)含有和.若將看成自變量,同理可求出. 例1 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 方程兩端對(duì)求導(dǎo),得 , 從而 . 例2 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 方程兩端對(duì)求導(dǎo),得 , 從而 . 例3 求橢圓曲線上點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 解 方程兩端對(duì)求導(dǎo),得,故.從而,切線斜率和法線斜率分別為 ,. 所求切線方程為 , 即 . 法線方程為 , 即 . 例4 求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). 解 方程兩端對(duì)求導(dǎo),得 , 從而 . 上式兩端再對(duì)求導(dǎo),得 . 3.2 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 對(duì)于以下兩類函數(shù): (1)冪指函數(shù),即形如的函數(shù). (2)函數(shù)表達(dá)式是由多個(gè)因式的積、商、冪構(gòu)成的. 要求它們的導(dǎo)數(shù),可以先對(duì)函數(shù)式兩邊取自然對(duì)數(shù),利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn),然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo),這種方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法. 例5 設(shè),求. 解 函數(shù)兩端取自然對(duì)數(shù),得 , 兩端分別對(duì)求導(dǎo),得 , 所以 . 例6 設(shè),求. 解 先在函數(shù)兩端取絕對(duì)值后再取自然對(duì)數(shù),得 , 兩端分別對(duì)求導(dǎo),得 , 即 . 容易驗(yàn)證,例6中的解法,若省略取絕對(duì)值這一步所得的結(jié)果是相同的,因此,在使用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法時(shí),常省略取絕對(duì)值的步驟. 3.3 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一般地,若參數(shù)方程 確定了與之間的函數(shù)關(guān)系,則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù). 定理1 設(shè)參數(shù)方程,其中均可導(dǎo),且函數(shù)嚴(yán)格單調(diào),,則有 或 . 證明 因?yàn)楹瘮?shù)嚴(yán)格單調(diào),所以其存在反函數(shù).又因?yàn)榭蓪?dǎo)且,故也可導(dǎo),且有.對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),可得 . 如果還是二階可導(dǎo)的,那么由定理1可得到函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)公式: , 即 . 例7 設(shè),求. 解 因?yàn)? 所以 . 例8 求星形線在的相應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法線方程(圖2-2). 圖2-2 解 由可得 , 星形線在點(diǎn)處的切線斜率和法線斜率分別為 ,. 從而,所求切線方程為 , 即 . 所求法線方程為 , 即 . 例9 設(shè),求. 解 (方法一)因?yàn)? , 所以 . (方法二)由于,代入公式可得 . 3.4 由極坐標(biāo)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 研究函數(shù)與的關(guān)系通常是在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行的,但在某些情況下,使用極坐標(biāo)系則顯得比直角坐標(biāo)系更簡(jiǎn)單. 如圖2-3所示,從平面上一固定點(diǎn),引一條帶有長(zhǎng)度單位的射線,這樣在該平面內(nèi)建立了極坐標(biāo)系,稱為極點(diǎn),為極軸.設(shè)為平面內(nèi)一點(diǎn),線段的長(zhǎng)度稱為極徑,記為,極軸到線段的轉(zhuǎn)角(逆時(shí)針)稱為極角,記為,稱有序數(shù)組為點(diǎn)的極坐標(biāo). 圖2-3 若一平面曲線上所有點(diǎn)的極坐標(biāo)都滿足方程,且坐標(biāo)滿足方程的所有點(diǎn)都在平面曲線上,則稱為曲線的極坐標(biāo)方程. 將極軸與直角坐標(biāo)系的正半軸重合,極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,若設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,極坐標(biāo)為,則兩者有如下關(guān)系: 或. 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為,利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得曲線的參數(shù)方程為 , 其中為參數(shù).由參數(shù)方程的求導(dǎo)公式,可得 . 例10 求心形線在處的切線方程(圖2-4). 圖2-4 解 由極坐標(biāo)的求導(dǎo)公式得 . 當(dāng)時(shí), ,, , 所以,所求切線方程為 , 即 . 習(xí)題2-3 1. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6). 2. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 3. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). (1); (2). 4. 利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6). 5. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的指定階的導(dǎo)數(shù). (1),求; (2),求; (3),求; (4),求. 6. 求四葉玫瑰線(為常數(shù))在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程. 第4節(jié) 函數(shù)的微分 4.1 微分的概念 在許多實(shí)際問(wèn)題中,要求研究當(dāng)自變量發(fā)生微小改變時(shí)所引起的相應(yīng)的函數(shù)值的改變. 例如,一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長(zhǎng)由變到(圖2-5),問(wèn)此薄片的面積改變了多少?當(dāng)很微小時(shí),正方形的面積改變的近似值是多少? 圖2-5 設(shè)此正方形的邊長(zhǎng)為,面積為,則與存在函數(shù)關(guān)系.當(dāng)邊長(zhǎng)由變到,正方形金屬薄片的面積改變量為 從上式可以看出,分為兩部分,第一部分是的線性函數(shù),即圖中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和,第二部分是圖中右上角的小正方形的面積,當(dāng)時(shí),第二部分是比高階的無(wú)窮小量,即.因此,當(dāng)很微小時(shí),我們用近似地表示,即.故是正方形的面積改變的近似值. 定義1 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義,及在此區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量 可表示為 , 其中是不依賴于的常數(shù),那么稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的,而叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分,記為 或. 4.2 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 定理1 函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且當(dāng)在點(diǎn)可微時(shí),其微分一定是. 證明 (必要性)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微,即,其中是不依賴于的常數(shù).上式兩邊用除之,得 , 當(dāng)時(shí),對(duì)上式兩邊取極限就得到 . 即.因此,若函數(shù)在點(diǎn)可微,則在點(diǎn)一定可導(dǎo),且. (充分性)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),即 存在,根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系,上式可寫(xiě)成 , 其中(當(dāng)時(shí)),從而 , 其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù),比是高階無(wú)窮小,所以在點(diǎn)也是可微的. 根據(jù)微分的定義和定理1可得以下結(jié)論: (1)函數(shù)在點(diǎn)處的微分就是當(dāng)自變量產(chǎn)生增量時(shí),函數(shù)的增量的主要部分(此時(shí)).由于是的線性函數(shù),故稱微分是的線性主部.當(dāng)很微小時(shí),更加微小,從而有近似等式. (2)函數(shù)的可導(dǎo)性與可微性是等價(jià)的,故求導(dǎo)法又稱微分法.但導(dǎo)數(shù)與微分是兩個(gè)不同的概念,導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在處的變化率,其值只與有關(guān);而微分是函數(shù)在處增量的線性主部,其值既與有關(guān),也與有關(guān). 定義2 函數(shù)在任意點(diǎn)處的微分,稱為函數(shù)的微分,記作或,即. 通常把自變量的增量稱為自變量的微分,記作,即.因此,函數(shù)的微分可以寫(xiě)成 或. 從而有 或. 因此,函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).所以,導(dǎo)數(shù)又稱微商. 例1 設(shè)函數(shù),(1)求;(2)若,求和. 解 (1)由微分的定義可得 . (2)將代入(1)的結(jié)果,可得 ; . 4.3 微分的幾何意義 在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)的圖形是一條曲線,對(duì)于曲線上某一確定的點(diǎn),當(dāng)自變量有微小增量時(shí),就得到曲線上另一點(diǎn)(圖2-6).過(guò)點(diǎn)作曲線的切線,它的傾斜角為,則有 , . 圖2-6 由此可見(jiàn),對(duì)于可微函數(shù),當(dāng)是曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí),微分就是曲線在點(diǎn)的切線的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量.當(dāng)很小時(shí),比小得多,因此在點(diǎn)的鄰近,可以用近似代替,進(jìn)而可以用切線段來(lái)近似代替曲線段. 4.4 微分公式與微分運(yùn)算法則 由函數(shù)的微分表達(dá)式可得,只要先計(jì)算出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再乘以自變量的微分就可以計(jì)算出函數(shù)的微分.因此可得如下的微分公式和微分運(yùn)算法則. 4.4.1 基本初等函數(shù)的微分公式 (1)(為常數(shù)); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11); (12); (13); (14); (15); (16). 4.4.2 微分的運(yùn)算法則 設(shè)函數(shù)和都可導(dǎo),則 (1); (2); (3)(為常數(shù)); (4). 4.4.3 復(fù)合函數(shù)的微分法則 設(shè)均可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)的微分為 . 由此可見(jiàn),無(wú)論是自變量還是中間變量,微分形式保持不變.這一性質(zhì)稱為微分形式不變性. 例2 設(shè),求. 解 (方法一)令,,則利用微分形式不變性,可得 . (方法二)若不引入中間變量,則 . 4.4.4 隱函數(shù)的微分 例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的微分. 解 對(duì)方程兩邊分別求微分,有 , 即 , , 從而,可得 . 4.5 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 根據(jù)前面的討論可知,如果函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),且很小時(shí),那么有 , (2-4-1) 公式(2-4-1)可以改寫(xiě)為 , (2-4-2) 或 . (2-4-3) 在(2-4-3)式中令,即,則可得 . (2-4-4) 如果和都容易計(jì)算,則可以利用(2-4-1)式來(lái)近似計(jì)算,利用(2-4-3)式來(lái)近似計(jì)算,以及利用(2-4-4)式來(lái)近似計(jì)算. 若在(2-4-4)式中令,則有 . (2-4-5) 從而,當(dāng)很小時(shí),可用(2-4-5)式推得以下幾個(gè)常用的近似公式 (1); (2); (3); (4); (5); (6). 例4 一個(gè)內(nèi)直徑為的球殼體,球殼的厚度為,問(wèn)球殼體的體積的近似值為多少? 解 半徑為的球體體積為 . 由于,故就是球殼體的體積.用作為其近似值,則 . 所以球殼體的體積的近似值為. 例5 計(jì)算的近似值. 解 設(shè),則.取,則 . 例6 計(jì)算的近似值. 解 由于,而,其值較小,故利用近似公式,可得 . 習(xí)題2-4 1.已知函數(shù),計(jì)算在處,當(dāng)時(shí)的和. 2. 求下列函數(shù)的微分. (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8). 3. 求由方程所確定的函數(shù)的微分. 4. 利用微分計(jì)算下列近似值. (1); (2). 5.設(shè)扇形的圓心角,半徑.如果不變,減少,問(wèn)扇形面積大約改變了多少?又如果不變,增加,問(wèn)扇形面積大約改變了多少? 6.有一批半徑為的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,銅的厚度定為,估計(jì)一下每只球需用銅多少(銅的密度為)? 第5節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 由于導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率,所以現(xiàn)實(shí)生活中很多涉及變化率的問(wèn)題,都可以轉(zhuǎn)化為對(duì)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題.因此導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用是非常廣泛的. 5.1 相關(guān)變化率 定義1 若及為可導(dǎo)函數(shù),且函數(shù)由,確定,則變化率與稱為相關(guān)變化率. 相關(guān)變化率問(wèn)題就是研究這兩個(gè)變化率之間的關(guān)系,以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率. 例1 一氣球從離開(kāi)觀察員500 m處離地面鉛直上升,其速度為,當(dāng)氣球高度為500 m時(shí),觀察員視線的仰角增加率是多少? 解 設(shè)氣球上升分鐘后其高度為,觀察員視線的仰角為,則 . 上式兩邊對(duì)求導(dǎo),可得 . 當(dāng)時(shí),,即.又因?yàn)?,所? . 即此時(shí)觀察員視線的仰角增加率是. 例2 平靜的水面由于石頭的落入而產(chǎn)生同心波紋,如果最外一圈波紋半徑的增大率總是,問(wèn)在末水面擾動(dòng)面積的增大率是多少? 解 設(shè)時(shí)最外一圈波紋半徑為,此時(shí)水面擾動(dòng)面積為,則 . 上式兩邊對(duì)求導(dǎo),可得 . 當(dāng)時(shí),.又因?yàn)?,所以? . 即在末水面擾動(dòng)面積的增大率是 5.2 經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 5.2.1 邊際與邊際分析 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際概念是與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)概念,它反映的是一種經(jīng)濟(jì)變量相對(duì)于另一種經(jīng)濟(jì)變量的變化率. 定義2 設(shè)函數(shù)在可導(dǎo),則稱導(dǎo)函數(shù)為的邊際函數(shù).稱為邊際函數(shù)在處的邊際函數(shù)值. 下面介紹經(jīng)濟(jì)分析中幾個(gè)常用的邊際函數(shù): 1. 邊際成本 定義3 總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本. 邊際成本表示當(dāng)已生產(chǎn)了個(gè)單位產(chǎn)品時(shí),再增加一個(gè)單位產(chǎn)品使總成本增加的數(shù)量. 例3 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個(gè)單位的總成本為,試求當(dāng)時(shí)的總成本及邊際成本,并解釋邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義. 解 由,可得邊際成本函數(shù)為 . 當(dāng)時(shí),總成本為,邊際成本為. 經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)產(chǎn)量為10個(gè)單位時(shí),再增加一個(gè)單位產(chǎn)量,總成本需再增加5個(gè)單位. 2. 邊際收益 定義4 總收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益. 邊際收益表示銷售個(gè)單位產(chǎn)品后,再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)所增加的總收益. 例4 某產(chǎn)品的價(jià)格與銷售量的關(guān)系為,求時(shí)的總收益及邊際收益,并解釋邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義. 解 總收益函數(shù)為 , 邊際收益函數(shù)為 . 當(dāng)時(shí),總收益為,邊際收益為. 經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)銷售量為30個(gè)單位時(shí),再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品,總收益將減少2個(gè)單位(或者說(shuō),再少銷售一個(gè)單位產(chǎn)品,總收益將少損失2個(gè)單位). 3. 邊際利潤(rùn) 定義5 總利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤(rùn). 邊際利潤(rùn)表示若已經(jīng)生產(chǎn)了個(gè)單位的產(chǎn)品,再多生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí)所增加的總利潤(rùn). 例5 某煤炭公司每天生產(chǎn)煤噸的總成本函數(shù)為 , 如果每噸煤的銷售價(jià)為490元,求 (1)邊際成本; (2)總利潤(rùn)函數(shù)以及邊際利潤(rùn); (3)當(dāng)噸時(shí)的邊際利潤(rùn),并解釋其經(jīng)濟(jì)意義. 解 (1)由,可得邊際成本為 . (2)因?yàn)榭偸杖牒瘮?shù)為,所以總利潤(rùn)函數(shù)為 , 故邊際利潤(rùn)為 . (3)當(dāng)噸時(shí),邊際利潤(rùn)為. 經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)每天煤的產(chǎn)量在1000噸的基礎(chǔ)上再增加一噸時(shí),總利潤(rùn)沒(méi)有增加. 5.2.2 彈性與彈性分析 彈性概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的另一個(gè)重要概念,它是用來(lái)定量地描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的反應(yīng)程度. 定義6 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量之比稱為函數(shù)在與兩點(diǎn)間的彈性,或兩點(diǎn)間的相對(duì)變化率. 當(dāng)時(shí),的極限 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的彈性或相對(duì)變化率,記為或. 對(duì)于一般的,如果可導(dǎo),且,則有 , 它是的函數(shù),稱之為的彈性函數(shù),簡(jiǎn)稱彈性. 注:表示在點(diǎn)處,當(dāng)改變時(shí),函數(shù)改變. 下面介紹經(jīng)濟(jì)分析中常見(jiàn)的彈性函數(shù): 1. 需求的價(jià)格彈性 定義7 設(shè)某商品的需求函數(shù)(表示商品價(jià)格,表示需求量)在點(diǎn)處可導(dǎo),,由于一般情形下單調(diào)減少,和符號(hào)相反,且為正數(shù),故和均為非正數(shù),為了用正數(shù)表示彈性,我們稱 為該商品在和兩點(diǎn)間的需求的價(jià)格彈性.稱 為該商品在點(diǎn)處的需求的價(jià)格彈性函數(shù),簡(jiǎn)稱為需求彈性. 根據(jù)需求彈性的大小,可分為下面三種情況: (1)當(dāng)時(shí),稱需求富有彈性,此時(shí)需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度,價(jià)格變動(dòng)對(duì)需求量的影響較大. (2)當(dāng)時(shí),稱需求有單位彈性,此時(shí)需求變動(dòng)的幅度等于價(jià)格變動(dòng)的幅度. (3)當(dāng)時(shí),稱需求缺乏彈性,此時(shí)需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度,價(jià)格變動(dòng)對(duì)需求量的影響不大. 例6 已知某商品的需求函數(shù)為,求: (1),并解釋其經(jīng)濟(jì)意義; (2)需求彈性函數(shù); (3)時(shí)的需求彈性,并解釋其經(jīng)濟(jì)意義. 解 (1)當(dāng)時(shí),有.當(dāng)時(shí),有,從而 , 故 . 其經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)商品價(jià)格從30降到25時(shí),在該區(qū)間內(nèi),價(jià)格從30每降低1%,需求量從40平均增加1.2%. (2)因?yàn)?,所以需求彈性函?shù) . (3)時(shí)的需求彈性為. 其經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)時(shí),價(jià)格每上漲(下跌)1%,需求量則減少(增加)1%. 2. 供給的價(jià)格彈性 定義8 設(shè)某商品的供給函數(shù)(表示商品價(jià)格,表示供給量)在點(diǎn)處可導(dǎo),,則稱 為該商品在和兩點(diǎn)間的供給彈性.稱 為該商品在點(diǎn)處的供給的價(jià)格彈性函數(shù),簡(jiǎn)稱為供給彈性. 注:由于供給函數(shù)一般為價(jià)格的遞增函數(shù),故當(dāng)價(jià)格上漲時(shí),供給量相應(yīng)增加;當(dāng)價(jià)格下跌時(shí),供給量相應(yīng)減少. 例7 設(shè)某商品的供給函數(shù)為,求: (1)供給彈性函數(shù); (2)當(dāng)時(shí)的供給彈性,并解釋其經(jīng)濟(jì)意義. 解 (1)因?yàn)?,所以供給彈性函數(shù)為 . (2)時(shí)的供給彈性為. 其經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)時(shí),價(jià)格再上漲(下跌)1%,供應(yīng)量將增加(減少)6%. 3. 收益的價(jià)格彈性 定義9 設(shè)某商品的需求函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)(表示商品價(jià)格,表示需求量),則收益關(guān)于價(jià)格的函數(shù)為,稱 為該商品在點(diǎn)處的收益的價(jià)格彈性函數(shù),簡(jiǎn)稱為收益彈性. 例8 已知某商品的需求函數(shù)為,求: (1)該商品的收益彈性函數(shù); (2)時(shí)的收益彈性,并解釋其經(jīng)濟(jì)意義. 解 (1)商品的收益函數(shù)為,從而收益彈性函數(shù)為 . (2)時(shí)的收益彈性為. 其經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)時(shí),價(jià)格再上漲(下跌)1%,總收益將減少(增加)0.5%. 習(xí)題2-5 1. 氣球充氣時(shí),其半徑以的速度增大,假設(shè)在充氣過(guò)程中氣球始終保持球形,求時(shí)氣球體積的變化率. 2. 注水入深上頂直徑的正圓錐形容器中,其速率為,當(dāng)水深為時(shí),其表面上升的速率為多少? 3. 已知某商品的成本函數(shù)為,求當(dāng)時(shí)的總成本及邊際成本. 4. 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,其中為價(jià)格,為銷售量,求銷售量為15個(gè)單位時(shí)的總收益和邊際收益. 5. 已知某商品的需求函數(shù)為,求: (1),并解釋其經(jīng)濟(jì)意義; (2)需求彈性函數(shù); (3)、和,并解釋其經(jīng)濟(jì)意義. 6. 設(shè)某商品的供給函數(shù)為,求: (1)供給彈性函數(shù); (2)當(dāng)時(shí)的供給彈性,并解釋其經(jīng)濟(jì)意義. 7. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)(表示商品價(jià)格,表示需求量),收益函數(shù)為,證明 . 8. 已知某公司生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)的某種電器的需求彈性在之間,如果該公司計(jì)劃在下一年度內(nèi)將價(jià)格降低,試求這種電器的銷售量將會(huì)增加多少?總收益將會(huì)增加多少? 第6節(jié) MATLAB軟件應(yīng)用 MATLAB符號(hào)工具箱中提供的函數(shù)diff可以求取一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù),也可求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 函數(shù)diff的調(diào)用格式如下: D= diff(fun,x,n) 參數(shù)說(shuō)明:D是求得的導(dǎo)數(shù), fun是函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式,x是符號(hào)變量,n是求導(dǎo)階數(shù),若n缺省,其默認(rèn)值為1. 在MATLAB中還可以使用函數(shù)subs來(lái)計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值. 函數(shù)subs的調(diào)用格式如下: Z=subs(fun,old,new) 參數(shù)說(shuō)明:fun 是函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式,old是符號(hào)變量,Z是在函數(shù)fun中用變量new替換old后所求得的導(dǎo)數(shù)值. 例1 求的導(dǎo)數(shù). 解 輸入命令: syms a x; daoshu=diff(log(x+sqrt(a^2+x^2)), 'x' ); daoshu=simplify(daoshu) % 使輸出的結(jié)果簡(jiǎn)單化 輸出結(jié)果: daoshu=1/(a^2+x^2)^(1/2) 例2 求的5階導(dǎo)數(shù). 解 輸入命令: syms x; daoshu5=diff(exp(2*x),x,5) 輸出結(jié)果: daoshu5=32*exp(2*x) 例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 輸入命令: syms x y; z=exp(y)+x*y-exp(1); dydx=-diff(z,x)/diff(z,y) 輸出結(jié)果: dydx=-y/(x+exp(y)) 例4 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 輸入命令: syms t x=exp(t)*cos(t); y=exp(t)*sin(t); daoshu=diff(y,t)/diff(x,t); daoshu=simplify(daoshu) 輸出結(jié)果: daoshu=(cos(t)+sin(t))/(cos(t)-sin(t)) 例5 求的微分. 解 輸入命令: syms x; y=cos(3*x+2); dy=[char(diff(y)),'dx'] 輸出結(jié)果: dy=-3*sin(3*x+2)dx 例6 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值. 解 輸入命令: syms x f=x^3+4*sin(x); dfdx=diff(f,x); f_pi=subs(dfdx,x,pi) 輸出結(jié)果: f_pi=3*pi^2-4 總習(xí)題2 (A) 1. 一物體的運(yùn)動(dòng)方程為,求下列各值: (1)物體在到這段時(shí)間的平均速度; (2)物體在時(shí)的速度. 2. 已知函數(shù),,求. 3. 討論下列函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性. (1); (2). 4. 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo),求的值. 5. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 6. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11); (12); (13); (14); (15); (16); (17); (18); (19); (20). 7. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). (1); (2); (3); (4). 8. 求由方程所確定的隱函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù). 9. 求曲線在的相應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 10. 求下列函數(shù)的微分. (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8). 11. 半徑為的金屬圓片加熱后,其半徑伸長(zhǎng)了,求其面積增大的精確值和近似值? 12. 一長(zhǎng)度為的梯子斜靠在墻上順墻下滑.當(dāng)梯子下端在離墻時(shí)沿著地面以的速率離墻時(shí),問(wèn)此時(shí)梯子上端下降的速率是多少? 13. 溶液從深,頂直徑為的正圓錐形漏斗中漏入一直徑為的圓柱形筒中.已知開(kāi)始時(shí)漏斗中盛滿了溶液,且當(dāng)溶液在漏斗中深為時(shí),其表面下降的速率為.問(wèn)此時(shí)圓柱形筒中溶液表面上升的速率為多少? 14. 設(shè)某廠每月生產(chǎn)產(chǎn)品的固定成本為元,生產(chǎn)單位產(chǎn)品的可變成本為元,如果每單位產(chǎn)品的售價(jià)為元,求: (1)邊際成本; (2)總利潤(rùn)函數(shù)以及邊際利潤(rùn); (3)邊際利潤(rùn)為零的產(chǎn)量. 15. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為(其中為價(jià)格),求: (1)需求彈性函數(shù); (2)時(shí)的需求彈性,并解釋其經(jīng)濟(jì)意義. (B) 一、選擇題. 1.(2007、數(shù)學(xué)一)設(shè)函數(shù)在處連續(xù),下列命題錯(cuò)誤的是( ). (A)若存在,則 (B)若存在,則 (C)若存在,則存在 (D)若存在,則存在 2.(2012、數(shù)學(xué)一)設(shè)函數(shù),其中為正整數(shù),則( ). (A) (B) (C) (D) 3.(2011、數(shù)學(xué)二)設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),且,則( ). (A) (B) (C) (D) 4. (2006、數(shù)學(xué)二)設(shè)函數(shù)可微,,則( ). (A) (B) (C) (D) 5.(2007、數(shù)學(xué)三)設(shè)某商品的需求函數(shù)為,其中分別表示需求量和價(jià)格,如果該商品需求彈性的絕對(duì)值等于1,那么商品的價(jià)格是( ). (A)10 (B)20 (C)30 (D)40 二、填空題. 1.(2006、數(shù)學(xué)三)設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且,則_______. 2.(2010、數(shù)學(xué)二)函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)_______. 3.(2011、數(shù)學(xué)三)曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)______. 4.(2008、數(shù)學(xué)一)曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)______. 5.(2013、數(shù)學(xué)二)設(shè)上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線方程為_(kāi)_____. 6.(2007、數(shù)學(xué)二)曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為_(kāi)______. 7. (2014、數(shù)學(xué)二)曲線的極坐標(biāo)方程為,則在點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_____. 8.(2013、數(shù)學(xué)一)設(shè),為參數(shù),則_______. 9.(2012、數(shù)學(xué)二)設(shè)是方程所確定的隱函數(shù),則_______. 10. (2012、數(shù)學(xué)三)設(shè)函數(shù),則_______. 11.(2009、數(shù)學(xué)二)設(shè)是方程所確定的隱函數(shù),則_______. 12.(2006、數(shù)學(xué)二)設(shè)是方程所確定的隱函數(shù),則_______. 13.(2010、數(shù)學(xué)二)已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)以的速率增加,寬以的速率增加,則當(dāng)時(shí),它的對(duì)角線增加的速率為_(kāi)______. 14.(2014、數(shù)學(xué)三)設(shè)某商品的需求函數(shù)為,其中為商品價(jià)格,則該商品的邊際收益為_(kāi)_____. 15.(2009、數(shù)學(xué)三)設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,其對(duì)價(jià)格的彈性為,則當(dāng)需求量為件時(shí),價(jià)格增加1元會(huì)使產(chǎn)品收益增加______元. 三、解答題. 1.(2007、數(shù)學(xué)二)已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且,函數(shù)由方程確定,設(shè),求. 50- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
32 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁(yè)顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開(kāi)word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國(guó)旗、國(guó)徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 同濟(jì)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 第二 導(dǎo)數(shù) 微分
鏈接地址:http://ioszen.com/p-1624163.html