高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.8 函數(shù)與方程課件 理.ppt

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第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) I,§2.8 函數(shù)與方程,,,內(nèi)容索引,,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的定義 對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使函數(shù)y＝f(x)的值為0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點. (2)幾個等價關(guān)系 方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與 有交點?函數(shù)y＝f(x)有 .,x軸,零點,,知識梳理,1,,答案,(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理) 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且 ，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間______上有零點，即存在c∈(a，b)，使得_______，這個__也就是方程f(x)＝0的根. 2.二分法 對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且 的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近 ，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.,f(a)·f(b)0,(a，b),f(c)＝0,c,f(a)·f(b)0,零點,,答案,3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a0)的圖象與零點的關(guān)系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,0,,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.( ) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)0.( ) (3)只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值.( ) (4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0時沒有零點.( ) (5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個零點.( ),×,×,×,√,√,,答案,思考辨析,1.(教材改編)函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是___.,∴f(x)在(－1,0)內(nèi)有零點， 又f(x)為增函數(shù)， ∴函數(shù)f(x)有且只有一個零點.,1,,,考點自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.若x1，x2是方程 的兩個實根，則x1＋x2＝___. 解析,－1,∴x1＋x2＝－1.,,解析答案,1,2,3,4,5,3.函數(shù)f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零點個數(shù)為___.,由圖象知兩函數(shù)圖象有2個交點， 故函數(shù)f(x)有2個零點.,2,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,解析 當(dāng)x2時，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2； 當(dāng)0≤x≤2時，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x； 當(dāng)x2時，方程f(x)－g(x)＝0可化為x2－5x＋5＝0，,當(dāng)0≤x≤2時，方程f(x)－g(x)＝0可化為2－x＝3－x，無解； 當(dāng)x0時，方程f(x)－g(x)＝0可化為x2＋x－1＝0，其根為,所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)為2. 答案 2,,1,2,3,4,5,5.函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析 ∵函數(shù)f(x)的圖象為直線，由題意可得 f(－1)f(1)0， ∴(－3a＋1)·(1－a)0，,,解析答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,,,題型一 函數(shù)零點的確定,命題點1 函數(shù)零點所在的區(qū)間,∴x0∈(2,3).,2,,解析答案,命題點2 函數(shù)零點個數(shù)的判斷,所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù). 又因為f(2)＝－2＋ln 20， 所以f(x)在(0，＋∞)上有一個零點， 綜上，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.,2,所以在(－∞，0]上有一個零點.,,解析答案,(2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點個數(shù)是___. 解析 由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù). 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)及y＝log3|x|的圖象，如圖： 觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點， 即函數(shù)y＝f(x)－log3|x|有4個零點.,4,,解析答案,命題點3 求函數(shù)的零點,例3 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點的集合為______________.,,解析答案,思維升華,解析 當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－3x， 令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1. 當(dāng)x0， ∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)， ∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x. 令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，,,思維升華,,(1)確定函數(shù)零點所在區(qū)間，可利用零點存在性定理或數(shù)形結(jié)合法.(2)判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：①解方程法；②零點存在性定理、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；③數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).,思維升華,所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2,4).,③,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,(2)函數(shù) 的零點個數(shù)為____.,,解析答案,∴f(0)f(1)0， 故函數(shù)f(x)在(0,1)至少存在一個零點， 又f(x)顯然為增函數(shù)， ∴f(x)零點個數(shù)為1. 答案 1,所以零點只有一個.,,,題型二 函數(shù)零點的應(yīng)用,例4 若關(guān)于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有實根，求實數(shù)a的取值范圍.,,解析答案,思維升華,解 方法一 (換元法) 設(shè)t＝2x (t0)，則原方程可變?yōu)閠2＋at＋a＋1＝0，(*) 原方程有實根，即方程(*)有正根. 令f(t)＝t2＋at＋a＋1. ①若方程(*)有兩個正實根t1，t2，,,解析答案,思維升華,②若方程(*)有一個正實根和一個負(fù)實根(負(fù)實根不合題意，舍去)， 則f(0)＝a＋10，解得a－1； ③若方程(*)有一個正實根和一個零根，,,解析答案,思維升華,,思維升華,,思維升華,對于“a＝f(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)y＝f(x)的值域來解決，解的個數(shù)可化為函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝a交點的個數(shù).,則有f(1)·f(2)0， 所以(－a)(4－1－a)0， 即a(a－3)0. 所以0＜a＜3.,(0,3),跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,解析 畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，,觀察圖象可知，若方程f(x)－a＝0有 三個不同的實數(shù)根， 則函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a 有3個不同的交點， 此時需滿足0＜a＜1.,(0,1),,解析答案,,,題型三 二次函數(shù)的零點問題,例5 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍.,,解析答案,思維升華,解 方法一 設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1x2)， 則(x1－1)(x2－1)0， ∴x1x2－(x1＋x2)＋10， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a－2)＋(a2－1)＋10， 即a2＋a－20， ∴－2a1.,,解析答案,思維升華,方法二 函數(shù)圖象大致如圖， 則有f(1)0， 即1＋(a2－1)＋a－20， ∴－2a1. 故實數(shù)a的取值范圍是(－2,1).,,思維升華,,解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.,思維升華,若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個零點分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是_______.,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,返回,,易錯警示系列,典例 定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x0時，f(x)＝2 016x＋log2 016x，則在R上函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為________. 易錯分析 得出當(dāng)x0時的零點個數(shù)后，容易忽略條件：定義在R上的奇函數(shù)，導(dǎo)致漏掉x0時和x＝0時的情況.,,易錯警示系列,3.忽視定義域?qū)е铝泓c個數(shù)錯誤,,易錯分析,解析答案,返回,溫馨提醒,可知它們只有一個交點， 所以當(dāng)x0時函數(shù)只有一個零點. 由于函數(shù)為奇函數(shù)， 所以當(dāng)x0時，也有一個零點. 又當(dāng)x＝0時y＝0， 所以共有三個零點. 答案 3,解析 當(dāng)x0時，由f(x)＝2 016x＋log2 016x＝0得,作出函數(shù)y＝2 016x與函數(shù),的圖象，,,溫馨提醒,,溫馨提醒,,返回,(1)討論x0時函數(shù)的零點個數(shù)也可利用零點存在性定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定.(2)函數(shù)的定義域是討論函數(shù)其他性質(zhì)的基礎(chǔ)，要給予充分重視.,,思想方法 感悟提高,1.函數(shù)零點的判定常用的方法有 (1)零點存在性定理； (2)數(shù)形結(jié)合：函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點，就是函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)圖象交點的橫坐標(biāo). (3)解方程. 2.二次函數(shù)的零點可利用求根公式、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系或結(jié)合函數(shù)圖象列不等式(組). 3.利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的常用方法：直接法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.,方法與技巧,1.函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件；判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象. 2.判斷零點個數(shù)要注意函數(shù)的定義域，不要漏解；畫圖時要盡量準(zhǔn)確.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由圖象可知，若函數(shù)y＝f(x)－m有3個零點， 則0m1， 因此m的取值范圍是(0,1).,(0,1),,解析答案,2.函數(shù)f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為__. 解析 由f(x)＝xcos x2＝0，得x＝0或cos x2＝0. 又x∈[0,4]，所以x2∈[0,16].,6,故零點個數(shù)為1＋5＝6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 當(dāng)x≤1時，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0； 當(dāng)x1時，由f(x)＝1＋log2x＝0，,又因為x1，所以此時方程無解. 綜上函數(shù)f(x)的零點只有0.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,4.方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的個數(shù)是___. 解析 (數(shù)形結(jié)合法) ∵a0， ∴a2＋11. 而y＝|x2－2x|的圖象如圖， ∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個交點.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,5.偶函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝－x＋1，則關(guān)于x的方程f(x)＝lg(x＋1)在x∈[0,9]上解的個數(shù)是__. 解析 依題意得f(x＋2)＝f(x)， 所以函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù). 在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝f(x)的 圖象與y＝lg(x＋1)的圖象(如圖所示)， 觀察圖象可知，這兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間 [0,9]上的公共點共有9個， 因此，當(dāng)x∈[0,9]時，方程f(x)＝lg(x＋1)的解的個數(shù)是9.,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,6.已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a0)在區(qū)間(0,1)上有零點，則a的取值范圍為_______. 解析 ∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，,(－2,0),∴函數(shù)y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域為(0,2)， ∴0－a2，∴－2a0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,7.若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2和3，則不等式af(－2x)0的解集是___________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,∴f(x)＝x2－x－6. ∵不等式af(－2x)0， 即－(4x2＋2x－6)0?2x2＋x－30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2,3. ∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，,由于函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點， 結(jié)合圖象得：0m1，即m∈(0,1).,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 如圖所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,故f(x)在(0,1]上是減函數(shù)， 而在(1，＋∞)上是增函數(shù). 由0ab且f(a)＝f(b)，得0a1b，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍. 解 由函數(shù)f(x)的圖象可知， 當(dāng)0m1時，方程f(x)＝m有兩個不相等的正根.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,10.關(guān)于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0,2]上有解，求實數(shù)m的取值范圍.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 方法一 設(shè)f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]， ①若f(x)＝0在區(qū)間[0,2]上有一解， ∵f(0)＝10，則應(yīng)有f(2)0， 又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，,②若f(x)＝0在區(qū)間[0,2]上有兩解，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,由①②可知m的取值范圍是(－∞，－1].,方法二 顯然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，,∴1－m≥2，∴m≤－1， 故m的取值范圍是(－∞，－1].,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函數(shù)f(x)＝e|x|＋|x|，若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是__________. 解析 方程f(x)＝k化為方程e|x|＝k－|x|， 令y＝e|x|，y＝k－|x|，如圖， y＝k－|x|表示斜率為1或－1的平行折線系， 折線與曲線y＝e|x|恰好有一個公共點時，有k＝1， 若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根， 則實數(shù)k的取值范圍是(1，＋∞).,(1，＋∞),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,12.函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln x的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝___. 解析 由于ln 21， 所以f(3)0，所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi)， 故n＝2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 函數(shù)g(x)＝f(x)－k有兩個零點， 即f(x)－k＝0有兩個解， 即y＝f(x)與y＝k的圖象有兩個交點. 分k0和k1或k0時，沒有交點， 故當(dāng)0k1時滿足題意.,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 函數(shù)g(x)有兩個零點， 即方程f(x)－b＝0有兩個不等實根， 則函數(shù)y＝f(x)和y＝b的圖象有兩個公共點. ①若aa時，f(x)＝x2，函數(shù)先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增， f(x)的圖象如圖(1)實線部分所示，其與直線y＝b可能有兩個公共點.,,解析答案,③若a1，則a3a2， 函數(shù)f(x)在R上不單調(diào)，f(x)的圖象如圖(3)實線部分所示， 其與直線y＝b可能有兩個公共點. 綜上，a1. 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,②若0≤a≤1，則a3≤a2， 函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增， f(x)的圖象如圖(2)實線部分所示， 其與直線y＝b至多有一個公共點.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,返回,