高中數(shù)學 2.7向量應用舉例課件 北師大版必修4.ppt

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§7 向量應用舉例,【題型示范】 類型一 向量在解析幾何中的應用 【典例1】 (1)(2014·蘇州高一檢測)過點P(1,1)，且法向量為n=(4,-3)的直線l的方程為____________. (2)已知點A(-1，2)，直線l:4x-3y+9=0. 求：①過點A且與直線l平行的直線方程. ②過點A且與直線l垂直的直線方程.,【解題探究】1.直線l的法向量與直線有什么關系？ 2.如何由直線l方程中x，y的系數(shù)確定題(2)中直線方程的斜率k？ 【探究提示】1.垂直. 2.①由直線l得到其方向向量u= 再定k. ②由直線l得到其法向量n=(4,-3)再確定k.,【自主解答】(1)設M(x,y)是直線l上任一點， 則 =(x-1,y-1), 又n⊥ ，故(4，-3)·(x-1,y-1)=0，即4x-3y-1=0. 答案：4x-3y-1=0,(2)方法一：直線l的斜率 向量u= 與直線l平行. ①設P是過A且與l平行的直線上的動點，P的坐標是(x,y)，則 =(x+1,y-2)，所求直線與l平行，當且僅當u∥ ,轉化為 坐標表示，即為1×(y-2)- ×(x+1)=0,整理得4x-3y+10=0, 這就是所求的過A且與l平行的直線方程.,②設Q(x,y)為直線l上一動點，則 =(x+1,y-2)，點Q在過A 且垂直于l的直線上，當且僅當u· =0,轉化為坐標表示，即 為1×(x+1)+ ×(y-2)=0, 整理得3x+4y-5=0, 這就是所求的過A且與l垂直的直線方程.,方法二：因為向量(4，-3)與直線l垂直， 所以n=(4,-3)是l的法向量. ①設P(x,y)為直線l上一動點，則 =(x+1,y-2).點P在與l平行 的直線上，當且僅當n· =0.轉化為坐標表示即為4(x+1)+ (-3)(y-2)=0,整理得4x-3y+10=0，這就是所求的過A且與l平行 的直線方程.,②設Q(x,y)為一動點，則 =(x+1,y-2),點Q在與l垂直的直 線上，當且僅當 與n共線，即n∥ ,轉化為坐標表示即為 4(y-2)+3(x+1)=0, 整理得：3x+4y-5=0, 即為過A且與l垂直的直線方程.,【延伸探究】若把題(2)的直線換成4x-5y+1=0,其他條件不 變，怎樣求過點A且與直線l垂直的直線方程. 【解析】取直線l的法向量n=(4，-5)， 設點P(x,y)在所求直線上，且 =(x+1,y-2).由題意知 與 n平行，即4(y-2)-(-5)(x+1)=0, 所以5x+4y-3=0.,【方法技巧】 1.直線的法向量n,2.利用方向向量及法向量求直線方程的關鍵及常用結論 (1)關鍵是探尋所求直線的方向向量同已知直線方向向量或法向量的關系. (2)常用結論如下: ①所求直線與已知直線平行，則和已知直線的方向向量平行，和已知直線的法向量垂直. ②所求直線與已知直線垂直，則和已知直線的方向向量垂直，和已知直線的法向量平行.,【變式訓練】求通過點A(－2,1)，且平行于向量a＝(3,1)的直 線方程． 【解題指南】在直線上任取一點P(x，y)，則 ＝(x＋2，y－ 1)，由 ∥a，利用向量平行的條件可寫出方程． 【解析】設P(x，y)是所求直線上的任一點， ＝(x＋2，y－1)． 因為 ∥a，所以(x＋2)×1－3(y－1)＝0. 即所求直線方程為x－3y＋5＝0.,【補償訓練】求證直線l1:y=3x-1與l2: 互相垂直. 【證明】在y=3x-1中，分別令x1=0,x2=1，得y1=-1,y2=2.則A(0,-1),B(1,2)是直線l1上的兩個點，類似地，可得l2上的兩點C(0,2)，D(3,1). 所以 =(1,2)-(0,-1)=(1,3)， =(3，1)-(0,2)=(3,-1), =(1,3)·(3,-1)=0, 所以AB⊥CD,故l1⊥l2.,類型二 向量在平面幾何中的應用 【典例2】 (1)(2013·新課標全國卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長為2，E為 CD的中點，則 =_______. (2)如圖，平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中 點，BE，BF分別與AC交于R，T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間 的關系嗎？,【解題探究】1.題(1)中能否用簡易方法求 2.向量 與 與 分別有什么關系？ 【探究提示】1.建立坐標系，用坐標法求 2.向量 與 與 分別共線.,【自主解答】(1)以點Ｂ為原點，以 的方向為x軸，y軸 的正方向建立平面直角坐標系，則A(０,２)，E(２,１)，D(２, ２)，B(０,０)，所以 =(2,-1), =(2,2)，所以 =2. 答案：2,(2)設 則 =a+b. 由 與 共線，因此，存在實數(shù)m，使得 =m(a+b). 又由 與 共線， 因此，存在實數(shù)n，使得 由 得m(a+b)=a+,整理得 由于向量a,b不共線， 所以 解得 所以 同理 于是 所以AR=RT=TC.,【方法技巧】 1.用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路 (1)向量的線性運算法的四個步驟： ①選取基底;②用基底表示相關向量;③利用向量的線性運算或數(shù)量積找相應關系;④把幾何問題向量化. (2)向量的坐標運算法的四個步驟： ①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担虎诎严嚓P向量坐標化;③用向量的坐標運算找相應關系;④把幾何問題向量化.,2.用向量解決平面幾何問題的常用策略 (1)證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平 行四邊形法則，有時也用到向量減法的定義. (2)證明線段平行、三角形相似、判斷兩直線是否平行，常運 用向量平行的條件：a∥b?a=λb(b≠0)，或者a∥b?x1y2- x2y1=0. (3)證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判 斷兩直線是否垂直等，常運用向量垂直的條件：a⊥b?a·b =0，或者a⊥b?x1x2+y1y2=0.,(4)求與夾角相關的問題，往往利用向量的夾角公式cos θ= 如求三角形的面積用公式S= absin C時，可能會利用 夾角公式求出cos C，進而求出sin C. (5)向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如矩形、正方形、 直角三角形等，可建立平面直角坐標系，把向量用坐標表示， 通過代數(shù)運算解決幾何問題.,【變式訓練】求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值. 【解析】如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為x軸、y軸建立直角坐標系， 設A(2a,0),B(0,2a)， 則D(a,0),C(0,a)，,從而可求： =(－2a,a), =(a,－2a),不妨設 , 的夾角為θ, 則cos θ= = = 故所求鈍角的余弦值為,【補償訓練】已知DE是△ABC的中位線，用向量的方法證明： DE= BC，且DE∥BC. 【證明】易知 所以 即DE= BC，又D不在BC上，所以DE∥BC.,類型三 向量在物理中的應用 【典例3】 (1)(2014·安慶高一檢測)用兩條成60°角的繩索拉船，每條繩的拉力是12 N，則合力為( ),(2)一只漁船在航行中遇險，發(fā)出求救警報，在遇險地西南方 向10 n mile處有一只貨船收到警報立即偵察，發(fā)現(xiàn)遇險漁船沿 南偏東75°，以9 n mile/h的速度向前航行，貨船以 21 n mile/h的航速前往營救，并在最短時間內(nèi)與漁船靠近， 求貨船的位移.(其中cos 21°47′= ),【解題探究】1.合力與每條繩的拉力有什么關系？ 2.貨船的位移指什么？ 【探究提示】1.合力為兩個拉力的和. 2.位移指貨船與漁船相遇時所經(jīng)過的路程和方向.,【自主解答】(1)選D.設兩拉力分別為F1和F2，則F1與F2的夾角為60°. 合力F合,則F合=F1+F2, 所以|F合|= = =,(2)如圖，設漁船在A處遇險，貨船在B處發(fā)現(xiàn)漁船遇險，兩船在C處相遇，所經(jīng)時間為t(h). 由已知，∠BAC=45°+75°=120°， 因為 所以 即 所以(21t)2=(9t)2-2×9t×10×cos 120°+100.,化簡得36t2-9t-10=0, 即(3t-2)(12t+5)=0. 因為t＞0，所以 所以 又 所以 即 所以36=196-2×14×10×cos∠ABC+100.,由此解得cos∠ABC= 所以∠ABC=21°47′. 故貨船的位移是北偏東66°47′，距離為14 n mile.,【方法技巧】向量解決物理問題的步驟,【變式訓練】某人騎車以每小時a千米的速度向東行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為每小時2a千米時，感到風從東北方向吹來，試求實際風速和方向.,【解析】設a表示此人以每小時a千米的速度向東行駛的向量，無風時此人感到風速為-a， 設實際風速為v， 那么此時人感到的風速為v-a， 設 因為 所以 這就是感到由正北方向吹來的風速， 因為 所以,于是當此人的速度是原來的2倍時所感受到由東北方向吹來的 風速就是 由題意：∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO， 從而，△POB為等腰直角三角形，所以PO=PB= 即：|v|= 所以實際風速是每小時 千米的西北風.,【補償訓練】已知兩個恒力F1=i+2j,F2=4i-5j，作用于同一質(zhì)點，此質(zhì)點從A(20，15)移動到B(7，0)，其中i,j分別是x軸，y軸正方向上的單位向量.試求： (1)F1,F2分別對質(zhì)點所做的功. (2)F1，F(xiàn)2的合力F對質(zhì)點所做的功.,【解析】因為A(20，15),B(7，0), 所以 =(7-20，0-15)=-13i-15j. 因為i，j分別是x軸，y軸正方向上的單位向量. 所以i·j=0，i2=1,j2=1.,(1)F1對質(zhì)點所做的功 W1= =(i+2j)·(-13i-15j) =-13i2-41i·j-30j2 =-13-30=-43. F2對質(zhì)點所做的功 W2= =(4i-5j)·(-13i-15j) =-52i2+5i·j+75j2=-52+75=23.,(2)因為F=F1+F2=5i-3j, 所以F對質(zhì)點所做的功 W= =(5i-3j)·(-13i-15j) =-65i2-36i·j+45j2=-65+45=-20.,【易錯誤區(qū)】應用向量解決平面幾何問題中的誤區(qū) 【典例】(2014·合肥高一檢測)在△ABC中， = 則△ABC的形狀一定是( ) A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,【解析】選C.由 得 所以 所以 即,所以 所以 所以∠A=90°. 所以△ABC是直角三角形.,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.正確將平面幾何中的邊角關系與向量的運算進行轉化 理解平面幾何中垂直、平行、邊長、夾角等幾何關系與向量平行、垂直、模、夾角等概念與運算間的關系，能正確將幾何關系與向量運算結果之間進行相互轉化，如本例中，由向量關系推得∠A=90°.,2.熟練掌握向量的有關概念與運算 向量的有關概念與運算是將幾何問題向量化后求解的關鍵，若理解錯誤，或運用不當都將造成失誤，如本例①②③處.,【類題試解】(2013·浙江高考)設△ABC，P0是邊AB上一定 點，滿足P0B= AB，且對于邊AB上任一點P，恒有 則( ) A.∠ABC=90° B.∠BAC=90° C.AB=AC D.AC=BC,【解析】選D.設 (0≤λ≤1)， 因為 所以 所以 即,當1≥λ≥ 時，λ+ ≥ 對1≥λ≥ 恒成立，即 所以cos B≤ 當0≤λ＜ 時，λ+ ≤ 恒成立， 所以cos B≥ 綜上可得cos B= 又cos B= 所以 即AC=BC.,