2019-2020年高中數(shù)學奧賽系列輔導資料函數(shù)奧賽競賽練習教案.doc
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2019-2020年高中數(shù)學奧賽系列輔導資料函數(shù)奧賽競賽練習教案一、選擇題1(xx年北京市中學生數(shù)學競賽)已知函數(shù)y=f(x)有反函數(shù),現(xiàn)將y=f(2x-1)的圖象向左平移2個單位,所得圖形表示的函數(shù)的反函數(shù)是( )ABCD二、填空題2(xx年全國高中數(shù)學聯(lián)賽)函數(shù)的值域為_。3(xx年全國高中數(shù)學聯(lián)賽)不等式的解集為_。4(xx年北京市中學生數(shù)學競賽)函數(shù)f(x)對于任意非負實數(shù)x、y都滿足,且f(x)0,f(1)0,則=_。三、解答題5(xx年北京市中學生數(shù)學競賽)f(x)是定義在R上的函數(shù),對任意的xR,都有f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2,設g(x)=f(x)-x,(1)求證g(x)是周期函數(shù);(2)如果f(998)=1002,求f(xx)的值。6(xx年全國高中數(shù)學聯(lián)賽)若函數(shù)在區(qū)間a,b上的最小值為2a,最大值為2b,求區(qū)間a,b。7(第一屆“希望杯”全國邀請賽試題)求函數(shù)在區(qū)間-1,1上的值域。8(第九屆“希望杯”全國邀請賽試題)若實數(shù)x滿足不等式。試求函數(shù)的最大值。9(xx年莫斯科師范大學數(shù)學奧林匹克競賽)作函數(shù)的圖象。10(xx年莫斯科師范大學數(shù)學奧林匹克競賽)函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)?11(第五屆北京高中數(shù)學知識應用競賽)中國青年報2001年3月19日報道:中國移動通信將于3月21日開始在所屬18個省、市移動通信公司陸續(xù)推出“全球通”移動電話資費“套餐”,這個:“套餐”的最大特點是針對不同用戶采取了不同的收費方法。具體方案如下:方案代號基本月租(元)免費時間(分鐘)超過免費時間的話費(元/分鐘)1304806029817006031683300504268600045538810000406568170003577882588030原計費方案的基本月租為50元,每通話一分鐘付0.4元,請問:(1)“套餐”中第4種收費方式的月話費y與月通話量t(月通話量是指一個月內(nèi)每次通話用時之和,每次通話用時以分為單位取整計算,如某次通話時間為3分20秒,按4分鐘計通話用時)的函數(shù)關系式;(2)取第4種收費方式,通話量多少時比原計費方式的月通話費省錢;(3)據(jù)中國移動xx年公布的中期業(yè)績,每戶通話平均為每月320分鐘,若一個用戶的通話量恰好是這個平均值,那么選擇哪種收費方式更合算,并說明理由。參考答案1A 由于“抽象”沒有具體的函數(shù)表達式,使題目顯得有些難,化難為易的方法因而也就是化抽象為具體,不妨設f(x)=x+1(這樣符合原題“f(x)有反函數(shù)”的規(guī)定)。于是以下種種全具體化了。反函數(shù)是,向左平移2個單位所得圖形表示的函數(shù)。這個函數(shù)的反函數(shù),再與4個選擇來對照。A項是符合,B項是不合,C項是不合,D項是不合。故選A。2兩邊平方得,從而且。由或y2。任取y2,由,易知x2,于是。任取,同樣由,易知x1。于是。因此,所求函數(shù)的值域為。3等價于或。即或。此時,或或。解為x4或0x1或。即解集為。4這題f(x)不容易具體化,但是它的值則是可以具體化的。例如設x=0,y=0。則由,得,f(0)=0。再設x=0,y=1。得,以f(0)=0代入,已知f(1) 0,。設x=1,y=1,得,即。設x=2,y=1,得,。設x=0,得,。設x=0,得,即,。至此可求,。5解:本例的難度顯然又有增加,主要是難以具體化。只能在抽象的層面來解決問題(1)g(x)=f(x)-x,可得g(x+2)=f(x+2)-x-2,g(x+3)=f(x+3)-x-3,再以f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2代換,可得,由可得g(x+4) f(x+2)-x-2f(x)+2-x-2=f(x)-x,g(x+6) f(x+2)-x-2f(x)-x。由可得g(x+6) f(x+3)-x-3f(x)-x,由、知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。g(x)是周期函數(shù)獲證(6是它的一個周期)(2)xx-998=1002是6的整數(shù)倍,所以g(xx)=g(998),即f(xx)-xx=f(998)-998f(xx)=f(998)+1002=1002+1002=xx。本題的不同之處在于沒有“具體化”,而是利用f(x+3)與f(x+2)的反復操作以求g(x+6)與f(x)的關系,進而得到g(x+6)=g(x),以達到證明的目的。6解f(x)的最大值只能是,或f(a),或f(b),f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)其中之一,令,且,即可得關于a、b的方程組,解出a、b的值。當a值由負值增大到正值時,區(qū)間a,b在x軸上自左向右移動,因此在求f(x)的最值時,須按區(qū)間a,b的位置分類求解。f(x)圖象頂點坐標為,。(1)當ab0時,由f(x)在a,b上單調(diào)遞增得,f(a)=2a,且f(b)=2b即于是a、b是二次方程的兩個負根,但此方程兩根異號,故區(qū)間a,b不存在(2)當a0a0時由f(x)在a,b上單調(diào)遞減得,f(a)=2b,且f(b)=2a,即解得或(舍去)即得區(qū)間1,3。綜上所述,所求區(qū)間為1,3或7解:。值域為。8解:。9解:研究2種情況。,即x1。于是。,即x600時,解不等式50+0.4t268+0.45(t-600),得600t1040(tN),綜上,545t1040時(tN),第4種收費方式比原收費方式的月通話費省錢。(3)因為按照原來的收費方式,320分鐘收費178元(即50+0.4320),所以,不會選擇月租費多于178元的收費方式,從而只考慮“套餐”中的前三種方式。第一種方式的話費為:30+0.6(320-48)=193.2(元);第二種方式的話費為:98+0.6(320-170)=188(元);第三種方式的話費為:168元。故選擇第三種方式。事實上,相對于原收費方式,當通話時間大于244分鐘時,第一種方式不合算,當通話時間只有在120分鐘至270分鐘時,第二種方式較合算。- 配套講稿:
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