微分方程習(xí)題及答案.doc
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微分方程習(xí)題 1 基本概念1. 驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解.(1)(2)2.已知曲線族,求它相應(yīng)的微分方程(其中均為常數(shù))(一般方法:對(duì)曲線簇方程求導(dǎo),然后消去常數(shù),方程中常數(shù)個(gè)數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù).)(1);(2).3寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。(1)曲線在 處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。(2)曲線在點(diǎn)P處的法線x軸的交點(diǎn)為Q,,PQ為y軸平分。(3)曲線上的點(diǎn)P處的切線與y軸交點(diǎn)為Q, PQ長度為2,且曲線過點(diǎn)(2,0)。 2可分離變量與齊次方程1.求下列微分方程的通解(1);(2);(3);(4).2求下列微分方程的特解(1);(2)3. 求下列微分方程的通解(1);(2).4. 求下列微分方程的特解(1);(2).5. 用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡方程,并求解下列方程(1);(2)(3)(4)6. 求一曲線,使其任意一點(diǎn)的切線與過切點(diǎn)平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù).BAP(x,y)7. 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落,所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)開始下落時(shí)速度為0,求物體速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.8. 有一種醫(yī)療手段,是把示蹤染色注射到胰臟里去,以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉染色,現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了0.3g染色,30分鐘后剩下0.1g,試求注射染色后分鐘時(shí)正常胰臟中染色量隨時(shí)間變化的規(guī)律,此人胰臟是否正常?9.有一容器內(nèi)有100L的鹽水,其中含鹽10kg,現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水,同時(shí)又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出,問一小時(shí)后,容器內(nèi)尚有多少鹽? 3 一階線性方程與貝努利方程1求下列微分方程的通解(1);(2);(3);(4);(5)2求下列微分方程的特解(1); (2)3一 曲線過原點(diǎn),在處切線斜率為,求該曲線方程.4設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足方程,求.5設(shè)有一個(gè)由電阻,電感,電流電壓串聯(lián)組成之電路,合上開關(guān),求電路中電流和時(shí)間之關(guān)系.6求下列貝努利方程的通解 (1) (2)(3)(4) 4 可降階的高階方程1.求下列方程通解。;(2);(2)3求的經(jīng)過且在與直線相切的積分曲線4證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線.證明:可推出是線性函數(shù);可取正或負(fù)5槍彈垂直射穿厚度為的鋼板,入板速度為,出板速度為,設(shè)槍彈在板內(nèi)受到阻力與速度成正比,問槍彈穿過鋼板的時(shí)間是多少? 5 高階線性微分方程1.已知是二階線性微分方程的解,試證是的解2.已知二階線性微分方程的三個(gè)特解,試求此方程滿足的特解.3驗(yàn)證是微分方程的解,并求其通解. 6 二階常系數(shù)齊次線性微分方程1.求下列微分方程的通解(1);(2);(3);(4).2求下列微分方程的特解(1)(2)(3)3.設(shè)單擺擺長為,質(zhì)量為,開始時(shí)偏移一個(gè)小角度,然后放開,開始自由擺動(dòng).在不計(jì)空氣阻力條件下,求角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.Pmg4. 圓柱形浮筒直徑為0.5m ,鉛垂放在水中,當(dāng)稍向下壓后突然放開,浮筒周期為2s,求浮筒質(zhì)量.。O5.長為6m的鏈條自桌上無摩察地向下滑動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)開始時(shí),鏈條自桌上垂下部分長為1m,問需多少時(shí)間鏈條全部滑過桌面.O 7 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1.求下列微分方程的通解(1);(2);(3);(4);(5).2求下列微分方程的特解(1);(2)3.設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足 求.4.一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沉入水中,下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比(比例系數(shù)為),求此物體之運(yùn)動(dòng)規(guī)律. OP5.一鏈條懸掛在一釘子上,起動(dòng)時(shí)一端離開釘子8m,另一端離開釘子12m,若不計(jì)摩擦力,求鏈條全部滑下所需時(shí)間.OP 6.大炮以仰角、初速發(fā)射炮彈,若不計(jì)空氣阻力,求彈道曲線. 8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組 1.求下列微分方程的通解 (1);(2).2求下列微分方程組的通解(1)(2) 自測(cè)題1.求下列微分方程的解。(1);(2);(3);(4).2求連續(xù)函數(shù),使得時(shí)有.3求以為通解的二階微分方程.4某個(gè)三階常系數(shù)微分方程 有兩個(gè)解和,求.5設(shè)有一個(gè)解為,對(duì)應(yīng)齊次方程有一特解,試求:(1)的表達(dá)式;(2)該微分方程的通解.6已知可導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式: 求.7已知曲線上原點(diǎn)處的切線垂直于直線,且滿足微分方程,求此曲線方程. 微分方程習(xí)題答案 1 基本概念1驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解.(1)故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解(2).解:隱函數(shù)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)指數(shù)函數(shù)非零,即有故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解2已知曲線族,求它相應(yīng)的微分方程(其中均為常數(shù))(一般方法:對(duì)曲線簇方程求導(dǎo),然后消去常數(shù),方程中常數(shù)個(gè)數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù).)(1);(2).3寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。(1)曲線在 處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。解:設(shè)曲線為 y = y ( x )則曲線上的點(diǎn)處的切線斜率為,由題意知所求方程為(2)曲線在點(diǎn)P處的法線x軸的交點(diǎn)為Q,,PQ為y軸平分。解:曲線上的點(diǎn)處法線方程:。故法線x軸的交點(diǎn)為Q坐標(biāo)應(yīng)為,又PQ為y軸平分,故,便得曲線所滿足的微分方程:(3)曲線上的點(diǎn)P處的切線與y軸交點(diǎn)為Q, PQ長度為2,且曲線過點(diǎn)(2,0)。解:點(diǎn)P處切線方程: 故Q坐標(biāo)為,則有則得初值問題為: 2可分離變量與齊次方程1求下列微分方程的通解(1);解:分離變量(2);解:分離變量其中(3);解: 分離變量得其中(4).解:分離變量得其中2求下列微分方程的特解(1);(2)解:分離變量得 ,其中,由得,故特解為3求下列微分方程的通解(1);解:方程變形為齊次方程,則,故原方程變?yōu)?,分離變量得,兩邊積分,即,故,得,其中(2).解:方程變形為齊次方程,令則,故原方程變?yōu)?,分離變量得,兩邊積分,即,即,得其中4 求下列微分方程的特解(1);解:原方程化為,令則,故原方程變?yōu)?,分離變量得兩邊積分,即,得其中,由得,故特解為(2).解:原方程可化為令則,故原方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分,即得即得,即,又得特解為5 用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡方程,并求解下列方程(1);解:令則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分得故方程通解為(2)解:則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分,即得,得,即,其中故方程通解為(,其中)(3)解:,則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分得故方程通解為(4)解:則,原方程變?yōu)?,分離變量并積分,得,即其中(分析原方程可變形為,故令)(,其中)6 求一曲線,使其任意一點(diǎn)的切線與過切點(diǎn)平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù).BAP(x,y)解:曲線點(diǎn)P(x, y)的切線方程為: 該曲線與x軸交點(diǎn)記為B,則B坐標(biāo)為,過點(diǎn)P(x, y)平行于軸的直線和軸交點(diǎn)記為A,則A坐標(biāo)為故三角形面積為即有微分方程當(dāng)時(shí)用分離變量法解得當(dāng)時(shí)用分離變量法解得7 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落,所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)開始下落時(shí)速度為0,求物體速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.8 有一種醫(yī)療手段,是把示蹤染色注射到胰臟里去,以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉染色,現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了0.3g染色,30分鐘后剩下0.1g,試求注射染色后分鐘時(shí)正常胰臟中染色量隨時(shí)間變化的規(guī)律,此人胰臟是否正常?解: t以分為單位,因此,每分鐘正常胰臟吸收40%染色可得通解為: 加以初始 p(0)=0.3,便可求出 p(t)=0.3e及p(30)=0.3e然后與實(shí)測(cè)比較知,此人胰臟不正常.9.有一容器內(nèi)有100L的鹽水,其中含鹽10kg,現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水,同時(shí)又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出,問一小時(shí)后,容器內(nèi)尚有多少鹽?解:設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)含鹽,由于時(shí)刻容器內(nèi)液體為:100+,因此時(shí)刻容器內(nèi)濃度為:.于是在時(shí)刻鹽的流失速度為:,從而有滿足的方程為:初始化條件為: 3 一階線性方程與貝努利方程1求下列微分方程的通解(1);解:法一:常系數(shù)變易法:解齊次方程,分離變量得,積分得,即,其中(注:在常系數(shù)變易法時(shí)求解齊次方程通解時(shí)寫成顯式解;其中。設(shè)非齊次方程有解,代入非齊次方程有,即,故,非齊次微分方程的通解法二(公式法)(2);故(3);解:方程變形為故即,其中(4);解:方程變形為,故即(分部積分法:)(5)解:兩邊同乘得,即,故令,則原方程變?yōu)楣剩吹眉丛匠掏ń鉃椋ㄓ梅植糠e分法積分)2求下列微分方程的特解(1);解: (2)解:3一 曲線過原點(diǎn),在處切線斜率為,求該曲線方程.解:由題意可得:于是:由得,故曲線方程為4設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足方程,求.解:問題為初值問題該微分方程為線性微分方程故又得,故5設(shè)有一個(gè)由電阻,電感,電流電壓串聯(lián)組成之電路,合上開關(guān),求電路中電流和時(shí)間之關(guān)系.解:由及可得:問題為初值問題該微分方程為線性微分方程故又得,故(分部積分法積)6求下列貝努利方程的通解 (1) 解:原方程變形為,令,則,故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為(2)原方程變形為,令,則故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為(3)解:方程變形為,令,則故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為,即(4)解:方程變形為,令,則故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為 4 可降階的高階方程 1 求下列方程通解。2解:令,則,原方程變?yōu)榫€性微分方程故故即(2);解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程,分離變量積分得,得故,即解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程若,即,故若,分離變量積分,得,即,分離變量積分,得解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程分離變量積分,得,即,變形得,分離變量積分即得,即即解:令,則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程由,知分離變量積分得,得即,分離變量積分得,由得故特解(2)解:令,則,原方程變?yōu)榫€性微分方程故由得,即故,由得,故特解為3求的經(jīng)過且在與直線相切的積分曲線.解:由題意,原方程可化為:4證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線.證明:可推出是線性函數(shù);可取正或負(fù))用作自變量,令得: , ,從而 ,再積分: ,.5槍彈垂直射穿厚度為的鋼板,入板速度為,出板速度為,設(shè)槍彈在板內(nèi)受到阻力與速度成正比,問槍彈穿過鋼板的時(shí)間是多少?解:由方程,可得 ,再從 ,得到 ,根據(jù) ,可得 , 5 高階線性微分方程 1已知是二階線性微分方程的解,試證是的解3 已知二階線性微分方程的三個(gè)特解,試求此方程滿足的特解.解:;是齊次微分方程的解,且常數(shù),故原方程通解為由得,即特解為3驗(yàn)證是微分方程的解,并求其通解. 6 二階常系數(shù)齊次線性微分方程1 求下列微分方程的通解(1);(2);(3);(4).解:特征方程為,即得即特征方程為有二重共軛復(fù)根故方程通解為2求下列微分方程的特解(1)(2)(3)3.設(shè)單擺擺長為,質(zhì)量為,開始時(shí)偏移一個(gè)小角度,然后放開,開始自由擺動(dòng).在不計(jì)空氣阻力條件下,求角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.解:在時(shí)刻,P點(diǎn)受力中垂直于擺的分量為: ,如圖:Pmg此為造成運(yùn)動(dòng)之力.而此時(shí)線加速度為,故有.從而方程為:,初始條件:,解得通解為:特解為:4. 圓柱形浮筒直徑為0.5m ,鉛垂放在水中,當(dāng)稍向下壓后突然放開,浮筒在水中上下震動(dòng),周期為2s,求浮筒質(zhì)量.解:建立如圖所示的坐標(biāo)系,O取圓筒在平衡時(shí)(此時(shí)重力與浮力相等)筒上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)筒在上下振動(dòng)時(shí)該點(diǎn)位移為,則有.其中為由于筒離開平衡位置后產(chǎn)生的浮力:.由此可得振動(dòng)方程:該方程的通解為根據(jù)周期為,獲得解出 .5.長為6m的鏈條自桌上無摩察地向下滑動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)開始時(shí),鏈條自桌上垂下部分長為1m,問需多少時(shí)間鏈條全部滑過桌面.解:坐標(biāo)系如圖,原點(diǎn)于鏈尾點(diǎn),鏈條滑過的方向?yàn)閤軸的正方向建立坐標(biāo)系,O于是,由 , 觀察得一特解:,于是通解為:求,由,得: 7 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1 求下列微分方程的通解(1);解:特征方程為,特征根為,故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為本題中是特征方程的單根,故可設(shè)原方程有特解代入原方程有得故原方程通解為(2);解:特征方程為,特征根為,故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為本題中不是特征方程的根,故可設(shè)原方程有特解代入原方程有得故原方程通解為(3);解:特征方程為,特征根為,故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為構(gòu)造復(fù)方程復(fù)方程中不是特征方程的根,故可設(shè)復(fù)方程有特解代入復(fù)方程得得故復(fù)方程有特解故復(fù)方程特解的實(shí)部為原方程的一個(gè)特解,故原方程的通解為(4);解:原方程即為 特征方程為,特征根為,故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為顯然有特解對(duì)構(gòu)造復(fù)方程設(shè)復(fù)方程有特解,代入復(fù)方程有得,即復(fù)方程有特解故有特解,所以原方程有特解故原方程有通解(5).解:特征方程為,特征根為故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為對(duì),是特征方程的單根,可設(shè)有特解解得對(duì),是特征方程的單根,可設(shè)有特解解得故是原方程的一個(gè)特解故原方程通解為2求下列微分方程的特解(1);(2)解法一:原方程即為特征方程為,特征根為,故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為構(gòu)造復(fù)方程復(fù)方程中不是特征方程的根,故可設(shè)復(fù)方程有特解代入復(fù)方程得得故復(fù)方程有特解故復(fù)方程特解的虛部為原方程的一個(gè)特解,故原方程的通解為由得特解2 設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足 求.解:由題意有特征方程為,特征根為故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為不是特征方程的根,故可設(shè)原方程有特解解得故原方程的通解為由得本題解為(注4.一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沉入水中,下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比(比例系數(shù)為),求此物體之運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:取坐標(biāo)系如圖: OP設(shè)時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)離水平面為,其加速度為,所受的力為,便得滿足的微分方程為:5.一鏈條懸掛在一釘子上,起動(dòng)時(shí)一端離開釘子8m,另一端離開釘子12m,若不計(jì)摩擦力,求鏈條全部滑下所需時(shí)間.解:考查鏈條的末端(在8米處)記為P,坐標(biāo)系如圖:OP在時(shí)刻P坐標(biāo)為,于是.時(shí)刻鏈條所受的合力是: 是鏈條線密度)整個(gè)鏈條的質(zhì)量為:由,得,(有特解)求出通解 然后由解出全部滑落的時(shí)間(秒) 6.大炮以仰角、初速發(fā)射炮彈,若不計(jì)空氣阻力,求彈道曲線.解:取坐標(biāo)系如圖.設(shè)彈道曲線為,時(shí)刻受力為:(0,),即,有,分別可以解得: 8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組1 求下列微分方程的通解 (1);(2).2求下列微分方程組的通解(1)(2) 自測(cè)題1 求下列微分方程的解(1);解:令則,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程,分離變量積分即,得,故原方程通解為(2);解:原方程變形為伯努力方程令,則化為線性方程故得,故法二:;(3);(4).2求連續(xù)函數(shù),使得時(shí)有.解:由題意有, 即為線性齊次方程故(注令,則變?yōu)?)3求以為通解的二階微分方程.4某個(gè)三階常系數(shù)微分方程 有兩個(gè)解和,求.5設(shè)有一個(gè)解為,對(duì)應(yīng)齊次方程有一特解,試求:(1)的表達(dá)式;(2)該微分方程的通解.;6已知可導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式: 求.解:由題意得即分離變量積分得由得,故,即7已知曲線上原點(diǎn)處的切線垂直于直線,且滿足微分方程,求此曲線方程.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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