高中數(shù)學(xué) 第一章 集合歸納總結(jié)1課件 北師大版必修1.ppt

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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,集 合,第一章,本章歸納總結(jié),第一章,,,,本章主要學(xué)習(xí)了集合的概念，元素與集合、集合與集合間的關(guān)系，以及子集的性質(zhì)與集合間的運(yùn)算性質(zhì)等． 1．集合是“某些指定對(duì)象的全體” 構(gòu)成集合的元素除了常見(jiàn)的數(shù)或點(diǎn)等數(shù)字對(duì)象外，還可以是其他對(duì)象． 集合的元素具有：①確定性；②互異性；③無(wú)序性． 集合的表示法：列舉法、描述法、Venn圖法． 解答集合問(wèn)題，要明白它所表示的意義，即元素指什么？是什么范圍？緊緊抓住豎線前面的代表元素及它所具有的性質(zhì)．,判斷給定對(duì)象能否構(gòu)成集合時(shí)，要注意它的“確定性”，在表示一個(gè)集合時(shí)，注意它的“互異性”，“無(wú)序性”． 2．元素與集合，集合與集合間的關(guān)系 元素與集合之間是個(gè)體與整體的關(guān)系，不存在大小與相等關(guān)系． 元素與集合間用“∈”或“?”表示． 集合與集合之間有包含關(guān)系，如子集、全集的關(guān)系，相等關(guān)系，真子集關(guān)系． 熟練掌握集合的圖形表示，會(huì)借助韋恩圖、數(shù)軸解決集合問(wèn)題，樹(shù)立數(shù)形結(jié)合解題的意識(shí)．,3．“交、并、補(bǔ)”都是集合的運(yùn)算，對(duì)于兩個(gè)集合而言，交集是指這兩個(gè)集合的公共元素組成的集合，并集是指由這兩個(gè)集合的全部元素組成的集合(要注意集合元素的互異性)．補(bǔ)集必須相對(duì)于指定的全集而言，一個(gè)集合的補(bǔ)集是指由不屬于這個(gè)集合的全集中的全部其它元素組成的集合． 4．求解含參數(shù)的集合運(yùn)算問(wèn)題，先對(duì)集合化簡(jiǎn)，使問(wèn)題明朗化，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，討論時(shí)既不能重復(fù)也不能遺漏．,5．在集合運(yùn)算過(guò)程中應(yīng)力求做到“三化”： (1)意義化：即首先分清集合的類型，是表示數(shù)集、點(diǎn)集，還是某類圖形？是表示函數(shù)的定義域、值域，還是表示方程或不等式的解集？ (2)具體化：具體求出相關(guān)集合中函數(shù)的定義域、值域或方程、不等式的解集等；不能具體求出的，也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)形式． (3)直觀化：借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來(lái)，從而借助“數(shù)形結(jié)合思想”解決問(wèn)題．,1.集合中元素的三性 集合中的元素具有確定性，互異性和無(wú)序性．判斷所給對(duì)象能否構(gòu)成集合時(shí)，特別要注意它的“確定性”，在表示一個(gè)集合時(shí)，要特別注意它的“互異性”，“無(wú)序性”． [例1] 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}， B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值． [思路分析] 根據(jù)集合中的元素對(duì)應(yīng)相等，分情況討論．,學(xué)好集合的關(guān)系是把握“五個(gè)三”,[解析] ∵A＝B，須分情況討論． ①若a＋b＝ac，則a＋2b＝ac2， 解得a＋ac2－2ac＝0. a＝0時(shí)，集合B中的三個(gè)元素均為零，和元素互異性矛盾，故a≠0. ∴c2－2c＋1＝0，即c＝1. 但c＝1時(shí)，B中的三個(gè)元素又相同，故無(wú)解．,2．集合的三種表示方法 集合的常用表示法有列舉法、描述法和Venn圖法．這三種表示方法各有特點(diǎn)，應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題適當(dāng)選用．特別要注意的是，在用描述法表示集合時(shí)，一定要弄清代表元素是什么． [例2] 設(shè)集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則下列關(guān)系中不正確的一個(gè)是( ) A．A∩C＝? B．B∩C＝? C．B?A D．A∪B＝C,[解析] 集合A是由二次函數(shù)y＝x2的自變量x組成的集合，即A＝R；集合B是由二次函數(shù)y＝x2的因變量y組成的集合，即B＝{y|y≥0}；而集合C是由二次函數(shù)y＝x2圖像上所有點(diǎn)組成的集合，為點(diǎn)集．所以A∪B＝R≠C. [答案] D,3．集合的三類 按照集合中元素個(gè)數(shù)的多少，集合可分為有限集、無(wú)限集和空集三類．其中，空集是一個(gè)特殊的集合，它不含有任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解決集合之間關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，它往往易被忽視而導(dǎo)致解題出現(xiàn)失誤． [例3] 設(shè)U＝R，A＝{x|x2－3x－100}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，且B?(?UA)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．,5．集合的三種運(yùn)算 集合的運(yùn)算有交(∩)、并(∪)、補(bǔ)(?UA)，要正確理解并會(huì)進(jìn)行這三種運(yùn)算．設(shè)全集為U，已知集合A、B，則A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，?UA＝{x|x∈U且x?A}． [例5] 已知全集U＝{x|－4≤x≤4，x∈Z}，A＝{－1，a2＋1，a2－3}，B＝{a－3，a－1，a＋1}，且A∩B＝{－2}，求?U(A∪B)． [分析] 要求?U(A∪B)，應(yīng)先求出A∪B，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求參數(shù)a的值．觀察集合A，B中元素的特點(diǎn)，若A∩B＝{－2}，則只能a2－3＝－2成立．,[解析] ∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A. 又∵a2＋10，∴a2－3＝－2，解得a＝±1. 當(dāng)a＝1時(shí)，A＝{－1,2，－2}，B＝{－2,0,2}， 則A∩B＝{－2,2}與A∩B＝{－2}矛盾．∴a≠1. 當(dāng)a＝－1時(shí)，A＝{－1,2，－2}，B＝{－4，－2,0}， 則A∩B＝{－2}符合題意． 此時(shí)A∪B＝{－4，－2，－1,0,2}． 又∵U＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}， ∴?U(A∪B)＝{－3,1,3,4}.,數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁．在日常學(xué)習(xí)中，要注意數(shù)學(xué)思想方法在解題中的運(yùn)用，要增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)，這樣能在求解過(guò)程中迅速找到解題思路或簡(jiǎn)化解題過(guò)程．,集合中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法,1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合．通過(guò)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問(wèn)題化難為易，化抽象為具體．通過(guò)“形”往往可以解決用“數(shù)”很難解決的問(wèn)題．集合中常用的方法是數(shù)軸法和Venn圖法． (1)數(shù)軸法 對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，在進(jìn)行集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算時(shí)，往往由于運(yùn)算力差或考慮不全面而極易出錯(cuò)．此時(shí)，數(shù)軸分析法是個(gè)好幫手，它能將復(fù)雜問(wèn)題直觀化．在具體應(yīng)用時(shí)，要注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心，以免增解或漏解．,[例6] 已知集合A＝{x|－1x3}，B＝{x|x－m2}． (1)若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．,(2)Venn圖法 Venn圖是集合語(yǔ)言中的圖像語(yǔ)言，它易引起清晰的視覺(jué)形象，能直觀地表達(dá)概念，問(wèn)題的本質(zhì)以及相互之間的關(guān)系．加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，對(duì)鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，夯實(shí)基礎(chǔ)，提高能力具有重要意義． [例7] 已知I為全集，集合M，N?I，若M∩N＝N，則( ) A．?IM??IN B．M??IN C．?IM??IN D．M??IN,[解析] 根據(jù)條件畫(huà)出Venn圖，由補(bǔ)集的定義及集合間的關(guān)系可迅速作出選擇． [答案] C,,2．分類討論思想 分類討論思想是數(shù)學(xué)思想中比較重要的一種思想，利用分類討論思想解決分類討論問(wèn)題，已成為高考考查學(xué)生知識(shí)和能力的熱點(diǎn)問(wèn)題．首先，分類討論問(wèn)題一般都覆蓋較多知識(shí)點(diǎn)，有利于對(duì)知識(shí)面的考查；其次，解分類討論問(wèn)題需要有一定的分析能力，一定的分類思想和技巧，運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分類標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到“不重不漏”．,3．轉(zhuǎn)化與化歸思想 在解決一些集合問(wèn)題時(shí)，如果一種集合的表達(dá)形式不好入手，那么就將其轉(zhuǎn)化為另一種形式，使問(wèn)題明朗化，如“A是B的子集”、“A∩B＝A”、“A∪B＝B”、“A?B”等都是同一含義．另外，集合中數(shù)學(xué)語(yǔ)言的常見(jiàn)形式主要有三種，即文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言，通過(guò)合理的相互轉(zhuǎn)化，往往能簡(jiǎn)捷迅速地得到解題思路．,[例9] 某校高一(5)班有50人，其中參加航模小組的有25人，參加電腦小組的有32人，求既參加航模小組又參加電腦小組的人數(shù)的最大值與最小值． [解析] 設(shè)U＝{高一(5)班學(xué)生}，A＝{參加航模小組的學(xué)生}，B＝{參加電腦小組的學(xué)生}． 設(shè)既參加航模小組又參加電腦小組的學(xué)生有x人．如圖所示，從圖中可得至少參加一組的有(25－x)＋x＋(32－x)＝57－x.,4．補(bǔ)集思想 對(duì)于比較復(fù)雜，難于從正面入手的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題時(shí)，可調(diào)整思路，從問(wèn)題的反面入手，探求已知和未知的關(guān)系，這樣往往能化難為易，從而將問(wèn)題解決，這就是補(bǔ)集思想，補(bǔ)集思想具有轉(zhuǎn)換研究對(duì)象的功能，是轉(zhuǎn)化思想的又一體現(xiàn)．集合中的補(bǔ)集運(yùn)算常常與方程、不等式等相聯(lián)系，特別是否定性的條件，如a?A，可轉(zhuǎn)化為a∈?RA，有時(shí)求解將會(huì)十分方便，省去一些復(fù)雜的討論．,[例10] 若三個(gè)方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．,集合中的創(chuàng)新題主要是指題目中引入了新概念、新術(shù)語(yǔ)、新符號(hào)或定義新的運(yùn)算的問(wèn)題，處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確地理解相關(guān)“新內(nèi)容”的含義，依據(jù)其含義尋找解題的切入點(diǎn)． [例11] 設(shè)M，P是兩個(gè)非空集合，定義M與P的差集為M－P＝{x|x∈M，且x?P}，則M－(M－P)等于( ) A．P B．M∩P C．M∪P D．M,集合中的創(chuàng)新題,[解析] 本題是差集問(wèn)題，可以從所給的定義入手轉(zhuǎn)化為集合的交、并運(yùn)算式進(jìn)行推理，也可直接從M－(M－P)的意義上去考慮． 當(dāng)M∩P≠?時(shí)，由Venn圖知，M－P為圖形中的陰影部分，則M－(M－P)顯然為M∩P. 當(dāng)M∩P＝?時(shí)，M－P＝M，則M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M且x?M}＝?. [答案] B,,一、選擇題 1．(2015·山東高考)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，則A∩B＝( ) A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4) [答案] C [解析] 因?yàn)锽＝{x|1＜x＜3}，所以A∩B＝(2,3)，故選C.,2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，則(?UA)∩B＝( ) A．{0} B．{2} C．{0,1,2} D．? [答案] A [解析] ∵?UA＝{0,1}，∴(?UA)∩B＝{0}，故選A.,3．設(shè)P＝{x|x4}，Q＝{x|－2x2}，則( ) A．P?Q B．Q?P C．P??RQ D．Q??RP [答案] D [解析] ∵Q＝{x|－2x2}， 而?RP＝{x|x≤4}， ∴Q??RP.,4．如果A＝{x|x－1}，那么正確的結(jié)論是( ) A．0?A B．{0}A C．{0}∈A D．?∈A [答案] B [解析] 由于0－1，所以{0}A.而選項(xiàng)A，C，D對(duì)于元素與集合、集合與集合的關(guān)系使用符號(hào)不對(duì)，故都是錯(cuò)誤的．,5．集合A＝{1,2,3,4}，BA，且1∈(A∩B)，4?(A∩B)，則滿足上述條件的集合B的個(gè)數(shù)是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 [答案] C [解析] 由1∈(A∩B)，且4?(A∩B)，得1∈B， 但4?B，又BA， ∴集合B中至少含有一個(gè)元素1，至多含有3個(gè)元素1,2,3，故集合B可以為{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．,二、填空題 6．已知集合A＝{x∈R||x－1|2}，Z為整數(shù)集，則集合A∩Z中所有元素的和等于________． [答案] 3 [解析] 用列舉法將A∩Z中的元素列舉出來(lái)相加即可． A＝{x∈R||x－1|2}＝{x∈R|－1x3} ∴A∩Z＝{0,1,2}． ∴A∩Z的元素的和為3.,7．設(shè)集合A＝{x∈Z|x≤－3}，B＝{x∈Z|x≤2}，全集U＝Z，則(?UA)∩B＝________. [答案] {－2，－1,0,1,2} [解析] ∵U＝Z，A＝{x∈Z|x≤－3}， B＝{x∈Z|x≤2}， ∴?UA＝{x∈Z|x－3}， ∴(?UA)∩B＝{x∈Z|－3x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}．,8．已知集合A＝{1,5}，B＝{x|ax－5＝0}，且A∪B＝A，則由a的取值組成的集合為_(kāi)_______． [答案] {0,1,5} [解析] ∵A∪B＝A，∴B?A. 當(dāng)B＝?時(shí)，a＝0；當(dāng)B＝{1}時(shí)，a＝5； 當(dāng)B＝{5}時(shí)，a＝1， ∴由a的取值組成的集合為{0,1,5}．,三、解答題 9．已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}． (1)若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)若x∈N，求集合A的子集的個(gè)數(shù)．,