2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《整除》.doc

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2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《整除》 整除是整數(shù)的一個重要內(nèi)容，這里僅介紹其中的幾個方面：整數(shù)的整除性、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)、方冪問題. Ⅰ. 整數(shù)的整除性 初等數(shù)論的基本研究對象是自然數(shù)集合及整數(shù)集合. 我們知道，整數(shù)集合中可以作加、減、乘法運算，并且這些運算滿足一些規(guī)律（即加法和乘法的結(jié)合律和交換律，加法與乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，則不一定是整數(shù). 由此引出初等數(shù)論中第一個基本概念：整數(shù)的整除性. 定義一：（帶余除法）對于任一整數(shù)和任一整數(shù)，必有惟一的一對整數(shù)，使得，，并且整數(shù)和由上述條件惟一確定，則稱為除的不完全商，稱為除的余數(shù). 若，則稱整除，或被整除，或稱的倍數(shù)，或稱的約數(shù)（又叫因子），記為.否則，| . 任何的非的約數(shù)，叫做的真約數(shù). 0是任何整數(shù)的倍數(shù)，1是任何整數(shù)的約數(shù). 任一非零的整數(shù)是其本身的約數(shù)，也是其本身的倍數(shù). 由整除的定義，不難得出整除的如下性質(zhì)： （1）若 （2）若 （3）若，則反之，亦成立. （4）若.因此，若. （5）、互質(zhì)，若 （6）為質(zhì)數(shù)，若則必能整除中的某一個. 特別地，若為質(zhì)數(shù)， （7）如在等式中除開某一項外，其余各項都是的倍數(shù)，則這一項也是的倍數(shù). （8）n個連續(xù)整數(shù)中有且只有一個是n的倍數(shù). （9）任何n個連續(xù)整數(shù)之積一定是n的倍數(shù). 本講開始在整除的定義同時給出了約數(shù)的概念，又由上一講的算術(shù)基本定理，我們就可以討論整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)了. Ⅱ. 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù) 定義二：設(shè)、是兩個不全為0的整數(shù).若整數(shù)c滿足：，則稱的公約數(shù)，的所有公約數(shù)中的最大者稱為的最大公約數(shù)，記為.如果=1，則稱互質(zhì)或互素. 定義三：如果、的倍數(shù)，則稱、的公倍數(shù). 的公倍數(shù)中最小的正數(shù)稱為的最小公倍數(shù)，記為. 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的概念可以推廣到有限多個整數(shù)的情形，并用表示的最大公約數(shù)，表示的最小公倍數(shù). 若，則稱互質(zhì)，若中任何兩個都互質(zhì)，則稱它們是兩兩互質(zhì)的.注意，n個整數(shù)互質(zhì)與n個整數(shù)兩兩互質(zhì)是不同的概念，前者成立時后者不一定成立（例如，3，15，8互質(zhì)，但不兩兩互質(zhì)）；顯然后者成立時，前者必成立. 因為任何正數(shù)都不是0的倍數(shù)，所以在討論最小公倍數(shù)時，一般都假定這些整數(shù)不為0.同時，由于有相同的公約數(shù)，且（有限多個亦成立），因此，我們總限于在自然數(shù)集合內(nèi)來討論數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù). Ⅲ.方冪問題 一個正整數(shù)能否表成個整數(shù)的次方和的問題稱為方冪和問題.特別地，當時稱為次方問題，當時，稱為平方和問題. 能表為某整數(shù)的平方的數(shù)稱為完全平方數(shù).簡稱平方數(shù)，關(guān)于平方數(shù)，明顯有如下一些簡單的性質(zhì)和結(jié)論： （1）平方數(shù)的個位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9. （2）偶數(shù)的平方數(shù)是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方數(shù)被8除余1，即任何平方數(shù)被4除的余數(shù)只能是0或1. （3）奇數(shù)平方的十位數(shù)字是偶數(shù). （4）十位數(shù)字是奇數(shù)的平方數(shù)的個位數(shù)一定是6. （5）不能被3整除的數(shù)的平方被3除余1，能被3整除的數(shù)的平方能被3整除.因而，平方數(shù)被9除的余數(shù)為0，1，4，7，且此平方數(shù)的各位數(shù)字的和被9除的余數(shù)也只能為0，1，4，7. （6）平方數(shù)的約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù). （7）任何四個連續(xù)整數(shù)的乘積加1，必定是一個平方數(shù). 例題講解 1．證明：對于任何自然數(shù)和，數(shù)都不能分解成若干個連續(xù)的正整數(shù)之積. 2．設(shè)和均為自然數(shù),使得 證明：可被1979整除. 3．對于整數(shù)與，定義求證：可整除 4．求一對整數(shù)，滿足：(1)不能被7整除；（2）能被77整除. 5．求設(shè)和是兩個正整數(shù)，為大于或等于3的質(zhì)數(shù)，），試證：（1）；（2）或 6．盒子中各若干個球，每一次在其中個盒中加一球.求證：不論開始的分布情況如何，總可按上述方法進行有限次加球后使各盒中球數(shù)相等的充要條件是 7．求所有這樣的自然數(shù)，使得是一個自然數(shù)的平方. 課后練習 1． 選擇題 （1）若數(shù)n=2030405060708090100110120130，則不是n的因數(shù)的最小質(zhì)數(shù)是（ ）. （A）19 （B）17 （C）13 （D）非上述答案 （2）在整數(shù)0、1、2…、8、9中質(zhì)數(shù)有x個，偶數(shù)有y個，完全平方數(shù)有z個，則x+y+z等于（ ）. （A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10 （3）可除盡311+518的最小整數(shù)是（ ）. （A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是 2． 填空題 （1）把100000表示為兩個整數(shù)的乘積，使其中沒有一個是10的整倍數(shù)的表達式為__________. (2)一個自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù),與3的差是6的倍數(shù),這樣的自然數(shù)中最小的是_________. (3)在十進制中,各位數(shù)碼是0或1,并且能被225整除的最小自然數(shù)是________. 3.求使為整數(shù)的最小自然數(shù)a的值. 4.證明:對一切整數(shù)n,n2+2n+12不是121的倍數(shù). 5.設(shè)是一個四位正整數(shù),已知三位正整數(shù)與246的和是一位正整數(shù)d的111倍,又是18的倍數(shù).求出這個四位數(shù),并寫出推理運算過程. 6.能否有正整數(shù)m、n滿足方程m2+1954=n2. 7.證明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n為非負整數(shù). (2)若將(1)中的11改為任意一個正整數(shù)a,則(1)中的12,133將作何改動?證明改動后的結(jié)論. 8.設(shè)a、b、c是三個互不相等的正整數(shù).求證:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三個數(shù)中,至少有一個能被10整除. 9. 100個正整數(shù)之和為101101,則它們的最大公約數(shù)的最大可能值是多少?證明你的結(jié)論. 課后練習答案 １．Ｂ．Ｂ．Ａ ２．（１）２５５５．（２）２７． ３．由2000a為一整數(shù)平方可推出a=5． ４．反證法．若是１２１的倍數(shù)，設(shè)ｎ２＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ（ｎ＋１）２＝１１（１１ｋ－１）．∵１１是素數(shù)且除盡（＋１）２， ∴１１除盡ｎ＋１１１２除盡（ｎ＋１）２或１１｜１１ｋ－１，不可能． ５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；又是１８的倍數(shù)，∴只能是１９８．而１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４． ７．（１）１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１＝１２１１１ｎ＋１２１４４ｎ＝１２１１１ｎ＋１２１１ｎ－１２１１ｎ＋１２１４４ｎ＝…＝１３３１１ｎ＋１２（１４４ｎ－１１ｎ）．第一項可被１３３整除．又１４４－１１｜１４４ｎ－１１ｎ，∴１３３｜１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１． （２）１１改為ａ．１２改為ａ＋１，１３３改為ａ（ａ＋１）＋１．改動后命題為ａ（ａ＋１）＋１｜ａｎ＋２＋（ａ＋１）２ｎ＋１，可仿上證明． ８．∵ａ３ｂ－ａｂ３＝ａｂ（ａ２－ｂ２）；同理有ｂ（ｂ２－ｃ２）；ｃａ（ｃ２－ａ２）．若ａ 、ｂ、ｃ中有偶數(shù)或均為奇數(shù)，以上三數(shù)總能被２整除．又∵在ａ、ｂ、ｃ中若有一個是５的倍數(shù)，則題中結(jié)論必成立．若均不能被５整除，則ａ２，ｂ２，ｃ２個位數(shù)只能是１，４，６，９，從而ａ２－ｂ２，ｂ２－ｃ２，ｃ２－ａ２的個位數(shù)是從１，４，６，９中，任取三個兩兩之差，其中必有０或５，故題中三式表示的數(shù)至少有一個被５整除，又２、５互質(zhì)． ９．設(shè)１００個正整數(shù)為ａ１，ａ２，…，ａ１００，最大公約數(shù)為ｄ，并令 則ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′１００）＝１０１１０１＝１０１１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，從而ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１９９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若取ａ１＝ａ２＝ａ９９＝１００１，ａ１００＝２００２，則滿足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值為１００１ 例題答案： 1. 證明：由性質(zhì)9知，只需證明數(shù)不能被一個很小的自然數(shù)整除.因 3 1，故3 ，因而不能分解成三個或三個以上的連續(xù)自然數(shù)的積. 再證不能分解成兩個連續(xù)正整數(shù)的積. 由上知，，因而只需證方程：無正整數(shù)解.而這一點可分別具體驗算時，均不是形的數(shù)來說明. 故對任何正整數(shù)、都不能分解成若干個連續(xù)正整數(shù)之積. 2. 證明： = = =1979 兩端同乘以1319！得1319！ 此式說明1979|1319！由于1979為質(zhì)數(shù)，且1979 1319！，故1979| 【評述】把1979換成形如的質(zhì)數(shù)，1319換成，命題仍成立. 牛頓二項式定理和為偶數(shù)), 為奇數(shù))在整除問題中經(jīng)常用到. 3.證明：當時， 由于[…]能被整除，所以能被整除，另一方面， 上式中[…]能被整除，所以也能被整除.因與2+1互質(zhì)，所以能被（2+1）（即）整除. 類似可證當時，F(xiàn)（2+1，）能被F（2+1,1）整除. 故能被整除. 4. = = 根據(jù)題設(shè)要求(1)(2)知，即 令即即，則故可令即合要求. 5. 由已知得，兩式相乘得 于是 故 （1）現(xiàn)用反證法來證明.若令是的一個質(zhì)因子，則有因，則，從而于是是、的一個公約數(shù)，這與=1矛盾，故. （2）因為所以而為質(zhì)數(shù)且，故或 6. 證明：設(shè)，則有使得，此式說明：對盒子連續(xù)加球次，可使個盒子各增加了個，一個增加個.這樣可將多增加了一個球的盒子選擇為原來球數(shù)最少的那個，于是經(jīng)過次加球之后，原來球數(shù)最多的盒子中的球與球數(shù)最少的盒子中的球數(shù)之差減少1，因此，經(jīng)過有限次加球后，各盒球數(shù)差為0，達到各盒中的球數(shù)相等. 用反證法證明必要性.若，則只要在個盒中放個球，則不管加球多少次，例如，加球次，則這時個盒中共有球（個），因為所以不可能是的倍數(shù)，更不是的倍數(shù)，各盒中的球決不能一樣多，因此，必須. 7. 證明：（1）當時，，因（…）為奇數(shù)，所以要使N為平方數(shù)，必為偶數(shù).逐一驗證知，N都不是平方數(shù). （2）當時，不是平方數(shù). （3）當時，，要N為平方數(shù)，應(yīng)為奇數(shù)的平方，不妨假設(shè)=,則由于和是一奇一偶，左邊為2的冪，因而只能=1，于是得，由知為所求.