2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 立體幾何(2)(含解析).doc
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2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 立體幾何(2)(含解析)1、在四棱錐PABCD中,底面是邊長為2的菱形,DAB60,對角線AC與BD交于點O,PO平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60.(1)求四棱錐的體積;(2)若E是PB的中點,求異面直線DE與PA所成角的余弦值解(1)在四棱錐PABCD中,PO面ABCD,PBO是PB與面ABCD所成的角,即PBO60,BOABsin 301,POOB,POBOtan 60,底面菱形的面積S2222.四棱錐PABCD的體積VPABCD22.(2)取AB的中點F,連接EF,DF,E為PB中點,EFPA,DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補角)在RtAOB中,AOABcos 30OP,在RtPOA中,PA,EF.在正ABD和正PDB中,DFDE,在DEF中,由余弦定理,得cosDEF.即異面直線DE與PA所成角的余弦值為.2、在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱A1B1,A1D1的中點,則A1B與EF所成角的大小為_解析如圖,連接B1D1,D1C,B1C.由題意知EF是A1B1D1的中位線,所以EFB1D1.又A1BD1C,所以A1B與EF所成的角等于B1D1與D1C所成的角因為D1B1C為正三角形,所以B1D1C.故A1B與EF所成角的大小為.答案3(xx浙江卷)設m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面()A若m,n,則mn B若m,m ,則C若mn,m,則n D若m,則m解析本題可借助特殊圖形求解,畫一個正方體作為模型(如圖)設底面ABCD為,側面A1ADD1為.當A1B1m,B1C1n時,顯然A不正確;當B1C1m時,顯然D不正確;當B1C1m時,顯然B不正確故選C.答案C4對于不同的直線m,n和不同的平面,有如下四個命題:若m,mn,則n;若m,mn,則n;若,則;若m,mn,n,則.其中真命題的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析本題可借助特殊圖形求解畫一個正方體作為模型(如圖)設底面ABCD為.當A1B1m,B1C1n,顯然符合的條件,但結論不成立;當A1Am,ACn,顯然符合的條件,但結論不成立;與底面ABCD相鄰兩個面可以兩兩垂直,但任何兩個都不平行;由面面垂直的判定定理可知,是正確的只有正確,故選A.答案A5已知l,m,n是空間中的三條直線,命題p:若ml,nl,則mn;命題q:若直線l,m,n兩兩相交,則直線l,m,n共面,則下列命題為真命題的是()Apq BpqCp(q) D(p)q解析命題p中,m,n可能平行、還可能相交或異面,所以命題p為假命題;命題q中,當三條直線交于三個不同的點時,三條直線一定共面,當三條直線交于一點時,三條直線不一定共面,所以命題q也為假命題所以p和q都為真命題,故p(q)為真命題選C.答案C4如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,(1)求A1C1與B1C所成角的大?。?2)若E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點,求A1C1與EF所成角的大小解:(1)如圖,連接AC,AB1,由ABCDA1B1C1D1是正方體,知AA1C1C為平行四邊形,所以ACA1C1,從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角由AB1C中,由AB1ACB1C可知B1CA60,即A1C1與B1C所成角為60.(2)如圖,連接BD,由(1)知ACA1C1.AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角EF是ABD的中位線,EFBD.又ACBD,ACEF,即所求角為90.EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90. 直線、平面平行的判定與性質考點:有關線面、面面平行的命題真假判斷1、(1)(xx廣東卷)設m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A若,m,n,則mn B若,m,n,則mnC若mn,m,n,則 D若m,mn,n,則(2)設m,n表示不同直線,表示不同平面,則下列結論中正確的是()A若m,mn,則nB若m,n,m,n,則C若,m,mn,則nD若,m,nm,n,則n解析(1)A中,m與n可垂直、可異面、可平行;B中m與n可平行、可異面;C中,若,仍然滿足mn,m,n,故C錯誤;故D正確(2)A錯誤,n有可能在平面內(nèi);B錯誤,平面有可能與平面相交;C錯誤,n也有可能在平面內(nèi);D正確,易知m或m,若m,又nm,n,n,若m,過m作平面交平面于直線l,則ml,又nm,nl,又n,l,n.答案(1)D(2)D2、(1)給出下列關于互不相同的直線l,m,n和平面,的三個命題:若l與m為異面直線,l,m,則;若,l,m,則lm;若l,m,n,l,則mn.其中真命題的個數(shù)為()A3 B2 C1 D0解析:中,當與相交時,也能存在符合題意的l,m;中,l與m也可能異面;中,l,l,mlm,同理ln,則mn,正確答案:C考點二:線面平行的判定與性質 1、如圖,直三棱柱ABCABC,BAC90,ABAC,AA1,點M,N分別為AB和BC的中點(1)證明:MN平面AACC;(2)求三棱錐AMNC的體積(1)證明:連接AB,AC,如圖,由已知BAC90,ABAC,三棱柱ABCABC為直三棱柱,所以M為AB中點又因為N為BC的中點,所以MNAC.又MN平面AACC,AC平面AACC,因此MN平面AACC.(2)解:連接BN,如圖,由題意ANBC,平面ABC平面BBCCBC,所以AN平面NBC.又ANBC1,2、如圖,在四面體ABCD中,F(xiàn),E,H分別是棱AB,BD,AC的中點,G為DE的中點證明:直線HG平面CEF.證明:法一:如圖1,連接BH,BH與CF交于K,連接EK.F,H分別是AB,AC的中點,K是ABC的重心,.又據(jù)題設條件知,EKGH.EK平面CEF,GH平面CEF,直線HG平面CEF. 法二如圖2,取CD的中點N,連接GN、HN.G為DE的中點,GNCE.CE平面CEF,GN平面CEF,GN平面CEF.連接FH,ENF,E,H分別是棱AB,BD,AC的中點,F(xiàn)HBC,ENBC,F(xiàn)HEN,四邊形FHNE為平行四邊形,HNEF.EF平面CEF,HN平面CEF,HN平面CEF.HNGNN,平面GHN平面CEF.GH平面GHN,直線HG平面CEF.考點三面面平行的判定與性質1、(xx陜西卷)如圖,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O底面ABCD,ABAA1.(1)證明:平面A1BD平面CD1B1;(2)求三棱柱ABDA1B1D1的體積(1)證明由題設知,BB1DD1,四邊形BB1D1D是平行四邊形,BDB1D1.又BD平面CD1B1,BD平面CD1B1.A1D1B1C1BC,四邊形A1BCD1是平行四邊形,A1BD1C.又A1B平面CD1B1,A1B平面CD1B1.又BDA1BB,平面A1BD平面CD1B1.(2)解A1O平面ABCD,A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1,AA1,A1O1.又SABD1,2、在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分別是C1C,B1C1,C1D1的中點,求證:平面PMN平面A1BD.證明法一如圖,連接B1D1,B1C.P,N分別是D1C1,B1C1的中點,PNB1D1.又B1D1BD,PNBD.又PN平面A1BD,PN平面A1BD.同理MN平面A1BD.又PNMNN,平面PMN平面A1BD.3、(xx山東卷,文)如圖1,幾何體EABCD是四棱錐,ABD為正三角形,CBCD,ECBD.(1)求證:BEDE;(2)若BCD120,M為線段AE的中點,求證:DM平面BEC.圖1 圖2 (1)如圖2,取BD的中點O,連接CO,EO.由于CBCD,所以COBD,(1分)又ECBD,ECCOC,CO,EC平面EOC,所以BD平面EOC,因此BDEO,(3分)又O為BD的中點,所以BEDE.(5分)(2)法一如圖3,取AB的中點N,連接DM,DN,MN,因為M是AE的中點,所以MNBE.(6分)又MN平面BEC,BE平面BEC,MN平面BEC.(7分)又因為ABD為正三角形,所以BDN30,又CBCD,BCD120,因此CBD30,所以DNBC.(9分)又DN平面BEC,BC平面BEC,所以DN平面BEC.又MNDNN,故平面DMN平面BEC,(11分)又DM平面DMN,所以DM平面BEC.(12分)法二:如圖4,延長AD,BC交于點F,連接EF.因為CBCD,BCD120,所以CBD30.(7分)因為ABD為正三角形,所以BAD60,ABC90,因此AFB30,所以ABAF.(9分)又ABAD,所以D為線段AF的中點(10分)連接DM,由點M是線段AE的中點,因此DMEF.(11分)又DM平面BEC,EF平面BEC,所以DM平面BEC.4、(xx福建)如圖,在四棱錐PABCD中,ABDC,AB6,DC3,若M為PA的中點,求證:DM平面PBC.證明法一取PB中點N,連接MN,CN.在PAB中,M是PA的中點,MNAB,且MNAB3,又CDAB,CD3,MNCD,四邊形MNCD為平行四邊形,DMCN.又DM平面PBC,CN平面PBC,DM平面PBC.法二取AB的中點E,連接ME,DE.在梯形ABCD中,BECD,且BECD,四邊形BCDE為平行四邊形,DEBC,又DE平面PBC,BC平面PBC,DE平面PBC.又在PAB中,MEPB,ME平面PBC,PB平面PBC,ME平面PBC,又DEMEE,平面DME平面PBC.又DM平面DME,DM平面PBC.5(xx青島一模)四棱錐PABCD中,底面ABCD為平行四邊形,N是PB中點,過A,N,D三點的平面交PC于M.(1)求證:PD平面ANC;(2)求證:M是PC中點證明(1)連接BD,AC,設BDACO,連接NO,ABCD是平行四邊形,O是BD中點,在PBD中,又N是PB中點,PDNO,又NO平面ANC,PD平面ANC,PD平面ANC.(2)底面ABCD為平行四邊形,ADBC,又BC平面ADMN,AD平面ADMN,BC平面ADMN,因平面PBC平面ADMNMN,BCMN,又N是PB中點,M是PC中點6.如圖,已知ABCDA1B1C1D1是棱長為3的正方體,點E在AA1上,點F在CC1上,G在BB1上,且AEFC1B1G1,H是B1C1的中點(1)求證:E,B,F(xiàn),D1四點共面;(2)求證:平面A1GH平面BED1F.證明(1)AEB1G1,BGA1E2,BGA1E,A1GBE.又同理,C1FB1G,四邊形C1FGB1是平行四邊形,F(xiàn)GC1B1D1A1,四邊形A1GFD1是平行四邊形A1GD1F,D1FEB,故E、B、F、D1四點共面(2)H是B1C1的中點,B1H.又B1G1,.又,且FCBGB1H90,B1HGCBF,B1GHCFBFBG,HGFB.又由(1)知A1GBE,且HGA1GG,F(xiàn)BBEB,平面A1GH平面BED1F直線、平面垂直的判定與性質考點:空間垂直關系的判定1設,為不重合的平面,m,n為不重合的直線,則下列命題正確的是()A若,n,mn,則mB若m,n,mn,則nC若n,n,m,則mD若m,n,mn,則解析與,兩垂直平面的交線垂直的直線m,可與平行或相交,故A錯;對B,存在n情況,故B錯;對D;存在情況,故D錯;由n,n,可知,又m,所以m,故C正確答案C2已知平面,和直線l,m,且lm,m,l,給出下列四個結論:;l;m;.其中正確的是()A B C D解析如圖,由題意,l,l,由,m,且lm,l,即正確;由l,l,由l,得,即正確;而條件不充分,不能判斷答案B3關于直線l,m及平面,下列命題中正確的是 ()A若l,m,則lmB若l,m,則lmC若l,l,則D若l,ml,則m答案C4設m,n是兩條不同直線,是兩個不同的平面,下列命題正確的是()Am,n,且,則mnBm,n,且,則mnCm,n,mn,則Dm,n,m,n,則解析A中的直線m,n也有可能異面,所以不正確B正確C中,不一定垂直,錯誤D中當m,n相交時,結論成立,當m,n不相交時,結論不成立所以選B.答案B5設m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,給出下列命題:若,m,n,則mn;若,m,n,則mn;若,m,n,則mn;若,m,n,則mn.上面命題中,所有真命題的序號為_解析只要畫出兩個平行平面,可以發(fā)現(xiàn)分別在兩個平面內(nèi)的直線是可以異面的,即m與n可以異面,不一定平行;滿足條件的兩條直線m和n也可以相交或異面,不一定平行答案 考點二:直線與平面垂直的判定和性質1、如圖,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中點證明:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,PAACA,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PAABBC,ABC60,可得ACPA.E是PC的中點,AEPC.由(1),知AECD,且PCCDC,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PAAB.又ABAD且PAADA,AB平面PAD,而PD平面PAD,ABPD.又ABAEA,PD平面ABE.2、如圖,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB2,AD,AA13,E為CD上一點,DE1,EC3.證明:BE平面BB1C1C.證明:過B作CD的垂線交CD于F,則BFAD,EFABDE1,F(xiàn)C2.在RtBEF中,BE.在RtCFB中,BC.在BEC中,因為BE2BC29EC2,故BEBC.由BB1平面ABCD,得BEBB1,又BB1BCB,所以BE平面BB1C1C.考點三平面與平面垂直的判定與性質1、如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,ABBCAA1,且ACBC,點D是AB的中點求證:平面ABC1平面B1CD.證明ABCA1B1C1是棱柱,且ABBCAA1BB1,四邊形BCC1B1是菱形,B1CBC1.由AA1平面ABC,AA1BB1,得BB1平面ABC.AB平面ABC,BB1AB,又ABBC,且ACBC,ABBC,而BB1BCB,BB1,BC平面BCC1B1,AB平面BCC1B1,而B1C平面BCC1B1,ABB1C,而ABBC1B,AB,BC1平面ABC1.B1C平面ABC1,而B1C平面B1CD,平面ABC1平面B1CD.2、如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,ABAD1,AA12,M是棱CC1的中點證明:平面ABM平面A1B1M.證明由長方體的性質可知A1B1平面BCC1B1,又BM平面BCC1B1,所以A1B1BM.又CC12,M為CC1的中點,所以C1MCM1.在RtB1C1M中,B1M,同理BM,又B1B2,所以B1M2BM2B1B2,從而BMB1M.又A1B1B1MB1,所以BM平面A1B1M,因為BM平面ABM,所以平面ABM平面A1B1M.考點四:平行、垂直關系的綜合問題1、 如圖,在四棱錐PABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB2CD,E,F(xiàn),G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點(1)求證:CE平面PAD;(2)求證:平面EFG平面EMN.證明(1)如圖,取PA的中點H,連接EH,DH.因為E為PB的中點,所以EHAB,且EHAB.又ABCD,且CDAB,所以EH綉CD.所以四邊形DCEH是平行四邊形所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD,所以CE平面PAD.(2)因為E,F(xiàn)分別為PB,AB的中點,所以EFPA.又ABPA,且EF,PA共面,所以ABEF.同理可證ABFG.又EFFGF,EF平面EFG,F(xiàn)G平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分別為PD,PC的中點,所以MNDC.又ABDC,所以MNAB,因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.2、如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直圓O所在的平面,C是圓O上的點(1)求證:BC平面PAC;(2)設Q為PA的中點,G為AOC的重心,求證:QG平面PBC.證明(1)由AB是圓O的直徑,得ACBC,由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.又PAACA,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.(2)連接OG并延長交AC于M,連接QM,QO,由G為AOC的重心,得M為AC中點由Q為PA中點,得QMPC,又O為AB中點,得OMBC.因為QMMOM,QM平面QMO,MO平面QMO,BCPCC,BC平面PBC,PC平面PBC.所以平面QMO平面PBC.因為QG平面QMO,所以QG平面PBC3.如圖,在四棱錐PABCD中,ABCD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分別是CD和PC的中點求證:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.證明(1)因為平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD,且PAAD.所以PA底面ABCD.(2)因為ABCD,CD2AB,E為CD的中點,所以ABDE,且ABDE.所以ABED為平行四邊形所以BEAD.又因為BE平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因為ABAD,且四邊形ABED為平行四邊形所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD.所以CD平面PAD,從而CDPD,且CD平面PCD,又E,F(xiàn)分別是CD和CP的中點,所以EFPD,故CDEF.由EF,BE在平面BEF內(nèi),且EFBEE,CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.4在如圖的多面體中,AE底面BEFC,ADEFBC,BEADEFBC,G是BC的中點(1)求證:AB平面DEG;(2)求證:EG平面BDF.證明(1)ADEF,EFBC,ADBC.又BC2AD,G是BC的中點,AD綉B(tài)G,四邊形ADGB是平行四邊形,ABDG.AB平面DEG,DG平面DEG,AB平面DEG.(2)連接GF,四邊形ADFE是矩形,DFAE,AE底面BEFC,DF平面BCFE,EG平面BCFE,DFEG.EF綉B(tài)G,EFBE,四邊形BGFE為菱形,BFEG,又BFDFF,BF平面BFD,DF平面BFD,EG平面BDF.5.如圖,在五面體ABCDEF中,點O是矩形ABCD的對角線的交點,ABF是等邊三角形,棱EFBC,且EFBC.(1)求證:EO面ABF;(2)若EFEO,證明:平面EFO平面ABE.證明(1)取AB的中點M,連接FM,OM.O為矩形ABCD的對角線的交點,OMBC,且OMBC,又EFBC,且EFBC,OMEF,且OMEF,四邊形EFMO為平行四邊形,EOFM,又FM平面ABF,EO平面ABF,EO平面ABF.(2)由(1)知四邊形EFMO為平行四邊形,又EFEO,四邊形EFMO為菱形,連接EM,則有FOEM,又ABF是等邊三角形,且M為AB中點,F(xiàn)MAB,易知MOAB,且MOMFM,AB面EFMO,ABFO.ABEMM,F(xiàn)O平面ABE.又FO平面EFO,平面EFO平面ABE.6如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD平面ABCD,ABAD,BAD60,E,F(xiàn)分別是AP,AD的中點求證:(1)直線EF平面PCD;(2)平面BEF平面PAD.證明(1)如圖,在PAD中,因為E,F(xiàn)分別為AP,AD的中點,所以EFPD.又因為EF平面PCD,PD平面PCD,所以直線EF平面PCD.(2)連接BD.因為ABAD,BAD60,所以ABD為正三角形因為F是AD的中點,所以BFAD.因為平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,所以BF平面PAD.又因為BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD.7.如圖1,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC上的點,ADAE,F(xiàn)是BC的中點,AF與DE交于點G.將ABF沿AF折起,得到如圖2所示的三棱錐ABCF,其中BC.(1)證明:DE平面BCF;(2)證明:CF平面ABF;(3)當AD時,求三棱錐FDEG的體積VFDEG.(1)證明在等邊ABC中,ADAE,在折疊后的圖形中,仍有ADAE,ABAC,因此,從而DEBC.因為DE平面BCF,BC平面BCF,所以DE平面BCF.(2)證明在折疊前的圖形中,因為ABC為等邊三角形,BFCF,所以AFBC,則在折疊后的圖形中,AFBF,AFCF,又BFCF,BC.,所以BC2BF2CF2,所以 BFCF.又BFAFF,BF平面ABF,AF平面ABF,所以CF平面ABF.(3)解由(1)知,平面DEG平面BCF,由(2)知AFBF,AFCF,又BFCFF,所以AF平面BCF,所以AF平面DEG,即GF平面DEG.在折疊前的圖形中,AB1,BFCF,AF.由AD知,又DGBF,所以,所以DGEG,AG,所以FGAFAG.故V三棱錐FDEGV三棱錐EDFGDGFGGE2.考點五線面角、二面角的求法1、如圖,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中點(1)求PB和平面PAD所成的角的大?。?2)證明AE平面PCD;(3)求二面角APDC的正弦值(1)解在四棱錐PABCD中,因PA底面ABCD,AB平面ABCD,故PAAB.又ABAD,PACDA,從而AB平面PAD,故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA,從而APB為PB和平面PAD所成的角在RtPAB中,ABPA,故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小為45.(2)證明在四棱錐PABCD中,因PA底面ABCD,CD平面ABCD,故CDPA.由條件CDAC,PAACA,CD平面PAC.又AE平面PAC,AECD.由PAABBC,ABC60,可得ACPA.E是PC的中點,AEPC.又PCCDC,綜上得AE平面PCD.(3)解過點E作EMPD,垂足為M,連接AM,如圖所示由(2)知,AE平面PCD,AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,則AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知,可得CAD30.設ACa,可得PAa,ADa,PDa,AEa.在RtADP中,AMPD,AMPDPAAD,則AMa.在RtAEM中,sinAME.所以二面角APDC的正弦值為.規(guī)律方法 (1)求直線與平面所成的角的一般步驟:找直線與平面所成的角,即通過找直線在平面上的射影來完成;計算,要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進行,在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線,再過垂足作二面角的棱的垂線,兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角2、在正方體ABCDA1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為() A. B.C. D.解析如圖,連接BD交AC于O,連接D1O,由于BB1DD1,DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角易知DD1O即為所求設正方體的棱長為1,則DD11,DO,D1O,cosDD1O.BB1與平面ACD1所成角的余弦值為.答案D3如圖,在四棱錐SABCD中,底面ABCD為矩形,SA平面ABCD,二面角SCDA的平面角為45,M為AB的中點,N為SC的中點(1)證明:MN平面SAD;(2)證明:平面SMC平面SCD;(3)記,求實數(shù)的值,使得直線SM與平面SCD所成的角為30.(1)證明如圖,取SD的中點E,連接AE,NE,則NECDAM,NECDAM,四邊形AMNE為平行四邊形,MNAE.MN平面SAD,AE平面SAD,MN平面SAD.(2)證明SA平面ABCD,SACD.底面ABCD為矩形,ADCD.又SAADA,CD平面SAD,CDSD,SDA即為二面角SCDA的平面角,即SDA45,SAD為等腰直角三角形,AESD.CD平面SAD,CDAE,又SDCDD,AE平面SCD.MNAE,MN平面SCD,又MN平面SMC,平面SMC平面SCD.(3)解,設ADSAa,則CDa.由(2)知MN平面SCD,SN即為SM在平面SCD內(nèi)的射影,MSN即為直線SM與平面SCD所成的角,即MSN30.在RtSAM中,SM,而MNAEa,在RtSNM中,由sinMSN得,解得2,當2時,直線SM與平面SCD所成的角為30.考點七:立體幾何中的探索性問題1、 (xx北京卷) 如圖1,在RtABC中,C90,D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如圖2.(1)求證:DE平面A1CB;(2)求證:A1FBE;(3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C平面DEQ?說明理由.(1)證明因為D,E分別為AC,AB的中點,所以DEBC.又因為DE平面A1CB,BC平面A1CB,所以DE平面A1CB.(2)證明由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD,又A1DDED,所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC,所以DEA1F.又因為A1FCD,所以A1F平面BCDE.所以A1FBE.(3) 解: 線段A1B上存在點Q,使A1C平面DEQ.理由如下:如圖,分別取A1C,A1B的中點P,Q,則PQBC.又因為DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知,DE平面A1DC,所以DEA1C.又因為P是等腰DA1C底邊A1C的中點,所以A1CDP,又DEDPD,所以A1C平面DEP.從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點Q,使得A1C平面DEQ.2、如圖1,在直角梯形ABCD中,ADC90,CDAB,ADCDAB2,點E為AC中點,將ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到幾何體DABC,如圖2.(1)求證:DABC;(2)在CD上找一點F,使AD平面EFB.(1)證明在圖1中,可得ACBC2,從而AC2BC2AB2,ACBC,平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABCAC,BC平面ABC,BC平面ADC,又AD平面ADC,BCDA.(2)解取CD的中點F,連接EF,BF,在ACD中,E,F(xiàn)分別為AC,DC的中點,EF為ACD的中位線,ADEF,又EF平面EFB,AD平面EFB,AD平面EFB.- 配套講稿:
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