第27章相似提優(yōu)特訓(xùn)及答案(共10份)pdf版.zip

第27章相似提優(yōu)特訓(xùn)及答案(共10份)pdf版.zip,27,相似,提優(yōu)特訓(xùn),答案,10,pdf 第 二 十 七 章 綜 合 提 優(yōu) 測 評 卷 少 說 些 漂 亮 話, 多 做 些 日 常 平 凡 的 事 情. — — — 列 寧 第 二 十 七 章 綜 合 提 優(yōu) 測 評 卷 ( 時 間: ６０ 分 鐘 滿 分: １００ 分) 一、 選 擇 題( 每 題 ２ 分, 共 １８ 分) １ ． 已 知 兩 個 相 似 多 邊 形 的 相 似 比 為 ２∶３ , 它 們 的 面 積 和 為 ７８cm ２ , 則 較 大 的 多 邊 形 的 面 積 是( ) ． A．５４cm ２ B．４６cm ２ C．４２cm ２ D．５２cm ２ ２ ． 如 圖, 小 明 在 打 網(wǎng) 球 時, 使 球 恰 好 能 打 過 網(wǎng), 而 且 落 點 恰 好 在 離 網(wǎng) ６m 的 位 置 上, 則 球 拍 擊 球 的 高 度 h 為( ) ． A． ８ １５ m B．１m C． ４ ３ m D． ８ ５ m ( 第２ 題) ( 第３ 題) ３ ． 如 圖, 在 △ A B C D 中, E 、 F 分 別 是 A D 、 D C 的 中 點, 則 S△ D E F∶ S△ A B C D 為( ) ． A．１∶８ B．１∶６ C．１∶４ D．１∶７ ４ ． 如 圖, 在 △ A B C 中, P 是 邊 A B 上 的 一 點, 連 接 C P , 以 下 條 件 中 不 能 判 定 △ A C P∽△ A B C 的 是( ) ． A．∠ A C P＝∠ B B．∠ A P C＝∠ A C B C． A C ２ ＝ A P ?? A B D． A C C P ＝ A B B C ( 第４ 題) ( 第５ 題) ５ ． 如 圖, 把 △ A B C 沿 A B 平 移 到 △ A ′ B ′ C ′ 的 位 置, 它 們 的 重 疊 部 分 的 面 積 是 △ A B C 的 面 積 的 一 半, 若 A B＝２ , 則 此 三 角 形 移 動 的 距 離 A A ′ 是( ) ． A．２－２ B． ２ ２ C．２－１ D． １ ２ ６ ． 如 圖, 在 平 行 四 邊 形 A B C D 中, 點 G 是 B C 延 長 線 上 的 一 點, A G 與 B D 交 于 點 E , 與 D C 交 于 點 F , 則 圖 中 相 似 三 角 形 共 有( ) ． A．３ 對 B．４ 對 C．５ 對 D．６ 對 ( 第６ 題) ( 第７ 題) ７ ． 甲、 乙 兩 盞 路 燈 底 部 間 的 距 離 是 ３０m , 一 天 晚 上, 當(dāng) 小 華 走 到 距 路 燈 乙 底 部 ５m 處 時, 發(fā) 現(xiàn) 自 己 的 身 影 頂 部 正 好 接 觸 路 燈 乙 的 底 部 ． 已 知 小 華 的 身 高 為 １ ． ５m , 那 么 路 燈 甲 的 高 為( ) ． A．８m B．９m C．１０m D．１２m ８ ． 如 圖, 在 菱 形 A B C D 中, 對 角 線 A C 、 B D 相 交 于 點 O , 點 M 、 N 分 別 是 邊 A B 、 A D 的 中 點, 連 接 O M 、 O N 、 M N , 則 下 列 敘 述 正 確 的 是( ) ． ( 第８ 題) A．△ A O M 和 △ A O N 都 是 等 邊 三 角 形 B． 四 邊 形 M B O N 和 四 邊 形 M O D N 都 是 菱 形 C． 四 邊 形 A M O N 與 四 邊 形 A B C D 是 位 似 圖 形 D． 四 邊 形 M B C O 和 四 邊 形 N D C O 都 是 等 腰 梯 形 ９ ． 如 圖, 在 △ A B C 中, ∠ B A C＝９０ ° , 點 D 是 B C 中 點, A E⊥ A D 交 C B 的 延 長 線 于 點 E , 則 下 列 結(jié) 論 正 確 的 是( ) ． ( 第９ 題) A．△ A E D∽△ A C B B．△ A E B∽△ A C D C．△ B A E∽△ A C E D．△ A E C∽△ D A C 二、 填 空 題( 每 題 ２ 分, 共 １８ 分) １ ０ ． 如 圖, 小 明 在 A 時 測 得 某 樹 的 影 長 為 ２m , B 時 又 測 得 該 樹 的 影 長 為 ８m , 若 兩 次 日 照 的 光 線 互 相 垂 直, 則 樹 的 高 度 為 m． ( 第１０ 題) ( 第１１ 題) １ １ ． 如 圖, 點 D 、 E 分 別 在 △ A B C 的 邊 A B 、 A C 上, 且 ∠ A E D ＝∠ A B C , 若 D E＝３ , B C＝６ , A B＝８ , 則 A E 的 長 為 ． １ ２ ． 如 果 兩 個 位 似 圖 形 的 對 應(yīng) 線 段 長 分 別 為 ２cm 和 ６cm , 且 兩 個 圖 形 的 面 積 之 差 為 １２０cm ２ , 那 么 較 大 圖 形 的 面 積 為 ． １ ３ ． 如 圖, 已 知 A B⊥ B D , E D⊥ B D , 點 C 是 線 段 B D 的 中 點, 且 A C⊥ C E , E D＝１ , B D＝４ , 則 A B＝ ． 書 猶 藥 也, 善 讀 之 可 以 醫(yī) 愚. — — — 劉 向 ( 第１３ 題) ( 第１４ 題) １ ４ ． 已 知 如 圖, 在 △ A B C 中, 過 A B 的 中 點 F 作 D E⊥ B C , 垂 足 為 E , 交 C A 的 延 長 線 于 點 D ． 若 E F＝３ , B E＝４ , ∠ C ＝４５ ° , 則 D F∶ F E 的 值 為 ． １ ５ ． 已 知 △ A B C∽△ A ′ B ′ C ′ , 且 A B＝４ , B C＝５ , A C＝７ , △ A ′ B ′ C ′ 的 周 長 為 ４８ , 那 么 A B 和 A ′ B ′ 邊 上 的 高 的 比 是 ． １ ６ ． 一 天, 小 青 在 校 園 內(nèi) 發(fā) 現(xiàn): 旁 邊 一 棵 樹 在 陽 光 下 的 影 子 和 她 本 人 的 影 子 在 同 一 直 線 上, 樹 頂 的 影 子 和 她 頭 頂 的 影 子 恰 好 落 在 地 面 的 同 一 點, 同 時 還 發(fā) 現(xiàn) 她 站 立 于 樹 影 的 中 點( 如 圖 所 示) ． 如 果 小 青 的 身 高 為 １ ． ６５m , 那 么 由 此 可 推 斷 出 樹 高 是 m ． ( 第１６ 題) ( 第１７ 題) １ ７ ． 如 圖, 在 平 行 四 邊 形 A B C D 中, 點 E 是 邊 B C 上 的 點, A E 交 B D 于 點 F , 如 果 B E B C ＝ ２ ３ , 那 么 B F F D ＝ ． ( 第１８ 題) １ ８ ． 在 方 格 紙 中, 每 個 小 格 的 頂 點 稱 為 格 點, 以 格 點 連 線 為 邊 的 三 角 形 叫 格 點 三 角 形 ． 在 如 圖 ５×５ 的 方 格 中, 作 格 點 △ A B C 和 △ O A B 相 似 ( 相 似 比 不 為 １ ), 則 點 C 的 坐 標(biāo) 是 ． 三、 解 答 題( 第 １９~２３ 題 每 題 ８ 分, 其 余 每 題 １２ 分, 共 ６２ 分) １ ９ ． 如 圖, 已 知 在 △ A B C 中, A B＝１２ , B C＝８ , A C＝６ , 點 D 、 E 分 別 在 A B 、 A C 上, 如 果 以 點 A 、 D 、 E 為 頂 點 的 三 角 形 和 以 點 A 、 B 、 C 為 頂 點 的 三 角 形 相 似, 且 相 似 比 為 １ ３ ． ( １ ) 根 據(jù) 題 意 確 定 點 D 、 E 的 位 置, 畫 出 簡 圖; ( ２ ) 求 A D 、 A E 和 D E 的 長 ． ( 第１９ 題) ２ ０ ． 如 圖, △ A B C 在 方 格 紙 中 ． ( １ ) 請 在 方 格 紙 上 建 立 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系, 使 點 A 的 坐 標(biāo) 為( ２ , ３ ), 點 C 的 坐 標(biāo) 為( ６ , ２ ), 并 求 出 點 B 的 坐 標(biāo); ( ２ ) 以 原 點 O 為 位 似 中 心, 相 似 比 為 ２ , 在 第 一 象 限 內(nèi) 將 △ A B C 放 大, 畫 出 放 大 后 的 圖 形 △ A ′ B ′ C ′ ; ( ３ ) 計 算 △ A ′ B ′ C ′ 的 面 積 S ． ( 第２０ 題) ２ １ ． 如 圖, 點 M 為 線 段 A B 的 中 點, A E 與 B D 交 于 點 C , ∠ D M E＝∠ A＝∠ B＝ α , 且 D M 交 A C 于 點 F , M E 交 B C 于 點 G ． ( １ ) 寫 出 圖 中 三 對 相 似 三 角 形, 并 證 明 其 中 的 一 對; ( ２ ) 連 接 F G , 如 果 α＝４５ ° , A B＝４２ , A F＝３ , 求 F G 的 長 ． ( 第２１ 題) ２ ２ ． 如 圖, 已 知 △ A B C 、 △ D C E 、 △ F E G 是 三 個 全 等 的 等 腰 三 角 形, 底 邊 B C 、 C E 、 E G 在 同 一 直 線 上, 且 A B＝３ , B C ＝１ ． 連 接 B F , 分 別 交 A C 、 D C 、 D E 于 點 P 、 Q 、 R ． ( １ ) 求 證: △ B F G∽△ F E G , 并 求 出 B F 的 長; ( ２ ) 觀 察 圖 形, 請 你 提 出 一 個 與 點 P 相 關(guān) 的 問 題, 并 進 行 解 答 ． ( 根 據(jù) 提 出 問 題 的 層 次 和 解 答 過 程 評 分) ( 第２２ 題) ２ ３ ． ( １ ) 如 圖( １ ), 在 正 方 形 A B C D 中, 對 角 線 A C 、 B D 相 交 于 點 O , 易 知 A C⊥ B D , C O A C ＝ １ ２ ; ( ２ ) 如 圖( ２ ), 若 點 E 是 正 方 形 A B C D 的 邊 C D 的 中 點, 即 D E D C ＝ １ ２ , 過 點 D 作 D G⊥ A E , 分 別 交 A C 、 B C 于第 二 十 七 章 綜 合 提 優(yōu) 測 評 卷 學(xué) 問 如 逆 水 行 舟, 不 進 則 退. — — — 左 宗 棠 點 F 、 G ． 求 證: C F A C ＝ １ ３ ; ( ３ ) 如 圖( ３ ), 若 點 P 是 正 方 形 A B C D 的 邊 C D 上 的 點, 且 D P D C ＝ １ n ( n 為 正 整 數(shù)), 過 點 D 作 D N⊥ A P , 分 別 交 A C 、 B C 于 點 M 、 N , 請 你 先 猜 想 C M 與 A C 的 比 值 是 多 少? 然 后 再 證 明 你 猜 想 的 結(jié) 論 ． ( 第２３ 題( １ )) ( 第２３ 題( ２ )) ( 第２３ 題( ３ )) ２ ４ ． 如 圖( １ ), 已 知 A B⊥ B D , C D⊥ B D , 垂 足 分 別 為 點 B 、 D , A D 和 B C 相 交 于 點 E , E F⊥ B D , 垂 足 為 點 F , 我 們 可 以 證 明 １ A B ＋ １ C D ＝ １ E F 成 立( 不 要 求 證 明) ． 若 將 圖( １ ) 中 的 垂 線 改 為 斜 線, 如 圖( ２ ), A B∥ C D , A D 、 B C 相 交 于 點 E , 過 點 E 作 E F∥ A B , 交 B D 于 點 F , 則: ( １ ) １ A B ＋ １ C D ＝ １ E F 還 成 立 嗎? 如 果 成 立, 請 給 出 證 明; 如 果 不 成 立, 請 說 明 理 由; ( ２ ) 請 找 出 S△ A B D , S△ B E D 和 S△ B D C 之 間 的 關(guān) 系 式, 并 給 出 證 明 ． ( 第２４ 題) ２ ５ ． 如 圖( １ ) 所 示, 在 △ A B C 和 △ A D E 中, A B＝ A C , A D＝ A E , ∠ B A C＝∠ D A E , 且 點 B 、 A 、 D 在 一 條 直 線 上, 連 接 B E 、 C D , 點 M 、 N 分 別 為 B E 、 C D 的 中 點 ． ( １ ) 求 證: ① B E＝ C D ; ②△ A M N 是 等 腰 三 角 形; ( ２ ) 在 圖( １ ) 的 基 礎(chǔ) 上, 將 △ A D E 繞 點 A 按 順 時 針 方 向 旋 轉(zhuǎn) １８０ ° , 其 他 條 件 不 變, 得 到 圖( ２ ) 所 示 的 圖 形 ． 請 直 接 寫 出( １ ) 中 的 兩 個 結(jié) 論 是 否 仍 然 成 立; ( ３ ) 在( ２ ) 的 條 件 下, 請 你 在 圖( ２ ) 中 延 長 E D 交 線 段 B C 于 點 P ． 求 證: △ P B D∽△ A M N ． ( 第２５ 題) 附 加 題( 本 題 １０ 分, 不 計 入 總 分) ２ ６ ． 如 圖, 在 平 行 四 邊 形 A B C D 中, A B＝５ , B C＝１０ , 邊 B C 上 的 高 A M＝４ , 點 E 為 邊 B C 上 的 一 個 動 點( 不 與 點 B 、 C 重 合) ． 過 點 E 作 直 線 A B 的 垂 線, 垂 足 為 F ． F E 與 D C 的 延 長 線 相 交 于 點 G , 連 接 D E 、 D F ． ( １ ) 求 證: △ B E F∽△ C E G ; ( ２ ) 當(dāng) 點 E 在 線 段 B C 上 運 動 時, △ B E F 和 △ C E G 的 周 長 之 間 有 什 么 關(guān) 系? 并 說 明 你 的 理 由; ( ３ ) 設(shè) B E＝ x , △ D E F 的 面 積 為 y , 請 你 求 出 y 和 x 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式, 并 求 出 當(dāng) x 為 何 值 時, y 有 最 大 值, 最 大 值 是 多 少? ( 第２６ 題)第 二 十 七 章 綜 合 提 優(yōu) 測 評 卷 １ ?? A ２ ． C ３ ． A ４ ． D ５ ． A ６ ． D ７ ． B ８ ． C ９ ． B １ ０ ． C １ １ ?? ４ １ ２ ． ４ １ ３ ． １ ３ ５ c m ２ １ ４ ． ４ １ ５ ?? ７ ∶ ３ １ ６ ． １ ∶ ３ １ ７ ?? ３ ． ３ １ ８ ． ２ ３ １ ９ ． 答 案 不 唯 一 , ( ４ , ０ ) 或 ( ３ , ２ ) ( 只 要 寫 出 一 個 即 可 ) ２ ０ ?? ( １ ) 如 圖 ． ( 第 ２ ０ 題 ) ( ２ ) 當(dāng) D E ∥ B C 時 , 如 圖 ( １ ) , A D ＝ ４ , A E ＝ ２ , D E ＝ ８ ３ ． 當(dāng) A D A C ＝ A E A B 時 , 如 圖 ( ２ ) , A D ＝ ２ , A E ＝ ４ , D E ＝ ８ ３ ． ２ １ ?? ( １ ) 畫 出 原 點 O , x 軸 、 y 軸 , B ( ２ , １ ) ． ( 第 ２ １ 題 ) ( ２ ) 畫 出 圖 形 △ A ′ B ′ C ′ ． ( ３ ) S ＝ １ ２ × ４ × ８ ＝ １ ６ ． ２ ２ ?? ( １ ) △ A M F ∽ △ B G M , △ D M G ∽ △ D B M , △ E M F ∽ △ E A M ． 以 下 證 明 △ A M F ∽ △ B G M ． ∵ ∠ A F M ＝ ∠ D M E ＋ ∠ E ＝ ∠ A ＋ ∠ E ＝ ∠ B M G , ∠ A ＝ ∠ B , ∴ △ A M F ∽ △ B G M ． ( ２ ) 當(dāng) α ＝ ４ ５ ° 時 , 可 得 A C ⊥ B C 且 A C ＝ B C ． ∵ M 為 A B 的 中 點 , ∴ A M ＝ B M ＝ ２ ２ ． 又 △ A M F ∽ △ B G M , ∴ A F A M ＝ B M B G ． ∴ B G ＝ A M ?? B M A F ＝ ２ ２ × ２ ２ ３ ＝ ８ ３ ． 又 A C ＝ B C ＝ ４ ２ c o s ４ ５ ° ＝ ４ , ∴ C G ＝ ４ － ８ ３ ＝ ４ ３ , C F ＝ ４ － ３ ＝ １ ． ∴ F G ＝ C F ２ ＋ C G ２ ＝ １ ２ ＋ ４ ３ ( ) ２ ＝ ５ ３ ． ２ ３ ?? ( １ ) ∵ △ A B C ≌ △ D C E ≌ △ F E G , ∴ B C ＝ C E ＝ E G ＝ １ ３ B G ＝ １ , 即 B G ＝ ３ ． ∴ F G ＝ A B ＝ ３ ． ∴ F G E G ＝ B G F G ＝ ３ ３ ＝ ３ ．又 ∠ B G F ＝ ∠ F G E , ∴ △ B F G ∽ △ F E G ． ∵ △ F E G 是 等 腰 三 角 形 , ∴ △ B F G 是 等 腰 三 角 形 ． ∴ B F ＝ B G ＝ ３ ． ( ２ ) A 層 問 題 ( 較 淺 顯 的 , 僅 用 到 了 １ 個 知 識 點 ) ． 例 如 : ① 求 證 : ∠ P C B ＝ ∠ R E C ． ( 或 問 ∠ P C B 與 R E C 是 否 相 等 ? ) 等 ; ② 求 證 : P C ∥ R E ． ( 或 問 線 段 P C 與 R E 是 否 平 行 ? ) 等 ． B 層 問 題 ( 有 一 定 思 考 的 , 用 到 了 ２ ~ ３ 個 知 識 點 ) ． 例 如 : ① 求 證 : ∠ B P C ＝ ∠ B F G 等 , 求 證 : B P ＝ P R 等 ; ② 求 證 : △ A B P ∽ △ C Q P 等 , 求 證 : △ B P C ∽ △ B R E 等 ; ③ 求 證 ; △ A B P ∽ △ D Q R 等 ; ④ 求 B P ∶ P F 的 值 等 ． C 層 問 題 ( 有 深 刻 思 考 的 , 用 到 了 ４ 個 或 ４ 個 以 上 知 識 點 或 用 到 了 ( １ ) 中 結(jié) 論 ) ． 例 如 : ① 求 證 : △ A B P ∽ △ B P C ∽ E R F ; ② 求 證 : P Q ＝ R Q 等 ; ③ 求 證 : △ B P C 是 等 腰 三 角 形 ; ④ 求 證 : △ P C Q ≌ △ R D Q 等 ; ⑤ 求 A P ∶ P C 的 值 等 ; ⑥ 求 B P 的 長 ; ⑦ 求 證 : P C ＝ ３ ３ ( 或 求 P C 的 長 ) 等 ． ( 第 ２ ３ 題 ) A 層 解 答 舉 列 ． 求 證 : P C ∥ R E ． ∵ △ A B C ≌ △ D C E , ∴ ∠ P C B ＝ ∠ R E B ． ∴ P C ∥ R E ． B 層 解 答 舉 例 ． 求 證 : B P ＝ P R ． ∵ ∠ A C B ＝ ∠ R E C , ∴ A C ∥ D E ． 又 B C ＝ C E , ∴ B P ＝ P R ． C 層 解 答 舉 例 ． 求 A P ∶ P C 的 值 ． A C ∥ F G , ∴ P C F G ＝ B C B G ＝ １ ３ ． ∴ P C ＝ ３ ３ ． 而 A C ＝ ３ ． ∴ A P ＝ ３ － ３ ３ ＝ ２ ３ ３ ． ∴ A P ∶ P C ＝ ２ ． ２ ４ ?? ( １ ) ∵ 四 邊 形 A B C D 為 正 方 形 , ∴ A D ＝ D C ． ∴ ∠ １ ＝ ∠ A D C ＝ ９ ０ ° ． 又 D C ⊥ A E , ∴ ∠ ２ ＋ ∠ A D C ＝ ９ ０ ° ． ∴ ∠ １ ＝ ∠ ２ ． 在 △ A D E 與 △ D C G 中 , A D ＝ D C , ∠ １ ＝ ∠ ２ , ∠ A D E ＝ ∠ D C G ＝ ９ ０ ° , { ∴ △ A D E ≌ △ D C G ( A S A ) ． ∴ C G ＝ D E ． 又 E 為 B C 的 中 點 , ∴ C G ＝ D E ＝ １ ２ D C ． ∴ C G ＝ １ ２ A D ． 由 B C ∥ A D , ∴ C G A D ＝ C F A F ＝ １ ２ ． ∴ C F A C ＝ １ ３ ． ( ２ ) 猜 想 C M A C ＝ １ n ＋ １ ． 同 理 事 實 上 ( １ ) 可 證 C N B C ＝ D P D C ＝ １ n ． 又 B C ∥ A D , ∴ C M A M ＝ C N A D ＝ １ n ． ∴ C M A C ＝ １ n ＋ １ ． ２ ５ ?? ( １ ) 成 立 ．∵ A B ∥ E F , ∴ E F A B ＝ D F D B ． ∵ C D ∥ E F , ∴ E F C D ＝ B F D B , 即 E F A B ＋ E F C D ＝ D F D B ＋ B F D B ＝ １ ． ∴ １ A B ＋ １ C D ＝ １ E F ． ( ２ ) 關(guān) 系 式 為 １ S △ A B D ＋ １ S △ B C D ＝ １ S △ B E D ． 分 別 過 點 A 作 A M ⊥ B D , 垂 足 為 M , 過 點 E 作 E N ⊥ B D , 垂 足 為 N , 過 點 C 作 C K ⊥ B D 交 B D 的 延 長 線 于 點 K ． 由 題 設(shè) 可 得 １ A M ＋ １ C K ＝ １ E N ． ∴ ２ B D ?? A M ＋ ２ B D ?? C K ＝ ２ B D ?? E N , 即 １ １ ２ B D ?? A M ＋ １ １ ２ B D ?? C K ＝ １ １ ２ B D ?? E N ． ∵ １ ２ B D ?? A M ＝ S △ A B D , １ ２ B D ?? C K ＝ S △ B C D , １ ２ B D ?? E N ＝ S △ B E D , ∴ １ S △ A B D ＋ １ S △ B C D ＝ １ S △ B E D ． ２ ６ ?? ( １ ) ① ∵ ∠ B A C ＝ ∠ D A E , ∴ ∠ B A E ＝ ∠ C A D ． ∵ A B ＝ A C , A D ＝ A E , ∴ △ A B E ≌ △ A C D ． ∴ B E ＝ C D ． ② 由 △ A B E ≌ △ A C D , 得 ∠ A B E ＝ ∠ A C D , B E ＝ C D ． ∵ M 、 N 分 別 是 B E 、 C D 的 中 點 , ∴ B M ＝ C N ． 又 A B ＝ A C , ∴ △ A B M ≌ △ A C N ． ∴ A M ＝ A N , 即 △ A M N 為 等 腰 三 角 形 ． ( ２ ) ( １ ) 中 的 兩 個 結(jié) 論 仍 然 成 立 ． ( ３ ) 在 圖 ( ２ ) 中 正 確 畫 出 線 段 P D ． 由 ( １ ) 同 理 可 證 △ A B M ≌ △ A C N ． ∴ ∠ C A N ＝ ∠ B A M ． ∴ ∠ B A C ＝ ∠ M A N ． 又 ∠ B A C ＝ ∠ D A E , ∴ ∠ M A N ＝ ∠ D A E ＝ ∠ B A C ． ∴ △ A M N 、 △ A D E 和 △ A B C 都 是 頂 角 相 等 的 等 腰 三 角 形 ． ∴ ∠ P B D ＝ ∠ A M N , ∠ P D B ＝ ∠ A D E ＝ ∠ A N M ． ∴ △ P B D ∽ △ A M N ． ２ ７ ?? ( １ ) 因 為 四 邊 形 A B C D 是 平 行 四 邊 形 , 所 以 A B ∥ C D ?? 所 以 ∠ B ＝ ∠ G C E , ∠ G ＝ ∠ B F E ． 所 以 △ B E F ∽ △ C E G ． ( ２ ) △ B E F 與 △ C E G 的 周 長 之 和 為 定 值 ． 理 由 一 : 過 點 C 作 F G 的 平 行 線 交 直 線 A B 于 點 H , ( 第 ２ ７ 題 ) 因 為 G F ⊥ A B , 所 以 四 邊 形 F H C G 為 矩 形 ． 所 以 F H ＝ C G , F G ＝ C H ． 因 此 △ B E F 與 △ C E G 的 周 長 之 和 等 于 B C ＋ C H ＋ B H ． 由 B C ＝ １ ０ , A B ＝ ５ , A M ＝ ４ , 可 得 C H ＝ ８ , B H ＝ ６ , 所 以 B C ＋ C H ＋ B H ＝ ２ ４ ． 理 由 二 : 由 A B ＝ ５ , A M ＝ ４ , 可 知 在 R t △ B E F 與 R t △ G C E 中 , E F ＝ ４ ５ B E , B F ＝ ３ ５ B E , G E ＝ ４ ５ E C , G C ＝ ３ ５ C E , 所 以 △ B E F 的 周 長 是 １ ２ ５ B E , △ E C G 的 周長 是 １ ２ ５ C E ． 又 B E ＋ C E ＝ １ ０ , 因 此 △ B E F 與 △ C E G 的 周 長 之 和 是 ２ ４ ． ( ３ ) 設(shè) B E ＝ x , 則 E F ＝ ４ ５ x , G C ＝ ３ ５ ( １ ０ － x ) ． 所 以 y ＝ １ ２ E F ?? D G ＝ １ ２ ?? ４ ５ x ３ ５ ( １ ０ － x ) ＋ ５ [ ] ＝ － ６ ２ ５ x ２ ＋ ２ ２ ５ x ． 配 方 , 得 y ＝ － ６ ２ ５ x － ５ ５ ６ ( ) ２ ＋ １ ２ １ ６ ． 所 以 當(dāng) x ＝ ５ ５ ６ 時 , y 有 最 大 值 , 最 大 值 為 １ ２ １ ６ ．