高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用歸納總結(jié)4課件 北師大版必修1.ppt
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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函數(shù)應(yīng)用,第四章,本章歸納總結(jié),第四章,,1.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn). 方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn). 零點(diǎn)性質(zhì):如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)0,那么y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.,2.二分法 對(duì)于區(qū)間[a,b]上圖像連續(xù)不斷,且f(a)f(b)0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫作二分法. 3.用二分法求零點(diǎn)的近似值的步驟: 第1步:確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)·f(b)0,給定精確度ε; 第2步:求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)x1;,第3步:計(jì)算f(x1); (1)若f(x1)=0,則x1就是函數(shù)的零點(diǎn); (2)若f(a)·f(x1)0,則令b=x1[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,x1)]; (3)若f(x1)·f(b)0,則令a=x1[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(x1,b)]; (4)若滿足精度ε時(shí),a,b近似值相等,則其值為所求,否則重復(fù)(2)~(4).,4.函數(shù)應(yīng)用題,就是指用數(shù)學(xué)的方法將一個(gè)表面上非數(shù)學(xué)問(wèn)題或非完全的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成完全形式化的數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題. 求解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的思路和方法,我們可以用示意圖表示為:,,,5.解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題,一般地可按以下四步進(jìn)行. 第1步:閱讀理解、認(rèn)真審題. 就是讀懂題中的文字?jǐn)⑹?,理解敘述所反映的?shí)際背景,領(lǐng)悟從背景中概括出來(lái)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).尤其是理解敘述中的新名詞、新概念,進(jìn)而把握住新信息. 在此基礎(chǔ)上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知識(shí),確定自變量與函數(shù)值的意義,嘗試找出問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系.審題時(shí)要抓住題目中關(guān)鍵的量,要勇于嘗試、探索,敢于發(fā)現(xiàn)、歸納,善于聯(lián)想、化歸,實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.,第2步:引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),建立數(shù)學(xué)模型. 一般地設(shè)自變量為x,函數(shù)為y,并用x表示各相關(guān)量,然后根據(jù)問(wèn)題的已知條件,運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化,即所謂建立數(shù)學(xué)模型. 第3步:利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答,求得結(jié)果. 第4步:再轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出回答.,1.函數(shù)零點(diǎn)的判斷 由于函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)之間有著內(nèi)在的本質(zhì)的聯(lián)系,所以函數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題,方程問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和方程根的存在條件,我們常借助不等式來(lái)求解相關(guān)的問(wèn)題,其間,要善于結(jié)合函數(shù)圖像,從中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的作用.,基本題型歸納,,[點(diǎn)評(píng)] 確定函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間時(shí),可以從形與數(shù)兩個(gè)方面共同考慮.先根據(jù)函數(shù)的圖像,得到函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間,再驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值是否反號(hào),這需要函數(shù)的圖像要較準(zhǔn)確.,2.方程根的區(qū)間分布 [例2] 求實(shí)數(shù)m的取值范圍,使關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0. (1)有兩個(gè)實(shí)根,且一個(gè)比2大,一個(gè)比2??; (2)有兩個(gè)實(shí)根,且都大于1; (3)有兩實(shí)數(shù)根α、β,且滿足0α1β4; (4)至少有一個(gè)正根. [分析] 利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)和根的判別式求解.,[點(diǎn)評(píng)] 解決本題要注意與二次函數(shù)圖像的結(jié)合,可以作出各種情況的草圖幫助解題,另外對(duì)于(4)的分類,要特別注意一根為正、一根為零的情況.,用二分法逐步計(jì)算,列表如下:,[點(diǎn)評(píng)] 1.求根式的近似值,實(shí)質(zhì)上就是將根式轉(zhuǎn)化為方程的無(wú)理根,利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì),通過(guò)二分法求解. 2.二分法思想實(shí)質(zhì)上是一種逼近思想,所求值與近似值間的差異程度取決于精確值.,4.函數(shù)建模應(yīng)用問(wèn)題 [例4] 點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿周長(zhǎng)為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周,設(shè)O、P的距離y與點(diǎn)P所走的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則點(diǎn)P所走的圖形是( ),,1.函數(shù)與方程思想 在數(shù)學(xué)上,解方程是很重要的內(nèi)容,但是能夠?qū)⒕_解求出來(lái)的方程不是很多,五次以上的一般代數(shù)方程,一般的超越方程,以及實(shí)際生活和物理研究中的方程,我們只能求它的有理近似解.而將解方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題,利用函數(shù)的整體性質(zhì)來(lái)認(rèn)識(shí)局部性質(zhì)是求方程近似解的一般方法.解方程實(shí)際是求函數(shù)的零點(diǎn),這樣指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程等超越方程和五次以上的高次代數(shù)方程就可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)的求解問(wèn)題.,數(shù)學(xué)思想方法,2.?dāng)?shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法,它把數(shù)學(xué)關(guān)系的精確刻畫(huà)與幾何圖形的直觀形象有機(jī)地結(jié)合起來(lái),充分暴露問(wèn)題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解決.?dāng)?shù)形結(jié)合常用于解方程、不等式和求函數(shù)值域等問(wèn)題中.,3.分類討論思想 有些實(shí)際問(wèn)題,在建立函數(shù)模型的過(guò)程中,可能會(huì)涉及多種說(shuō)不清楚的情況,此時(shí),應(yīng)運(yùn)用分類討論的思想,對(duì)它進(jìn)行分類討論,從而順利地建模.分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)視具體情況而定,但要遵循“不重不漏”的原則. [例7] 我國(guó)是水資源比較貧乏的國(guó)家之一,各地采用價(jià)格調(diào)控等手段來(lái)達(dá)到節(jié)約用水的目的.某市用水收費(fèi)的方法是:水費(fèi)=基本費(fèi)+超額費(fèi)+損耗費(fèi).,若每月用水量不超過(guò)最低限量am3,只付基本費(fèi)8元和每戶每月定額損耗費(fèi)c元;若用水量超過(guò)am3時(shí),除了付以上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外,超過(guò)部分按b元/m3支付超額費(fèi).已知每戶每月的定額損耗費(fèi)不超過(guò)5元. 該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如下表所示,根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求a,b,c.,[分析] 易知2月份,3月份的用水量已超過(guò)了最低限量am3,但1月份的用水量是否已超過(guò)最低限量,需要進(jìn)行分類討論.,一、選擇題 1.若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}且f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),f(2)=0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有( ) A.唯一一個(gè) B.兩個(gè) C.至少兩個(gè) D.無(wú)法判斷 [答案] B,[解析] 由已知條件得f(-2)=f(2)=0,畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖像如下圖所示,可知f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).,,3.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中,每30分鐘分裂一次(由一個(gè)分裂成兩個(gè)),這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成1024個(gè)需經(jīng)過(guò)( ) A.5小時(shí) B.6小時(shí) C.7小時(shí) D.8小時(shí) [答案] A [解析] 因?yàn)榧?xì)菌每30分鐘分裂一次,一小時(shí)分裂兩次,所以細(xì)菌個(gè)數(shù)y與分裂時(shí)間t小時(shí)的函數(shù)關(guān)系式為y=22t,把y=1024代入得1024=22t,1024=22×5=22t, 所以t=5(小時(shí)),故選A.,5.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)內(nèi)恰有一解,則a的取值范圍是( ) A.a(chǎn)1 C.-1a1 D.0≤a1 [答案] B,二、填空題 6.已知二次函數(shù)f(x)=x2+x+a(a0)有兩個(gè)零點(diǎn),若f(m)0,則在(m,m+1)上函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________. [答案] 1,7.現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200g,要將它制成工業(yè)生產(chǎn)上需要的含鹽在5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食鹽水,設(shè)需加入4%的食鹽水xg,則x的取值范圍是________. [答案] (100,400),[答案] A、B、E或B、D、E、F [解析] 當(dāng)投資為13億元時(shí),有以下兩種投資選擇方案:f(A,B,E)=0.55+0.4+0.9=1.85(投資13億元); f(B,D,E,F(xiàn))=0.4+0.5+0.9+0.1=1.9(投資13億元).,三、解答題 9.某純凈水制造廠在凈化水的過(guò)程中,每增加一次過(guò)濾可減少水中雜質(zhì)20%. (1)寫(xiě)出水中雜質(zhì)含量y與過(guò)濾的次數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式. (2)要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下,則至少需要過(guò)濾幾次?(lg2≈0.3010) [分析] (1)利用歸納猜想的方法得函數(shù)關(guān)系式; (2)利用(1)的結(jié)論轉(zhuǎn)化為解不等式.,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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