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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 第2講數(shù)形結(jié)合思想 新人教版
(xx全國)已知函數(shù)f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是 ( )
A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)
解析 作出f(x)的大致圖象．
由圖象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨設(shè)a
1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
探究提高 解決函數(shù)的零點(diǎn)問題，通常是轉(zhuǎn)化為方程的根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題．在解決函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合，以“形”助“數(shù)”，直觀簡潔．
變式訓(xùn)練2 (xx江西)若不等式≤k(x＋2)－
的解集為區(qū)間[a，b]，且b－a＝2，則k＝____.
解析 令y1＝，
y2＝k(x＋2)－，在同一個(gè)坐標(biāo)系中
作出其圖象，因≤k(x＋2)－
的解集為[a，b]且b－a＝2.
結(jié)合圖象知b＝3，a＝1，即直線與圓
的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．
∴k＝＝.
題型三 數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用
例3 已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB
是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值．
思維啟迪
同一坐標(biāo)系中畫出直線與圓．
作出圓的切線PA、PB，則四邊形PACB的
面積S四邊形PACB＝S△PAC＋S△PBC＝2S△PAC.把
S四邊形PACB轉(zhuǎn)化為2倍的S△PAC可以有以下多
條數(shù)形結(jié)合的思路．
→
→
解 方法一 從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方無窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直直線時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時(shí)|PC|＝＝3，
從而|PA|＝＝2.
∴(S四邊形PACB)min＝2|PA||AC|＝2.
這是運(yùn)動(dòng)變化的思想幫助我們打開了解題的思路．
方法二 利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則
|PC|＝，由勾股定理及|AC|＝1，得
|PA|＝＝，從而
S四邊形PACB＝2S△PAC＝2|PA||AC|＝|PA|＝，
從而欲求S四邊形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2＝(x－1)2＋(y－1)2的最小值，即定點(diǎn)C(1,1)與直線上動(dòng)點(diǎn)P(x，y)距離的平方的最小值，它也就是點(diǎn)C(1,1)到直線3x＋4y＋8＝0的距離的平方，這個(gè)最小值d2＝()2＝9，
∴(S四邊形PACB)min＝＝2.
方法三 利用函數(shù)思想，將方法二中S四邊形PACB＝中的y由3x＋4y＋8＝0中解出，代入化為關(guān)于x的一元函數(shù)，進(jìn)而用配方法求最值，也可得(S四邊形PACB)min＝2.
探究提高
本題的解答運(yùn)用了多種數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)動(dòng)變化的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想以及配方法，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)問題快速得以解決．
變式訓(xùn)練3 已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ( )
A．(，－1) B．(，1)
C．(1,2) D．(1，－2)
解析 定點(diǎn)Q(2，－1)在拋物線內(nèi)部，
由拋物線的定義知，動(dòng)點(diǎn)P到拋物線
焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，問
題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q和到拋物線的
準(zhǔn)線距離之和最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，
顯然點(diǎn)P是直線y＝－1和拋物線y2＝4x的交點(diǎn)，解得這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(，－1)．
律方法總結(jié)
1．利用數(shù)形結(jié)合解題，只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象．
2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是解決高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法
與技巧，特別在解選擇題、填空題時(shí)更方便，可以提高解題速度．
3．?dāng)?shù)形結(jié)合思想常用模型：
一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點(diǎn)間的距離公式(或向量的模、復(fù)數(shù)的模)，點(diǎn)到直線的距離公式等.
知能提升演練
一、選擇題
1．設(shè)全集I是實(shí)數(shù)集R.M＝{x|x2>4}與N＝{x|≥1}
都是I的子集(如圖所示)，則陰影部分所表示的集合
為 ( )
A．{x|x<2} B．{x|－2≤x<1}
C．{x|1f(cos)
C．f(sin 1)f(cos)
解析 由f(x)＝f(x＋2)知T＝2為f(x)的一個(gè)周期，設(shè)x∈[－1,0]，知x＋4∈[3,4]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4－2＝x＋2，畫出函數(shù)f(x)的圖象，
如圖所示：
sinf(cos)；
sin>cos?f(sin)cos 1?f(sin 1)cos?f(sin)1 D．0
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