2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《集合》.doc
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2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料集合 集合的劃分反映了集合與子集之間的關系,這既是一類數(shù)學問題,也是數(shù)學中的解題策略分類思想的基礎,在近幾年來的數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn),日益受到重視,本講主要介紹有關的概念、結論以及處理集合、子集與劃分問題的方法。1 集合的概念 集合是一個不定義的概念,集合中的元素有三個特征:(1) 確定性 設是一個給定的集合,是某一具體對象,則或者是的元素,或者不是的元素,兩者必居其一,即與僅有一種情況成立。(2) 互異性 一個給定的集合中的元素是指互不相同的對象,即同一個集合中不應出現(xiàn)同一個元素。(3) 無序性2 集合的表示方法主要有列舉法、描述法、區(qū)間法、語言敘述法。常用數(shù)集如:應熟記。3 實數(shù)的子集與數(shù)軸上的點集之間的互相轉換,有序實數(shù)對的集合與平面上的點集可以互相轉換。對于方程、不等式的解集,要注意它們的幾何意義。4 子集、真子集及相等集(1)或;(2)且;(3)且。5 一個階集合(即由個元素組成的集合)有個不同的子集,其中有1個非空子集,也有1個真子集。6 集合的交、并、補運算=且;=或且要掌握有關集合的幾個運算律:(1) 交換律 ,;(2) 結合律()(), ()();(3) 分配律 ()()() () () ()(4)01律 , (5)等冪律 ,(6)吸收律 (),()(7)求補律 CIA,CIA(8)反演律 7 有限集合所含元素個數(shù)的幾個簡單性質 設表示集合所含元素的個數(shù),(1), 當時,(2)例題講解元素與集合的關系1 設|,,求證:(1)();(2)2 以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質:中的元素有正數(shù),有負數(shù);中的元素有奇數(shù),有偶數(shù);1;若,,則試判斷實數(shù)0和2與集合的關系。3 設為滿足下列條件的有理數(shù)的集合:若,則+,;對任一個有理數(shù),三個關系,0有且僅有一個成立。證明:是由全體正有理數(shù)組成的集合。兩個集合之間的關系在兩個集合之間的關系中,我們感興趣的是“子集”、“真子集”、“相等”這三種特殊關系。這些關系是通過元素與集合的關系來揭示的,因而判斷兩個集合之間的關系通??蓮呐袛嘣嘏c這兩個集合的關系入手。4 設函數(shù),集合,。(1) 證明:;(2) 當時,求。(3) 當只有一個元素時,求證:5為非空集合,對于1,2,3的任意一個排列,若,則(1) 證明:三個集合中至少有兩個相等。(2) 三個集合中是否可能有兩個集無公共元素?6已知集合:問(1) 當取何值時,為含有兩個元素的集合?(2) 當取何值時,為含有三個元素的集合?7設且15,都是1,2,3,真子集,且=1,2,3,。證明:或者中必有兩個不同數(shù)的和為完全平方數(shù)。課后練習1下列八個關系式:0= =0 0 0 0 其中正確的個數(shù) ( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)72設A、B是全集U的兩個子集,且AB,則下列式子成立的是 ( )(A)CUACUB (B)CUACUB=U (C)ACUB= (D)CUAB=3已知M=,且,設,則 ( ) (A)M (B)N (C)P (D)4設集合,則 ( )(A) (B) (C) (D)5設M=1,2,3,1995,A是M的子集且滿足條件: 當xA時,15xA,則A中元素的個數(shù)最多是_.6集合A,B的并集AB=a1,a2,a3,當且僅當AB時,(A,B)與(B,A)視為不同的對,則這樣的(A,B)對的個數(shù)有_.7若非空集合A=x|2a+1x3a-5,B=x|3x22,則能使AAB成立的a的取值范圍是_.8若A=x|0x2+ax+54為單元素集合,則實數(shù)a的值為_.9設A=n|100n600,nN,則集合A中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個數(shù)為_.10己知集合A=x|x=f(x),B=x|x=f(f(x),其中f(x)=x2+ax+b (a,bR),證明:(1)AB (2)若A只含有一個元素,則A=B .11集合A=(x,y),集合B=(x,y),且0,又A,求實數(shù)m的取值范圍.課后練習答案1-4 C C B A5解:由于1995=15133,所以,只要n133,就有15n1995.故取出所有大于133而不超過1995的整數(shù). 由于這時己取出了159=135, 15133=1995. 故9至133的整數(shù)都不能再取,還可取1至8這8個數(shù),即共取出1995133+8=1870個數(shù), 這說明所求數(shù)1870。另一方面,把k與15k配對,(k不是15的倍數(shù),且1k133)共得1338=125對,每對數(shù)中至多能取1個數(shù)為A的元素,這說明所求數(shù)1870,綜上可知應填18706解:A=時,有1種可能;A為一元集時,B必須含有其余2元,共有6種可能;A為二元集時,B必須含有另一元.共有12種可能;A為三元集時,B可為其任一子集.共8種可能.故共有1+6+12+8=27個.7解:由A非空知2a+13a-5,故a6. 由AAB知AB. 即32a+1且3a-522, 解之,得1a9. 于是知6a98解:由.若,則A有無數(shù)個元,若,則A為空集,只有當即時,A為單元素集或.所以9解:被7除余2的數(shù)可寫為7k+2. 由1007k+2600.知14k85. 又若某個k使7k+2能被57整除,則可設7k+2=57n. 即. 即n-2應為7的倍數(shù). 設n=7m+2代入,得k=57m+16. 1457m+1685. m=0,1.于是所求的個數(shù)為85-(14-1)-2=7010證明:(1)(2)設A=c,即二次方程f(x)-x=0有惟一解c,即c為 f(x)-x=0的重根. f(x)-x=(x-c)2 即f(x)=(x-c)2+x,于是f(f(x)=(f(x)-c)2+f(x),f(f(x)-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=(x-c)2+x-c2+(x-c)2=0故f(f(x)=x也只有惟一解x=c,即B=c. 所以A=B11解:由得設 由數(shù)形結合得:解得:例題答案:1分析:如果集合|具有性質,那么判斷對象是否是集合的元素的基本方法就是檢驗是否具有性質。解:(1),且,故;(2)假設,則存在,使即 (*)由于與具有相同的奇偶性,所以(*)式左邊有且僅有兩種可能:奇數(shù)或4的倍數(shù),另一方面,(*)式右邊只能被4除余2的數(shù),故(*)式不能成立。由此,。2解:由若,,則可知,若,則(1) 由可設,且0,0,則| (|)故,由,0()+。(2)2。若2,則中的負數(shù)全為偶數(shù),不然的話,當()()時,1(),與矛盾。于是,由知中必有正奇數(shù)。設,我們?nèi)∵m當正整數(shù),使,則負奇數(shù)。前后矛盾。3證明:設任意的,0,由知,或之一成立。再由,若,則;若,則??傊?。取=1,則1。再由,2=1+1,3=1+2,可知全體正整數(shù)都屬于。設,由,又由前證知,所以。因此,含有全體正有理數(shù)。再由知,0及全體負有理數(shù)不屬于。即是由全體正有理數(shù)組成的集合。4解:(1)設任意,則.而故,所以.(2) 因,所以 解得故 。由得解得 。5證明:(1)若,則所以每個集合中均有非負元素。當三個集合中的元素都為零時,命題顯然成立。否則,設中的最小正元素為,不妨設,設為中最小的非負元素,不妨設則。若0,則0,與的取法矛盾。所以=0。任取因0,故0。所以,同理。所以=。(3) 可能。例如=奇數(shù),=偶數(shù)顯然滿足條件,和與都無公共元素。6解:=。與分別為方程組() ()的解集。由()解得()=(0,1)=(,);由()解得()=(1,0),(,)(1) 使恰有兩個元素的情況只有兩種可能: 由解得=0;由解得=1。故=0或1時,恰有兩個元素。(2) 使恰有三個元素的情況是:= 解得,故當時,恰有三個元素。7證明:由題設,1,2,3,的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一。 假設結論不真,則存在如題設的1,2,3,的真子集,使得無論是還是中的任兩個不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù)。 不妨設1,則3,否則1+3=,與假設矛盾,所以3。同樣6,所以6,這時10,即10。因15,而15或者在中,或者在中,但當15時,因1,1+15=,矛盾;當15時,因10,于是有10+15=,仍然矛盾。因此假設不真。即結論成立。- 配套講稿:
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