選修1-1《第二章圓錐曲線與方程》單元質(zhì)量評(píng)估試卷含答案.zip
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單元質(zhì)量評(píng)估(二)第二章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.橢圓x29+y2k2=1與雙曲線x2k-y23=1有相同的焦點(diǎn),則k應(yīng)滿足的條件是()A.k3B.2k3C.k=2D.0k0,9-k2=k+3,所以k=2.2.(2016菏澤高二檢測(cè))若雙曲線的頂點(diǎn)為橢圓x2+y22=1長(zhǎng)軸的端點(diǎn),且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積為1,則雙曲線的方程為()A.x2-y2=1B.y2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-x2=2【解析】選D.由題意設(shè)雙曲線方程為y2a2-x2b2=1,離心率為e,橢圓x2+y22=1長(zhǎng)軸端點(diǎn)為(0,2),所以a=2,又橢圓的離心率為12,所以雙曲線的離心率為2,所以c=2,b=2,則雙曲線的方程為y2-x2=2.3.(2016浙江高考)已知橢圓C1:x2m2+y2=1(m1)與雙曲線C2:x2n2-y2=1(n0)的焦點(diǎn)重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則()A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.m1D.mn且e1e21,n0,所以mn,(e1e2)21,所以e1e21.4.(2016濰坊高二檢測(cè))設(shè)橢圓x2m2+y2n2=1(m0,n0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同,離心率為12,則此橢圓的方程為()A.x212+y216=1B.x216+y212=1C.x248+y264=1D.x264+y248=1【解析】選B.因?yàn)閥2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),所以x2m2+y2n2=1的右焦點(diǎn)為(2,0),所以mn且c=2.又e=12=2m,所以m=4.因?yàn)閏2=m2-n2=4,所以n2=12.所以橢圓方程為x216+y212=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016成都高二檢測(cè))已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F(7,0),直線y=x-1與其相交于M,N兩點(diǎn),MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-23,則此雙曲線的方程是()A.x25-y22=1B.x22-y25=1C.x23-y24=1D.x24-y23=1【解題指南】先根據(jù)題意設(shè)出雙曲線的方程x2a2-y2b2=1,然后與直線方程聯(lián)立方程組,消元得二元一次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)建立a,b的一個(gè)方程,又雙曲線中有c2=a2+b2,則另得a,b的一個(gè)方程,最后解a,b的方程組即得雙曲線方程.【解析】選B.設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1,將y=x-1代入x2a2-y2b2=1,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2a2a2-b2,則x1+x22=a2a2-b2=-23.又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,所以雙曲線的方程為x22-y25=1.5.P是長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓x2a2+y2b2=1上的點(diǎn),F1,F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓的半焦距為c,則|PF1|PF2|的最大值與最小值之差一定是()A.1B.a2C.b2D.c2【解析】選D.由橢圓的幾何性質(zhì)得|PF1|a-c,a+c,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=a2,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào).|PF1|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2-c2+a2=b2,所以|PF1|PF2|的最大值與最小值之差為a2-b2=c2.6.(2016天津高二檢測(cè))已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,AOB的面積為3,則p=()A.1B.32C.2D.3【解析】選C.因?yàn)閑=2,所以b2=3a2,雙曲線的兩條漸近線方程為y=3x,不妨設(shè)A=-p2,3p2,B-p2,-3p2,則AB=3p,又三角形的高為p2,則SAOB=12p23p=3,即p2=4,又因?yàn)閜0,所以p=2.7.(2016東營(yíng)高二檢測(cè))已知點(diǎn)P是拋物線y2=-8x上一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離是d1,到直線x+y-10=0的距離是d2,則d1+d2的最小值是()A.3B.23C.62D.3【解析】選C.拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)F(-2,0),根據(jù)拋物線的定義知,d1+d2=|PF|+d2,顯然當(dāng)由點(diǎn)F向直線x+y-10=0作垂線與拋物線的交點(diǎn)為P時(shí),d1+d2取到最小值,即|-2+0-10|2=62.8.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則k等于()A.2或-1B.-1C.2D.15【解析】選C.由y=kx-2,y2=8x,消去y得,k2x2-4(k+2)x+4=0,故=-4(k+2)2-4k24=64(1+k)0,解得k-1,由x1+x2=4(k+2)k2=4,解得k=-1或k=2,又因?yàn)閗-1,故k=2.【易錯(cuò)警示】本題易忽略0而錯(cuò)選A.9.(2016邯鄲高二檢測(cè))設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的虛軸長(zhǎng)為2,焦距為23,則雙曲線的漸近線方程為()A.y=22xB.y=2xC.y=12xD.y=2x【解析】選A.由題意得2b=2,2c=23,解得b=1,c=3,所以a=c2-b2=2,因此雙曲線的方程為x22-y2=1,所以漸近線方程為y=22x.10.(2015福建高考)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線l的距離不小于45,則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1【解析】選A.不妨設(shè)左焦點(diǎn)為F2,連接AF2,BF2,由橢圓的對(duì)稱性可知四邊形AFBF2的對(duì)角線互相平分,所以四邊形AFBF2為平行四邊形,所以AF+BF=BF2+BF=2a=4,所以a=2,設(shè)M(0,b),所以d=45b45b1,所以e=1-b2a2=1-b241-14=32,又e(0,1),所以e0,32.11.(2016哈爾濱高二檢測(cè))已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1【解析】選D.設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2,y2),所以x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1.兩式相減得,x12-x22a2=y22-y12b2,即(x1-x2)(x1+x2)a2=(y2-y1)(y2+y1)b2,因?yàn)閤1+x2=2,y1+y2=-2,所以k=y2-y1x2-x1=b2a2,又因?yàn)閗=-1-01-3=12,所以b2a2=12,又因?yàn)閏2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,所以b2=9,a2=18,即E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x218+y29=1.12.(2016寶雞高二檢測(cè))設(shè)拋物線C:y2=3px(p0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)A(0,2),則C的方程為()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】選C.由已知得F34p,0,A(0,2),My023p,y0,因?yàn)锳FAM,所以kAFkAM=-1,即2-34p2-y0-y023p=-1,所以y02-8y0+16=0,所以y0=4,所以M163p,4,因?yàn)閨MF|=5,所以5=34p-163p2+16,所以34p-163p2=9.所以3p4-163p=3或3p4-163p=-3,所以9p2-36p-64=0,或9p2+36p-64=0,由得p=-43(舍),p=163.由得p=43,p=-163舍,所以C的方程為y2=4x或y2=16x.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13.橢圓mx2+ny2=1與直線l:x+y=1交于M,N兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)的直線斜率為22,則mn=.【解析】設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),所以mx12+ny12=1mx22+ny22=1又因?yàn)閥2-y1x2-x1=-1,所以-得:m=ny1+y2x1+x2,因?yàn)閥1+y2x1+x2=y1+y22-0x1+x22-0=22,所以m=22n,所以mn=22.答案:2214.直線y=kx+1(kR)與橢圓x25+y2m=1恒有公共點(diǎn),則m的取值范圍為.【解析】將y=kx+1代入橢圓方程,消去y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.由m0,5k20,知m+5k20,故=100k2-4(m+5k2)(5-5m)0對(duì)kR恒成立.即5k21-m對(duì)kR恒成立,故1-m0,所以m1.又因?yàn)閙5,所以m的取值范圍是m1且m5.答案:m1且m5【易錯(cuò)警示】本題易忽略隱含條件m5而出錯(cuò).15.(2015山東高考)過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線,交C于點(diǎn)P,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,則C的離心率為.【解題指南】本題是雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用,應(yīng)從焦點(diǎn)和漸近線出發(fā)構(gòu)造a,b,c的關(guān)系,進(jìn)而求出離心率e.【解析】將y=ba(x-c)代入x2a2-y2b2=1消去y得x2a2-ba2(x-c)2b2=1,因?yàn)閤P=2ab0),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓上總存在點(diǎn)P使得PF1PF2,則橢圓的離心率的取值范圍為()A.22,1B.22,1C.0,22D.0,22【解析】選A.由PF1PF2,知F1PF2是直角三角形,所以|OP|=cb,即c2a2-c2,所以a2c,因?yàn)閑=ca,0e1,所以22eb0)的右焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線y=bcx的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上,則橢圓的離心率是.【解題指南】利用已知條件求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),從而求出a,b,c的關(guān)系.【解析】設(shè)F(c,0)關(guān)于直線y=bcx的對(duì)稱點(diǎn)為Q(m,n),則有nm-cbc=-1,n2=bcm+c2,解得m=c3-cb2a2,n=2bc2a2,所以Qc3-cb2a2,2bc2a2在橢圓上,即有(c3-cb2)2a6+(2bc2)2a4b2=1,解得a2=2c2,所以離心率e=ca=22.答案:22三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線過雙曲線x2a2-y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn),并且這條準(zhǔn)線與雙曲線的兩焦點(diǎn)的連線垂直,拋物線與雙曲線交點(diǎn)為P32,6,求拋物線方程和雙曲線方程.【解析】依題意,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),因?yàn)辄c(diǎn)32,6在拋物線上,所以6=2p32,所以p=2,所以所求拋物線方程為y2=4x.因?yàn)殡p曲線左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x=-1上,所以c=1,即a2+b2=1,又點(diǎn)32,6在雙曲線上,所以94a2-6b2=1,由a2+b2=1,94a2-6b2=1.解得a2=14,b2=34.所以所求雙曲線方程為4x2-43y2=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若已知橢圓x210+y2m=1與雙曲線x2-y2b=1有相同的焦點(diǎn),又橢圓與雙曲線交于點(diǎn)P103,y,求橢圓及雙曲線的方程.【解析】由橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)得10-m=1+b,即m=9-b,又因?yàn)辄c(diǎn)P103,y在橢圓、雙曲線上,所以y2=89m,y2=b9.解由組成的方程組得m=1,b=8,所以橢圓方程為x210+y2=1,雙曲線方程為x2-y28=1.18.(12分)求以直線x+2y=0為漸近線,且截直線x-y-3=0所得弦長(zhǎng)為833的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】由于雙曲線的漸近線方程為x+2y=0,故可設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=(0).設(shè)直線x-y-3=0與雙曲線的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立方程組x-y-3=0,x2-4y2=,消去y,整理得3x2-24x+36+=0.由=(-24)2-34(36+)0,解得12.由根與系數(shù)關(guān)系可得x1+x2=8,x1x2=36+3.代入弦長(zhǎng)公式中,|AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=282-436+3=8(12-)3,于是8(12-)3=833,解得=4(與0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1b0)上的一點(diǎn),F1,F2為橢圓的兩焦點(diǎn),若PF1PF2,試求:(1)橢圓的方程.(2)PF1F2的面積.【解析】(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c0),則b2=a2-c2.因?yàn)镻F1PF2,所以kPF1kPF2=-1,即43+c43-c=-1,解得c=5,所以設(shè)橢圓方程為x2a2+y2a2-25=1.因?yàn)辄c(diǎn)P(3,4)在橢圓上,所以9a2+16a2-25=1.解得a2=45或a2=5.又因?yàn)閍c,所以a2=5(舍去).故所求橢圓方程為x245+y220=1.(2)由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=65,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,2-得2|PF1|PF2|=80,所以SPF1F2=12|PF1|PF2|=20.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知拋物線C:y2=2px(p0)過點(diǎn)A(1,-2).(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程.(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于55?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.【解析】(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,所以p=2.故所求的拋物線C的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t.由y=-2x+t,y2=4x,得y2+2y-2t=0.因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn),所以=4+8t0,解得t-12.另一方面,由直線OA到l的距離d=55,可得|t|5=15,解得t=1.因?yàn)?1-12,+,1-12,+,所以符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.21.(12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=14x2的焦點(diǎn),離心率為255.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M,若MA=mFA,MB=nFB,求m+n的值.【解析】(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(ab0).拋物線方程可化為x2=4y,其焦點(diǎn)為(0,1),則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為(0,1),即b=1.由e=ca=a2-b2a2=255.得a2=5,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=1.(2)易求出橢圓C的右焦點(diǎn)F(2,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),代入方程x25+y2=1,得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.所以x1+x2=20k21+5k2,x1x2=20k2-51+5k2.又MA=(x1,y1-y0),MB=(x2,y2-y0),FA=(x1-2,y1),FB=(x2-2,y2).因?yàn)镸A=mFA,MB=nFB,所以m=x1x1-2,n=x2x2-2,所以m+n=2x1x2-2(x1+x2)4-2(x1+x2)+x1x2,又2x1x2-2(x1+x2)=40k2-10-40k21+5k2=-101+5k2,4-2(x1+x2)+x1x2=4-40k21+5k2+20k2-51+5k2=-11+5k2,所以m+n=10.22.(12分)(2016北京高考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1過A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程及離心率.(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.【解題指南】(1)把A,B兩點(diǎn)代入可求得a,b.(2)設(shè)P(x0,y0),表示出直線AP,BP方程,求出點(diǎn)M,N坐標(biāo),表示出面積.再利用點(diǎn)P在橢圓上化簡(jiǎn)整理為定值.【解析】(1)把A(2,0),B(0,1)分別代入橢圓方程得a=2,b=1.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.因?yàn)閏=a2-b2=3,所以離心率e=ca=32.(2)設(shè)P(x0,y0),其中x00,y00.則直線AP方程為y=y0x0-2(x-2),直線BP方程為y=y0-1x0x+1.所以M0,-2y0x0-2,N-x0y0-1,0.所以|AN|=2+x0y0-1,|BM|=2y0x0-2+1.所以四邊形ABNM的面積為S=12|AN|BM|=122+x0y0-12y0x0-2+1=12x0+2y0-2y0-1x0+2y0-2x0-2=(x0+2y0-2)22(x0-2)(y0-1)=x02+ 4x0(y0-1) + 4(y0-1)22(x0-2)(y0-1).因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上,所以x02=4-4y02.代入上式得S =(4-4y02) + 4x0(y0-1) + 4(y0-1)22(x0-2)(y0-1)=8-8y0+ 4x0(y0-1)2(x0-2)(y0-1)=2.因此,四邊形ABNM的面積為定值2.
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