高中數(shù)學(xué) 2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）課件 新人教版選修2-1.ppt

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2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 第1課時(shí) 拋物線的簡單幾何性質(zhì),拋物線的簡單幾何性質(zhì),x≥0,y∈R,x≤0,y∈R,x∈R,y≥0,x∈R,y≤0,x,y,O(0,0),1,判斷:(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)拋物線的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱.( ) (2)拋物線沒有漸近線.( ) (3)過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長是p.( ),提示:(1)錯(cuò)誤.拋物線沒有對(duì)稱中心,它的圖象不關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,因?yàn)閥2=2px中,同時(shí)把x,y換成-x,-y,方程發(fā)生了變化. (2)正確.漸近線是圓錐曲線中雙曲線的特有性質(zhì),拋物線沒有漸近線. (3)錯(cuò)誤.把x= 代入y2=2px(p0)得y=±p,所以過焦點(diǎn)且垂 直于對(duì)稱軸的弦長是2p. 答案:(1)× (2)√ (3)×,【知識(shí)點(diǎn)撥】 1.在標(biāo)準(zhǔn)方程形式下拋物線的性質(zhì)與橢圓、雙曲線的比較,2.參數(shù)p(p0)對(duì)拋物線開口大小的影響 因?yàn)檫^拋物線的焦點(diǎn)F且垂直于對(duì)稱軸的弦的長度是2p,所以p越大,開口越大. 3.拋物線的圖象具有的特征 拋物線是軸對(duì)稱圖形,其焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,即若準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M,則O為MF的中點(diǎn).,4.點(diǎn)P(x0,y0)與拋物線y2=2px(p0)的位置關(guān)系 (1)P(x0,y0)在拋物線y2=2px(p0)內(nèi)部?y020)上?y02=2px0. (3)P(x0,y0)在拋物線y2=2px(p0)外部?y022px0.,類型 一 焦半徑和焦點(diǎn)弦問題 【典型例題】 1.(2013·鶴崗高二檢測(cè))拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 2.(2013·大理高二檢測(cè))若拋物線y2=-2px(p0)上有一點(diǎn)M,其橫坐標(biāo)為-9,它到焦點(diǎn)的距離為10,求拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo).,【解題探究】1.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是什么?準(zhǔn)線方程呢? 2.拋物線上的點(diǎn)具有什么性質(zhì)? 探究提示: 1.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2. 2.拋物線上的點(diǎn)具有兩點(diǎn)性質(zhì):①點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程;②點(diǎn)滿足定義條件,即點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離.,【解析】1.選B.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線是x=-2,由條件知P到y(tǒng)軸距離為4, ∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP=4.根據(jù)焦半徑公式可得|PF|=4+2=6.,2.由拋物線定義知焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(- ,0),準(zhǔn)線方程為x= , 由題意設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為|MN|, 則|MN|=|MF|=10, 即 -(-9)=10, ∴p=2,故拋物線方程為y2=-4x, 將M(-9,y)代入y2=-4x,解得y=±6, ∴M(-9,6)或M(-9,-6).,【拓展提升】 1.拋物線的焦半徑 (1)拋物線的焦半徑是指拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段.,(2)拋物線的焦半徑公式:,2.過拋物線焦點(diǎn)的弦長 設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則:,【變式訓(xùn)練】拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),以x軸為對(duì)稱軸,經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8,試求拋物線的方程. 【解題指南】聯(lián)立方程組,由過焦點(diǎn)的弦長公式表示出弦長,解方程求出參數(shù)值,從而得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,【解析】若拋物線開口向右,如圖. 設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p0), 則直線方程為y=-x+ p. 設(shè)直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn), 則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ , 即x1+x2+p=8. ①,又A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線和直線的交點(diǎn), 由 消去y,得x2-3px+ =0, ∴x1+x2=3p. 將其代入①,得p=2. ∴所求拋物線的方程為y2=4x. 當(dāng)拋物線的開口向左時(shí),同理可求得拋物線的方程為y2=-4x. 綜上,拋物線的方程為y2=4x或y2=-4x.,類型 二 拋物線性質(zhì)的應(yīng)用 【典型例題】 1.(2013·唐山高二檢測(cè))拋物線y=4x2上一點(diǎn)到直線y=4x-5的距離最短,則該點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) A.( ,1) B.(0,0) C.(1,2) D.(1,4) 2.已知A,B是拋物線y2=2px(p0)上兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn),求直線AB的方程.,【解題探究】1.題1中求拋物線上的一點(diǎn)到已知直線的距離最短的解題思路一般有哪些? 2.以原點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)的三角形的“四心”在拋物線的對(duì)稱軸上,另兩個(gè)頂點(diǎn)的位置關(guān)系如何? 探究提示: 1.一般有三種方法:(1)構(gòu)造函數(shù)法.(2)數(shù)形結(jié)合法.(3)轉(zhuǎn)化法. 2.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,另兩個(gè)頂點(diǎn)必定關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.,【解析】1.選A.方法一:設(shè)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,4x2), 其中x∈R,由點(diǎn)到直線的距離公式得 ∴當(dāng)x= 時(shí),d最小.這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為( ,1).,方法二:設(shè)與y=4x-5平行的拋物線y=4x2的切線方程為y=4x+m, 由 得4x2-4x-m=0. 再由Δ=16-4×4×(-m)=0得m=-1. 這時(shí)切點(diǎn)為( ,1),切點(diǎn)( ,1)到y(tǒng)=4x-5的距離最小.,2.如圖所示.設(shè)A(x0,y0), 由題意可知B(x0,-y0), 又F( ,0)是△AOB的垂心, 則AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1, 即 ∴y02=x0(x0- ), 又y02=2px0,∴x0=2p+ = . 因此直線AB的方程為x= .,【互動(dòng)探究】題2中,若把“垂心”改為“重心”,AB的方程如 何? 【解析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,因?yàn)镕為△OAB的重心,所以A,B 兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱.又根據(jù)重心的性質(zhì), ∵|OF|= , ∴AB的方程應(yīng)為,【拓展提升】拋物線的主要性質(zhì)及應(yīng)用方向,類型 三 拋物線中的證明問題 【典型例題】 1.證明以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切. 2.已知過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn). 求證:(1)x1x2為定值. (2) 為定值.,【解題探究】1.判斷直線與圓位置關(guān)系時(shí)最常用的方法是什么? 2.什么是定值? 探究提示: 1.判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí),一般利用幾何法進(jìn)行判斷,即判斷圓心到直線的距離與半徑的大小. 2.定值就是代數(shù)式化簡的結(jié)果與任何參數(shù)都無關(guān).,【證明】1.如圖,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1, M為AB的中點(diǎn),作MM1⊥l于M1,則由拋物線的 定義可知|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1A中, |MM1|= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 故以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓,必與拋物線的準(zhǔn)線相切.,2.(1)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F( ,0),當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí), 設(shè)直線AB的方程為y=k(x- )(k≠0). 由 消去y, 得k2x2-p(k2+2)x+ =0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2= (定值). 當(dāng)AB⊥x軸時(shí),x1=x2= ,x1x2= 也成立.,(2)由拋物線的定義知,|FA|=x1+ ,|FB|=x2+ . 又由(1)得x1x2= , 所以 = = (定值).,【拓展提升】解決與拋物線有關(guān)的證明問題應(yīng)注意的四點(diǎn),【變式訓(xùn)練】如圖,M是拋物線y2=x上的一點(diǎn), 動(dòng)弦ME,MF分別交x軸于A,B兩點(diǎn), 且|MA|=|MB|.若M為定點(diǎn). 證明:直線EF的斜率為定值.,【證明】設(shè)M(y02,y0),直線ME的斜率為k(k0), 則直線MF的斜率為-k, ∴直線ME的方程為y-y0=k(x-y02). 由 消去x,得 ky2-y+y0(1-ky0)=0. 解得,同理可得 ∴ =- (定值). ∴直線EF的斜率為定值.,【易錯(cuò)誤區(qū)】拋物線最值問題中忽視范圍致誤 【典例】(2013·安陽高二檢測(cè))若拋物線x2=2y上距離點(diǎn)A(0,a)的最近點(diǎn)恰好是拋物線的頂點(diǎn),則a的取值范圍是( ) A.a0 B.0a≤1 C.a≤1 D.a≤0,【解析】選C.設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則 |PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2 =y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1). ∵y∈［0,+∞)① ,根據(jù)題意知, (1)當(dāng)a-1≤0,即a≤1,y=0時(shí), dmin2=a2.這時(shí)dmin=|a|. (2)當(dāng)a-10,即a1時(shí),y=a-1時(shí)d2取到最小值,不符合題意. 綜上可知a≤1.,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.不要忽視拋物線中范圍 拋物線中的變量是有范圍的,解題中若忽視了這一點(diǎn),會(huì)使討論起來更加復(fù)雜,或解題中妄加猜測(cè),如本例中y的范圍為[0,+∞). 2.分類討論思想的應(yīng)用 求最值時(shí),若對(duì)稱軸與變量范圍不確定時(shí),需分類討論,如本例中,因y≥0,故分a-1≤0或a-10兩種情況討論.,【類題試解】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)(a∈R),則曲線y2=2x上的點(diǎn)到A點(diǎn)的距離的最小值為 . 【解析】設(shè)曲線y2=2x上的點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為d,拋物線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則d2=(x-a)2+y2=x2-(2a-2)x+a2 =[x-(a-1)]2+(2a-1). 因?yàn)閤∈[0,+∞),所以當(dāng)a≥1時(shí),dmin2=2a-1,dmin= ; 當(dāng)a1時(shí),dmin2=a2,dmin=|a|. 答案: 或|a|,1.拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( ) A. B. C. D.3 【解析】選A.設(shè)拋物線y=-x2上一點(diǎn)為(m,-m2),該點(diǎn)到直線 4x+3y-8=0的距離為 當(dāng)m= 時(shí),取得最小值 為 .,2.方程(3-m)y2=(m-1)x表示拋物線,其中m不能為( ) A.1 B.3 C.1或3 D.1且3 【解析】選D.由條件知 ,解得m≠3且m≠1,故選D.,3.拋物線y2=mx的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(2,2 )在此拋物線上,M為 線段PF的中點(diǎn),則點(diǎn)M到該拋物線準(zhǔn)線的距離為( ) A.1 B. C.2 D. 【解析】選D.點(diǎn)P(2,2 )在拋物線y2=mx上,所以m=4, 拋物線的準(zhǔn)線為x=-1. ∴拋物線y2=mx的焦點(diǎn)為F(1,0),M為線段PF的中點(diǎn), ∴M的坐標(biāo)為( ), ∴M到拋物線的準(zhǔn)線x=-1的距離 .,4.拋物線y2=8x上到其準(zhǔn)線和頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為 . 【解析】根據(jù)定義知,拋物線上的點(diǎn)P到頂點(diǎn)的距離和到焦點(diǎn)的距離相等,∴P在OF的中垂線上,∵F(2,0), ∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1. 把x=1代入y2=8x得y=±2 . 故P(1,±2 ). 答案:(1,-2 )和(1,2 ),5.拋物線y2=2x上點(diǎn)P(1,- )到其焦點(diǎn)的距離為 . 【解析】焦點(diǎn)為F( ,0), ∴d= 故P(1,- )到拋物線焦點(diǎn)的距離為 . 答案:,6.已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上,直線l過F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,【解析】由題意,拋物線方程為y2=2px(p≠0), 焦點(diǎn)F 直線l:x= , ∴A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)為 ∴|AB|=2|p|. ∵△OAB的面積為4, ∴ ·2|p|=4,∴p=±2 ∴拋物線方程為y2=±4 x.,