2019-2020年高中數學 2.3變量間的相關關系導學案 新人教A版必修3.doc

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2019-2020年高中數學 2.3變量間的相關關系導學案 新人教A版必修3 學習目標 （1）通過具體示例引導學生考察變量之間的關系，在討論的過程中認識現實世界中存在著不能用函數模型描述的變量關系,從而體會研究變量之間的相關關系的重要性. (2) 通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系.會作散點圖,并對變量間的正相關或負相關關系作出直觀判斷. (3) 在解決統計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解統計的作用. 重點難點 重點：利用散點圖直觀認識變量間的相關關系. 難點：理解變量間的相關關系. 學法指導 在解決統計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數形結合的數學思想和邏輯推理的數學方法。 問題探究 復習回顧： 函數的定義 二、情景設置： 客觀事物是相互聯系的,過去研究的大多數是因果關系，但實際上更多存在的是一種非因果關系.在中學校園里，有這樣一種說法：“如果你的數學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學生的物理成績與數學成績之間存在著某種關系，我們把數學成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關系是函數關系嗎？ 二、探究新知： 知識探究（一）：變量之間的相關關系 思考1：考察下列問題中兩個變量之間的關系： （1）商品銷售收入與廣告支出經費； （2）糧食產量與施肥量； （3）人體內的脂肪含量與年齡. 這些問題中兩個變量之間的關系是函數關系嗎？ 思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越高，那么學生的學業(yè)成績與教師的教學水平之間的關系是函數關系嗎？你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關系的成語嗎？ 思考3：上述兩個變量之間的關系是一種非確定性關系，稱之為相關關系，那么相關關系的含義如何？ 思考4：相關關系與函數關系的異同點： 總結：對相關關系的理解應當注意以下幾點： 其一是相關關系與函數關系不同.因為函數關系是一種非常確定的關系，而相關關系是一種非確定性關系，即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系.而函數關系可以看成是兩個非隨機變量之間的關系.因此，不能把相關關系等同于函數關系. 其二是函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系.例如，有人發(fā)現，對于在校兒童，鞋的大小與閱讀能力有很強的相關關系.然而，學會新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個因素——年齡.當兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高而且由于長大腳也變大. 其三是在現實生活中存在著大量的相關關系，如何判斷和描述相關關系，統計學發(fā)揮著非常重要的作用.變量之間的相關關系帶有不確定性，這需要通過收集大量的數據，對數據進行統計分析，發(fā)現規(guī)律，才能作出科學的判斷.（對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的方法叫回歸分析.） 知識探究（二）：散點圖 【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據：……課本85頁的探究。 思考1：描述一下散點圖的含義。 思考2：從上面問題的散點圖中說明人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關關系？ 思考3：正相關和負相關的定義是什么？它們各有什么特征？ （1）正相關：散點圖中的點散布在從 到 的區(qū)域。 （2）負相關：散點圖中的點散布在從 到 的區(qū)域。 思考4：你能列舉一些生活中的變量成正相關或負相關的實例嗎? 三、典例分析: 例1 在下列兩個變量的關系中，哪些是相關關系？ ①正方形邊長與面積之間的關系； ②作文水平與課外閱讀量之間的關系； ③人的身高與年齡之間的關系； ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系. 例2 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋的面積的數據： 房屋面積 （平方米） 61 70 115 110 80 135 105 銷售價格（萬元） 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22 畫出數據對應的散點圖，并指出銷售價格與房屋面積這兩個變量是正相關還是負相關. 例3、某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關系，隨機統計并制作了某6天賣出熱茶的杯數與當天氣溫的對照表： 根據上述數據,氣溫與熱茶銷售量之間的有怎樣的關系? 氣溫/C 26 18 13 10 4 杯數 20 24 34 38 50 64 知識探究（三）：線性回歸 一、回歸直線方程的推導 思考1：人體脂肪含量和年齡關系散點圖中點的分布從整體上看有何特點？ 思考2：如何描述這些特點？ （1）回歸直線：觀察散點圖的特征，如果各點大致分布在 附近，就稱兩個變量之間具有線性相關的關系，這條直線叫做回歸直線。 （2）回歸方程： 對應的方程叫做回歸方程。 思考3：回歸直線方程的推導：我們該怎樣來求出這個回歸方程？請同學們展開討論，能得出哪些具體的方案？ 方案1、先畫出一條直線，測量出各點與它的距離，再移動直線，到達一個使距離的和最小時，測出它的斜率和截距，得回歸方程。 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年齡 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 方案2、在圖中選兩點作直線，使直線兩側 的點的個數基本相同。 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年齡 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 方案3、如果多取幾對點，確定多條直線，再求出這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸 直線的斜率和截距。而得回歸方程。20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年齡 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 我們還可以找到更多的方法，但這些方法都可行嗎? 科學嗎？準確嗎？怎樣的方法是最好的？ 思考4：如何求解最有代表性的直線方程？ ①假設已經得到兩個具有線性相關關系的變量的一組數據 ， ，┉ 。 ②設所求回歸方程為 其中，是待定參數。 ③由最小二乘法得 其中：是回歸方程的 ，是 。 注： 1、各點到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法。 2、我們把由一個變量的變化去推測另一個變量的方法稱為回歸方法。 二、求線性回歸方程 例2：觀察兩相關變量得如下表： x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1 y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 求兩變量間的回歸方程 解：列表 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1 -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 9 14 15 12 5 5 15 12 14 9 計算，得 ∴所求回歸直線方程為 y=x 小結：求線性回歸直線方程的步驟： 第一步：畫出散點圖，判斷是否具有相關關系 第二步：列表； 第三步：計算 第四步：代入公式計算b,a的值； 第五步：寫出直線方程。 三、利用線性回歸方程對總體進行估計 例：有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經過統計，得到一個賣出的熱飲杯數與當天氣溫的對比表： 溫度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 杯數 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫出散點圖； (2)從散點圖中發(fā)現氣溫與熱飲銷售杯數之間關系的一般規(guī)律； (3)求回歸方程； (4)如果某天的氣溫是C,預測這天賣出的熱飲杯數。 解: (1)散點圖 溫度 熱飲杯數 (2)氣溫與熱飲杯數成負相關,即氣溫越高， 賣出去的熱飲杯數越少。 (3)從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線附近。 Y=-2.352x+147.767 ^ 通過列表、計算、代入公式計算b,a的值、寫出直線方程。 Y=-2.352x+147.767 （4）當x=2時，y=143.063,因此，這天大約可以賣出143杯熱飲。 目標檢測 1、下列兩個變量之間的關系哪個不是函數關系（　） A．角度和它的余弦值 B.正方形邊長和面積 C．正ｎ邊形的邊數和它的內角和 D.人的年齡和身高 2、 有關法律規(guī)定,香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.吸煙和健康之間有因果關系嗎？每一個吸煙者的健康問題都是因為吸煙引起的嗎？你認為“健康問題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙“的說法對嗎？ 3、 地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍.有人經統計發(fā)現了一個有趣的現象,如果村莊附近棲息的天鵝多,那么這個村莊的嬰兒出生率也高；天鵝少的地方嬰兒出生率低.于是,他就得出一個結論:天鵝能夠帶來孩子.你認為這個結論對嗎？為什么？你能由此解釋一下,社會上流行“烏鴉叫,沒好兆”這樣的迷信說法的原因嗎？ 4、 下表為某地近幾年機動車輛數與交通事故數的統計資料，請判斷機動車輛數與交通事故數之間是否有線性相關關系，說明理由． 車輛數 95 110 112 120 129 135 150 180 事故數 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 5、以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋的面積的數據： （1）畫出數據對應的散點圖； （2）求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線； （3）據（2）的結果估計當房屋面積為時的銷售價格. 6．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對應數據． x 3 4 5 6 y 2．5 3 4 4．5 （1）請畫出上表數據的散點圖； （2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程=; （3）已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤，試根據（2）求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？ （參考數值：32．5+43+54+64．5＝66．5）