2019-2020年高中數(shù)學 4.1.1導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性二教案 北師大選修1-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 4.1.1導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性二教案 北師大選修1-1教學過程:一創(chuàng)設情景函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型,研究函數(shù)時,了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的通過研究函數(shù)的這些性質(zhì),我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解下面,我們運用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),從中體會導數(shù)在研究函數(shù)中的作用。二新課講授 1問題:圖(1),它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像,圖(2)表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像運動員從起跳到最高點,以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別?通過觀察圖像,我們可以發(fā)現(xiàn):(1) 運動員從起點到最高點,離水面的高度隨時間的增加而增加,即是增函數(shù)相應地,(2) 從最高點到入水,運動員離水面的高度隨時間的增加而減少,即是減函數(shù)相應地,2函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系觀察下面函數(shù)的圖像,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關系如圖 3.3-3,導數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率 ( 圖 3.3-3)在處,切線是“左下右上”式的,這時,函數(shù)在附近單調(diào)遞增;在處,切線是“左上右下”式的,這時,函數(shù)在附近單調(diào)遞減結(jié)論:函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系在某個區(qū)間內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減說明:(1)特別的,如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)3求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導數(shù);(3)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間;(4)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間三典例分析例1已知導函數(shù)的下列信息:當時,;當,或時,;當,或時,試畫出函數(shù)圖像的大致形狀解:當時,可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;當,或時,;可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;當,或時,這兩點比較特殊,我們把它稱為“臨界點”綜上,函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間(1); (2)(3); (4)解:(1)因為,所以, 因此,在R上單調(diào)遞增,如下圖所示(2)因為,所以, 當,即時,函數(shù)單調(diào)遞增;當,即時,函數(shù)單調(diào)遞減;函數(shù)的圖像如圖3.3-5(2)所示(3)因為,所以,因此,函數(shù)在單調(diào)遞減,如上圖所示(4)因為,所以 當,即 時,函數(shù) ;當,即 時,函數(shù) ;函數(shù)的圖像如下圖所示注:(3)、(4)生練例3如圖3.3-6,水以常速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對應的水的高度與時間的函數(shù)關系圖像分析:以容器(2)為例,由于容器上細下粗,所以水以常速注入時,開始階段高度增加得慢,以后高度增加得越來越快反映在圖像上,(A)符合上述變化情況同理可知其它三種容器的情況 解:思考:例3表明,通過函數(shù)圖像,不僅可以看出函數(shù)的增減,還可以看出其變化的快慢結(jié)合圖像,你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎? 一般的,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快,這時,函數(shù)的圖像就比較“陡峭”;反之,函數(shù)的圖像就“平緩”一些如圖3.3-7所示,函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”,在或內(nèi)的圖像“平緩”例4求證:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)證明:因為當即時,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)說明:證明可導函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟:(1)求導函數(shù);(2)判斷在內(nèi)的符號;(3)做出結(jié)論:為增函數(shù),為減函數(shù)例5已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍解:,因為在區(qū)間上是增函數(shù),所以對恒成立,即對恒成立,解之得:所以實數(shù)的取值范圍為說明:已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型,常利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關系:即“若函數(shù)單調(diào)遞增,則;若函數(shù)單調(diào)遞減,則”來求解,注意此時公式中的等號不能省略,否則漏解例6已知函數(shù)y=x+,試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:y=(x+)=11x2=令0. 解得x1或x1.y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(,1)和(1,+).令0,解得1x0或0x1.y=x+的單調(diào)減區(qū)間是(1,0)和(0,1)四課堂練習1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.f(x)=2x36x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx2課本練習五回顧總結(jié)(1)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系(2)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間(3)證明可導函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性- 配套講稿:
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