中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 熱點專題突破 專題八 解題之金鑰匙—數(shù)學(xué)思想方法課件.ppt

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專題八 解題之金鑰匙——數(shù)學(xué)思想方法,著名的生物學(xué)家達(dá)爾文曾經(jīng)說過:“最有價值的知識,就是關(guān)于方法的知識”.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的靈魂,是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能的本質(zhì)體現(xiàn),是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙,具有“四兩撥千斤”之效.因此掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法,不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本要求,而且能夠使數(shù)學(xué)能力不斷提高,從而在中考中取得好成績. 安徽中考常用到的數(shù)學(xué)思想方法有:整體思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想等.在中考復(fù)習(xí)備考階段,應(yīng)系統(tǒng)總結(jié)這些數(shù)學(xué)思想與方法,掌握了它的實質(zhì),就可以把所學(xué)的知識融會貫通,解題時可以舉一反三,預(yù)計2017年安徽中考仍將對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行重點考查.,1.整體思想:整體是與局部對應(yīng)的,按常規(guī)不容易求某一個(或多個)未知量時,可打破常規(guī),根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征,把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一個整體,從而使問題得到解決. 2.分類思想:體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.分類的原則:①分類中的每一部分是相互獨立的;②一次分類按一個標(biāo)準(zhǔn);③分類討論應(yīng)逐級進(jìn)行.正確的分類必須是周全的,既不重復(fù),也不遺漏. 3.轉(zhuǎn)化思想:在研究數(shù)學(xué)問題時,我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題,將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. 4.數(shù)形結(jié)合思想:從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系,尋求代數(shù)問題的解決方法(以形助數(shù)),或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì),解決幾何問題(以數(shù)助形).數(shù)形結(jié)合思想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來,使問題得以解決. 5.方程思想:用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程(組).這種思想在代數(shù)、幾何及實際生活中有著廣泛的應(yīng)用.,6.構(gòu)造思想:用運動和變化的觀點,集合與對應(yīng)的思想,去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系,構(gòu)造函數(shù)或幾何圖形,運用函數(shù)性質(zhì)或圖形性質(zhì)分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題得到解決.運用構(gòu)造思想要善于抓住事物在運動過程中那些保持不變的規(guī)律和性質(zhì).,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法1 整體思想 典例1 (2016·四川雅安)已知a2+3a=1,則代數(shù)式2a2+6a-1的值為 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】直接利用已知將原式變形,進(jìn)而代入代數(shù)式求出答案.∵a2+3a=1,∴2a2+6a-1= 2(a2+3a)-1=2×1-1=1. 【答案】 B,【規(guī)律總結(jié)】整體思想是指把研究對象的某一部分(或全部)看成一個整體,通過觀察與分析,找出整體與局部的聯(lián)系,從而在客觀上尋求解決問題的新途徑.求代數(shù)式的值,一般是在知道字母取值的條件下進(jìn)行的,但有些代數(shù)式,字母的值不知道或不易求出時,靈活變形,采用整體代入的方法,往往使問題簡便獲解.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法2 分類思想 典例2 (2016·哈爾濱)在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,點P為邊BC的三等分點,連接AP,則AP的長為 .,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,【歸納總結(jié)】在解答某些數(shù)學(xué)問題時,有時會遇到多種情況,需要對各種情況加以分類,并逐類求解,然后綜合得解,這就是分類討論法.分類的原則:(1)分類中的每一部分是相互獨立的;(2)一次分類按一個標(biāo)準(zhǔn);(3)分類討論應(yīng)逐級進(jìn)行.正確的分類必須是周全的,既不重復(fù)、也不遺漏.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法3 轉(zhuǎn)化思想 典例3 (2016·淮南模擬)按下列程序進(jìn)行運算(如圖). 規(guī)定:程序運行到“判斷結(jié)果是否大于244”為一次運算.若x=5,則運算進(jìn)行 次才停止;若運算進(jìn)行了5次才停止,則x的取值范圍是 . 【解析】本題為程序信息題,通過轉(zhuǎn)化借用一元一次不等式組求解問題.(1)x=5,第一次: 5×3-2=13;第二次:13×3-2=37;第三次:37×3-2=109;第四次:109×3-2=325244,停止.(2)第1次,結(jié)果是3x-2;第2次,結(jié)果是3×(3x-2)-2=9x-8;第3次,結(jié)果是3×(9x-8)-2=27x-26; 第4次,結(jié)果是3×(27x-26)-2=81x-80;第5次,結(jié)果是3×(81x-80)-2=243x-242,∴ 解得2x≤4,即運行5次才停止,x的取值范圍是2x≤4. 【答案】 4,2x≤4,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,【方法指導(dǎo)】轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種最基本的數(shù)學(xué)思想.在研究數(shù)學(xué)問題時,我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題,將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵非常豐富,已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間都可以通過轉(zhuǎn)化來獲得解決問題的轉(zhuǎn)機(jī).,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法4 數(shù)形結(jié)合思想 典例4 (2016·亳州模擬)數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的思想方法,試運用這一思想方法確定函數(shù)y=x2+1與y= 的交點的橫坐標(biāo)x0的取值范圍是 ( ) A.0x01 B.1x02 C.2x03 D.-1x00 【解析】本題考查二次函數(shù)圖象、反比例函數(shù)圖象.如圖,函數(shù)y=x2+1與y= 的交點在第一象限,橫坐標(biāo)x0的取值范圍是1x02. 【答案】 B,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法5 方程思想 典例5 (2016·廣西河池)如圖的三角形紙片中,AB=AC,BC=12 cm,∠C=30°,折疊這個三角形,使點B落在AC的中點D處,折痕為EF,那么BF的長為 cm.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,【解析】本題考查翻折變換(折疊問題).過點D作DH⊥BC于點H,過點A作AN⊥BC于點N,∴AN∥DH,∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,根據(jù)折疊可得:DF=BF,∠EDF=∠B=30°,∵AB=AC,BC=12cm,∴BN=NC=6cm,∵點B落在AC的中點D處,AN∥DH,∴NH=HC=3cm,∴DH=3tan30°=,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,【規(guī)律總結(jié)】從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手,適當(dāng)設(shè)定未知數(shù),把所研究的數(shù)學(xué)問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系,轉(zhuǎn)化為方程或方程組的數(shù)學(xué)模型,從而使問題得到解決的思維方法,這就是方程思想.用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程(組).這種思想在代數(shù)、幾何及實際生活中有著廣泛的應(yīng)用.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法6 構(gòu)造思想 典例6 為有效開發(fā)海洋資源,保護(hù)海洋權(quán)益,我國對南海諸島進(jìn)行了全面調(diào)查.一測量船在A島測得B島在北偏西30°,C島在北偏東15°,航行100海里到達(dá)B島,在B島測得C島在北偏東45°.求B,C兩島及A,C兩島的距離.( ≈2.45,結(jié)果保留到整數(shù)) 【解析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題.過點B作BD⊥AC于點D,由等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD的長,再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,【答案】由題意知,∠BAC=45°,∠FBA=30°,∠EBC=45°,AB=100海里. 過點B作BD⊥AC于點D, ∴△BAD為等腰直角三角形,,2,1,3,4,5,6,7,1.(2016·貴州黔南州)王杰同學(xué)在解決問題“已知A,B兩點的坐標(biāo)為A(3,-2),B(6,-5),求直線AB關(guān)于x軸的對稱直線A'B'的解析式”時,解法如下:先是建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),標(biāo)出A,B兩點,并利用軸對稱性質(zhì)求出A',B'的坐標(biāo)分別為A'(3,2),B'(6,5);然后設(shè)直線A'B'的解析 式為y=kx+b(k≠0),并將A'(3,2),B'(6,5)代入y=kx+b中,得方程組 最后求得直線A'B'的解析式為y=x-1.則在解題過程中他運用到的數(shù)學(xué)思想是 ( D ) A.分類討論與轉(zhuǎn)化思想 B.分類討論與方程思想 C.數(shù)形結(jié)合與整體思想 D.數(shù)形結(jié)合與方程思想,,2,1,3,4,5,6,7,【解析】第一步:建立平面直角坐標(biāo)系,標(biāo)出A,B兩點,并利用軸對稱性質(zhì)求出A',B'的坐標(biāo)分別為A'(3,2),B'(6,5),這是依據(jù)軸對稱的性質(zhì)求得點的坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對),運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;第二步:設(shè)直線A'B'的解析式為y=kx+b(k≠0),并將A'(3,2),B'(6,5)代入y=kx+b中, 得方程組 最后求得直線A'B'的解析式為y=x-1,這里根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,列出方程求得待定系數(shù),運用了方程思想.,2,1,3,4,5,6,7,2.(2016·山東青島)輸入一組數(shù)據(jù),按下列程序進(jìn)行計算,輸出結(jié)果如表: 分析表格中的數(shù)據(jù),估計方程(x+8)2-826=0的一個正數(shù)解 x的大致范圍為 ( C ) A.20.5x20.6 B.20.6x20.7 C.20.7x20.8 D.20.8x20.9 【解析】由表格可知,當(dāng)x=20.7時,(x+8)2-826=-2.31,當(dāng)x=20.8時,(x+8)2-826=3.44,故(x+8)2-826=0時,20.7x20.8.,,2,1,3,4,5,6,7,3.(2016·廣東深圳)給出一種運算:對于函數(shù)y=xn,規(guī)定y'=nxn-1.例如:若函數(shù)y=x4,則有y'=4x3.已知函數(shù)y=x3,則方程y'=12的解是 ( B ) A.x1=4,x2=-4 B.x1=2,x2=-2 C.x1=x2=0 【解析】由函數(shù)y=x3得n=3,則y'=3x2,∴3x2=12,x2=4,x=±2,∴x1=2,x2=-2.,,2,1,3,4,5,6,7,4.(2016·四川達(dá)州)如圖,在5×5的正方形網(wǎng)格中,從在格點上的點A,B,C,D中任取三點,所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為 ( D ) 【解析】∵從點A,B,C,D中任取三點能組成三角形的一共有4種可能,其中△ABD, △ADC, △ABC是直角三角形,∴所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為 .,,2,1,3,4,5,6,7,5.(2016·貴州遵義)如圖①,四邊形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,動點P從A點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度,按A→B→C→D的順序在邊上勻速運動,設(shè)點P的運動時間為t秒, △PAD的面積為S,S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖②所示,當(dāng)P運動到BC中點時,△PAD的面積為 5 .,【解析】由圖象可知,AB+BC=6,AB+BC+CD=10,∴CD=4, 根據(jù)題意可知,當(dāng)P點運動到C點時,△PAD的面積最大,S△PAD=,,2,1,3,4,5,6,7,6.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題,要在某河道建一座水泵站,分別向河的同一側(cè)張村A和李村B送水.經(jīng)實地勘查后,工程人員設(shè)計圖紙時,以河道上的大橋O為坐標(biāo)原點,以河道所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖),兩村的坐標(biāo)分別為A(2,3),B(12,7). (1)若從節(jié)約經(jīng)費考慮,水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管最短? (2)水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方,可使它到張村、李村的距離相等?,2,1,3,4,5,6,7,解:(1)如圖,作點B關(guān)于x軸的對稱點E,連接AE, 則點E為(12,-7). 設(shè)直線AE的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,則 ∴直線AE的表達(dá)式為y=-x+5. 當(dāng)y=0時,x=5, ∴水泵站建在距離大橋5 km的地方,可使所用輸水管最短.,2,1,3,4,5,6,7,(2)如圖,作線段AB的垂直平分線GF,交AB于點F,交x軸于點G,作AD⊥x軸于點D,BC⊥x軸于點C. 設(shè)點G的坐標(biāo)為(x,0), 在Rt△AGD中,AG2=AD2+DG2=32+(x-2)2, 在Rt△BCG中,BG2=BC2+GC2=72+(12-x)2, ∵AG=BG,∴32+(x-2)2=72+(12-x)2, 解得x=9. ∴水泵站建在距離大橋9 km的地方,可使它到張村、李村的距離相等.,2,1,3,4,5,6,7,7.(2016·湖北黃石)科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園.如圖所示,圖中點的橫坐標(biāo)x表示科技館從8:30開門后經(jīng)過的時間(分鐘),縱坐標(biāo)y表示到達(dá)科技館的總?cè)藬?shù).圖中曲線對應(yīng) 的函數(shù)解析式為y= 10:00之后來的游客較少可忽略不計. (1)請寫出圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式; (2)為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量,館內(nèi)人數(shù)不超過684人,后來的人在館外休息區(qū)等待.從10:30開始到12:00館內(nèi)陸續(xù)有人離館,平均每分鐘離館4人,直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時,館外等待的游客可全部進(jìn)入.請問館外游客最多等待多少分鐘?,2,1,3,4,5,6,7,