2019-2020年高中數(shù)學 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.1 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 3.1.2 指數(shù)函數(shù)教案 新人教B版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.1 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 3.1.2 指數(shù)函數(shù)教案 新人教B版必修1 教學分析　　　　　 有了前面的知識儲備，我們就可以順理成章地學習指數(shù)函數(shù)的概念，作指數(shù)函數(shù)的圖象以及研究指數(shù)函數(shù)的性質． 本節(jié)安排的內容蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法，如數(shù)形結合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質)等．同時，編寫時充分關注與實際問題的結合，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值． 根據(jù)本節(jié)內容的特點，教學中要注意發(fā)揮信息技術的力量，盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設教學情境，為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持． 三維目標　　　　　 1．通過實際問題了解指數(shù)函數(shù)的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，根據(jù)圖象理解和掌握指數(shù)函數(shù)的性質，體會具體到一般數(shù)學討論方式及數(shù)形結合的思想． 2．讓學生了解數(shù)學來自生活，數(shù)學又服務于生活的哲理．培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題的能力，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S和科學正確的計算能力． 3．通過訓練點評，讓學生更能熟練指數(shù)冪運算性質．展示函數(shù)圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數(shù)函數(shù)的性質，讓學生體驗數(shù)學的簡潔美和統(tǒng)一美． 重點難點　　　　　 教學重點：指數(shù)函數(shù)的概念和性質及其應用． 教學難點：指數(shù)函數(shù)性質的歸納、概括及其應用． 課時安排　　　　　 2課時 第1課時 導入新課　　　　　 思路1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，寫出存留污垢y與漂洗次數(shù)x的關系式，它是函數(shù)關系式嗎？若是，請計算若要使存留的污垢不超過原有的，則至少要漂洗幾次？教師引導學生分析，列出關系式y(tǒng)＝()x，發(fā)現(xiàn)這個關系式是個函數(shù)關系且它的自變量在指數(shù)的位置上，這樣的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，引出本節(jié)課題． 思路2.教師復習提問指數(shù)冪的運算性質，并要求學生計算23,20,2－2,16.再提問怎樣畫函數(shù)的圖象，學生思考，分組交流，寫出自己的答案8,1，，2,9，，先建立平面直角坐標系，再描點，最后連線．點出本節(jié)課題． 推進新課　　　　　 1．一種放射性物質不斷衰減為其他物質，每經(jīng)過一年剩留量約是原來的84%，求出這種物質經(jīng)過x年后的剩留量y與x的關系式是__________． 2．某種細胞分裂時，由一個分裂成兩個，兩個分裂成四個，四個分裂成十六個，依次類推，一個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞個數(shù)y與x的關系式是__________． 討論結果：1.y＝0.84x　2.y＝2x 活動：先讓學生仔細觀察，交流討論，然后回答，教師提示點撥，及時鼓勵表揚給出正確結論的學生，引導學生在不斷探索中提高自己應用知識的能力，教師巡視，個別輔導，針對學生共性的問題集中解決． 對于問題(1)，看這兩個函數(shù)的共同特征，主要是看底數(shù)和自變量以及函數(shù)值． 對于問題(2)，一般性的概念是指用字母表示不變化的量即常量． 對于問題(3)，為了使運算有意義，同時也為了問題研究的必要性． 對于問題(4)，在(3)的規(guī)定下，我們可以把ax看成一個冪值，一個正數(shù)的任何次冪都有意義． 對于問題(5)，使學生回想指數(shù)函數(shù)的定義，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是否是一個指數(shù)函數(shù)，緊扣指數(shù)函數(shù)的形式． 討論結果：(1)對于兩個解析式我們看到每給自變量x一個值，y都有唯一確定的值和它對應，再就是它們的自變量x都在指數(shù)的位置上，它們的底數(shù)都大于0，但一個大于1，一個小于1.0.84與2雖然不同，但它們是兩個函數(shù)關系中的常量，因為變量只有x和y. (2)對于兩個解析式y(tǒng)＝0.84x和y＝2x，我們把兩個函數(shù)關系中的常量用一個字母a來表示，這樣我們得到指數(shù)函數(shù)的定義： 一般地，函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x叫做自變量，函數(shù)的定義域是實數(shù)集R. (3)a＝0時，x＞0時，ax總為0；x≤0時，ax沒有意義． a＜0時，如a＝－2，x＝，ax＝(－2)＝顯然是沒有意義的． a＝1時，ax恒等于1，沒有研究的必要． 因此規(guī)定a＞0，a≠1.此解釋只要能說明即可，不要深化． (4)因為a＞0，x可以取任意的實數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)的定義域是實數(shù)集R. (5)判斷一個函數(shù)是否是一個指數(shù)函數(shù)，一是看底數(shù)是否是一個常數(shù)，再就是看自變量是否是一個x且在指數(shù)位置上，滿足這兩個條件的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)． (1)前面我們學習函數(shù)的時候，根據(jù)什么思路研究函數(shù)的性質，對指數(shù)函數(shù)呢？ 2)前面我們學習函數(shù)的時候，如何作函數(shù)的圖象？說明它的步驟., 3)利用上面的步驟，作函數(shù)y＝2x的圖象. 4)利用上面的步驟，作函數(shù)的圖象. 5)觀察上面兩個函數(shù)的圖象各有什么特點，再畫幾個類似的函數(shù)圖象，看是否也有類似的特點？ 6)根據(jù)上述幾個函數(shù)圖象的特點，你能歸納出指數(shù)函數(shù)的性質嗎？ 7)把y＝2x和的圖象，放在同一坐標系中，你能發(fā)現(xiàn)這兩個圖象的關系嗎？ 8)你能證明上述結論嗎？ 9)能否用y＝2x的圖象畫的圖象？請說明畫法的理由. 10)什么是限制函數(shù)？ 活動：教師引導學生回顧需要研究的函數(shù)的那些性質，共同討論研究指數(shù)函數(shù)的性質的方法，強調數(shù)形結合，強調函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質中的作用，注意從具體到一般的思想方法的運用，滲透概括能力的培養(yǎng)，進行課堂巡視，個別輔導，投影展示畫得好的部分學生的圖象，及時評價學生，補充學生回答中的不足．學生獨立思考，提出研究指數(shù)函數(shù)性質的思路，獨立畫圖，觀察圖象及表格，表述自己的發(fā)現(xiàn)，同學們相互交流，形成對指數(shù)函數(shù)性質的認識，推薦代表發(fā)表本組的集體的認識． 討論結果：(1)我們研究函數(shù)時，根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質，由具體到一般，一般要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性，有時也通過畫函數(shù)圖象，從圖象的變化情況來看函數(shù)的性質． (2)一般是列表，描點，連線，借助多媒體手段畫出圖象，用計算機作函數(shù)的圖象． (3)列表． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝2x … 1 2 4 8 … 　　作圖如下所示． (4)列表． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝()x … 8 4 2 1 … 作圖如下圖． (5)通過觀察上圖，可知圖象左右延伸無止境，說明定義域是實數(shù)．圖象自左至右是上升的，說明是增函數(shù)，圖象位于x軸上方，說明值域大于0.圖象經(jīng)過點(0,1)，且y值分布有以下特點：x＜0時，0＜y＜1；x＞0時，y＞1.圖象不關于x軸對稱，也不關于y軸對稱，說明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 通過觀察下圖，可知圖象左右延伸無止境，說明定義域是實數(shù)．圖象自左至右是下降的，說明是減函數(shù)，圖象位于x軸上方，說明值域大于0.圖象經(jīng)過點(0,1)，且y值分布有以下特點：x＜0時，y＞1；x＞0時，0＜y＜1.圖象不關于x軸對稱，也不關于y軸對稱，說明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 可以再畫下列函數(shù)的圖象以作比較，y＝3x，y＝6x，y＝()x，y＝()x.重新觀察函數(shù)圖象的特點，推廣到一般的情形． (6)一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax在a＞1和0＜a＜1的情況下，它的圖象特征和函數(shù)性質如下表所示． 圖象特征 函數(shù)性質 a＞1 0＜a＜1 a＞1 0＜a＜1 向x軸正負方向無限延伸 函數(shù)的定義域為R 圖象關于原點和y軸不對稱 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都在x軸上方 函數(shù)的值域為R＋ 函數(shù)圖象都過定點(0,1) a0＝1 自左向右，圖象逐漸上升 自左向右，圖象逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù) 在第一象限內的圖象縱坐標都大于1 在第一象限內的圖象縱坐標都小于1 x＞0，ax＞1 x＞0，ax＜1 在第二象限內的圖象縱坐標都小于1 在第二象限內的圖象縱坐標都大于1 x＜0，ax＜1 x＜0，ax＞1 一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax在底數(shù)a＞1及0＜a＜1這兩種情況下的圖象和性質如下表所示： a＞1 0＜a＜1 圖象 性質 ①定義域：R ②值域：(0，＋∞) ③過點(0,1)，即x＝0時y＝1 ④在R上是增函數(shù)，當x＜0時，0＜y＜1；當x＞0時，y＞1 ④在R上是減函數(shù)，當x＜0時，y＞1；當x＞0時，0＜y＜1 (7)在同一坐標系中作出y＝2x和y＝()x兩個函數(shù)的圖象，如下圖．經(jīng)過仔細研究發(fā)現(xiàn)，它們的圖象關于y軸對稱． (8)證明：設點P(x1，y1)是y＝2x上的任意一點，它關于y軸的對稱點是P1(－x1，y1)，它滿足方程y＝()x＝2－x， 即點P1(－x1，y1)在y＝()x的圖象上．反之亦然，所以y＝2x和y＝()x兩個函數(shù)的圖象關于y軸對稱． (9)因為y＝2x和y＝()x兩個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，所以可以先畫其中一個函數(shù)的圖象，利用軸對稱的性質可以得到另一個函數(shù)的圖象，同學們一定要掌握這種作圖的方法，對以后的學習非常有好處． (10)由指數(shù)函數(shù)的定義可知，指數(shù)函數(shù)的定義域是實數(shù)集，但在實際問題中不都如此．例如，開始引進的兩個函數(shù)的例子，函數(shù)y＝2x的定義域是非負整數(shù)集，函數(shù)y＝0.84x的定義域是正整數(shù)集，它們的定義域都是指數(shù)函數(shù)定義域的子集，而且它們在其定義域內分別與指數(shù)函數(shù)y＝2x，y＝0.84x取相同的值．通常，我們把這類函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)的“限制函數(shù)”． 思路1 例1判斷下列函數(shù)是否是一個指數(shù)函數(shù)？ y＝x2，y＝8x，y＝24x，y＝(2a－1)x(a＞，a≠1)，y＝(－4)x，y＝πx，y＝6x3＋2. 活動：學生觀察，小組討論，嘗試解決以上題目，學生緊扣指數(shù)函數(shù)的定義解題，因為y＝x2，y＝24x，y＝6x3＋2都不符合y＝ax的形式，教師強調y＝ax的形式的重要性，即a前面的系數(shù)為1，a是一個正常數(shù)(也可以是一個表示正常數(shù)的代數(shù)式)，指數(shù)必須是x的形式或通過轉化后能化為x的形式． 解：y＝8x，y＝(2a－1)x(a＞，a≠1)，y＝πx是指數(shù)函數(shù)；y＝(－4)x，y＝x2，y＝24x，y＝6x3＋2不是指數(shù)函數(shù)． 變式訓練 　函數(shù)y＝23x，y＝ax＋k，y＝a－x，y＝()－2x(a＞0，a≠1)中是指數(shù)函數(shù)的有哪些？ 答案：y＝23x＝(23)x，y＝a－x＝()x，y＝()－2x＝[()－2]x都是指數(shù)函數(shù). 2比較下列各題中的兩個值的大?。? (1)1.72.5與1.73；(2)0.8－0.1與0.8－0.2；(3)1.70.3與0.93.1. 活動：學生自己思考或討論，回憶比較數(shù)的大小的方法，結合題目實際，選擇合理的，再寫出(最好用實物投影儀展示寫得正確的答案)，比較數(shù)的大小，一是作差，看兩個數(shù)差的符號，若為正，則前面的數(shù)大；二是作商，但必須是同號數(shù)，看商與1的大小，再決定兩個數(shù)的大小；三是計算出每個數(shù)的值，再比較大?。凰氖抢脠D象；五是利用函數(shù)的單調性．教師在學生中巡視其他學生的解答，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正并及時評價． 解法一：用數(shù)形結合的方法，如第(1)小題，用圖形計算器或計算機畫出y＝1.7x的圖象，如下圖． 在圖象上找出橫坐標分別為2.5、3的點，顯然，圖象上橫坐標為3的點在橫坐標為2.5的點的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1. 解法二：用計算器直接計算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91， 所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1. 解法三：利用函數(shù)單調性： (1)1.72.5與1.73的底數(shù)是1.7，它們可以看成函數(shù)y＝1.7x，當x＝2.5和3時的函數(shù)值；因為1.7＞1，所以函數(shù)y＝1.7x在R上是增函數(shù)，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73. (2)0.8－0.1與0.8－0.2的底數(shù)是0.8，它們可以看成函數(shù)y＝0.8x，當x＝－0.1和－0.2時的函數(shù)值；因為0＜0.8＜1，所以函數(shù)y＝0.8x在R上是減函數(shù)，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2. (3)因為1.70.3＞1,0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1. 點評：在第(3)小題中，可以用解法一、解法二解決，但不適合．由于1.70.3與0.93.1不能直接看成某個函數(shù)的兩個值，因此，在這兩個數(shù)值間找到1，把這兩數(shù)值分別與1比較大小，進而比較1.70.3與0.93.1的大小，這里的1是中間值. 變式訓練 1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，按大小順序排列a，b，c. 答案：b＜a＜c(a、b可利用指數(shù)函數(shù)的性質比較，而c是大于1的)． 2．比較a與a的大小(a＞0且a≠0)． 答案：分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論．當0＜a＜1時，a＞a；當a＞1時，a＜a. 3．利用指數(shù)函數(shù)的性質，比較下列各題中兩個值的大?。? (1)1.7a與1.7a＋1； (2)已知()a＞()b，比較a，b的大?。? 解：(1)考察函數(shù)y＝1.7x，它在實數(shù)集上是增函數(shù). 因為a＜a＋1，所以1.7a＜1.7a＋1. (2)考察函數(shù)y＝()x，它在實數(shù)集上是減函數(shù)． 因為()a＞()b，所以a＜b. 思路2 例1求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)；(2). 活動：學生先思考，再回答，由于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)的定義域是R，所以這類類似指數(shù)函數(shù)的函數(shù)的定義域要借助指數(shù)函數(shù)的定義域來求，教師適時點撥和提示，求定義域，只需使指數(shù)有意義即可，轉化為解不等式． 解：(1)令x－4≠0，則x≠4，所以函數(shù)y＝2的定義域是{x∈R|x≠4}， 又因為≠0，所以≠1，即函數(shù)的值域是{y|y＞0且y≠1}． (2)因為－|x|≥0，所以只有x＝0. 因此函數(shù)的定義域是{x|x＝0}． 而＝()0＝1，即函數(shù)的值域是{y|y＝1}． 點評：求與指數(shù)函數(shù)有關的定義域和值域時，要注意到充分考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調性，特別是第(1)題千萬不能漏掉y＞0. 變式訓練 　求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y＝()2x－x2；(2)y＝；(3)y＝(a＞0，a≠1)． 解：(1)函數(shù)y＝()2x－x2的定義域是R，值域是[，＋∞)． (2)函數(shù)y＝的定義域是[－，＋∞)，值域是[0，＋∞)． (3)當a＞1時，定義域是{x|x≥0}，當0＜a＜1時，定義域是{x|x≤0}，值域是[0，＋∞). 2比較下列兩個數(shù)的大?。? (1)30.8,30.7；(2)0.75－0.1,0.750.1；(3)1.80.6,0.81.6；(4). 活動：教師提示學生指數(shù)函數(shù)的性質，根據(jù)學生的解題情況及時評價學生． 解法一：直接用科學計算器計算各數(shù)的值，再對兩個數(shù)進行大小的比較： 對(1)，因為30.8＝2.408 225,30.7＝2.157 669，所以30.8＞30.7； 對(2)，因為0.75－0.1＝1.029 186,0.750.1＝0.971 642，所以0.75－0.1＞0.750.1； 對(3)，因為1.80.6＝1.422 864,0.81.6＝0.699 752，所以1.80.6＞0.81.6； 對(4)，因為＝2.080 084,2－＝0.659 754，所以＞2－. 解法二：利用指數(shù)函數(shù)的性質對兩個數(shù)進行大小的比較： 對(1)，因為函數(shù)y＝3x在R上是增函數(shù)，0.8＞0.7，所以30.8＞30.7； 對(2)，因為函數(shù)y＝0.75x在R上是減函數(shù)，0.1＞－0.1，所以0.75－0.1＞0.750.1； 對(3)，由指數(shù)函數(shù)的性質知1.80.6＞1.80＝1＝0.80＞0.81.6，所以1.80.6＞0.81.6； 對(4)，由指數(shù)函數(shù)的性質知＞()0＝1＝20＞2－，所以＞2－. 解法三：利用圖象法來解，具體解法略． 點評：在利用指數(shù)函數(shù)的性質對兩個數(shù)進行大小比較時，首先把這兩個數(shù)看作指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值，利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較．若兩個數(shù)不是同一函數(shù)的兩個函數(shù)值，則尋求一個中間量，兩個數(shù)都與這個中間量進行比較，這是常用的比較數(shù)的大小的方法，然后得兩個數(shù)的大小，數(shù)學上稱這種方法為“中間量法”. 變式訓練 　 1．下列關系中正確的是(　　) 答案：D 2．函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)對任意的實數(shù)x、y都有(　　) A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y) C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y) 答案：C 3．函數(shù)y＝ax＋5＋1(a＞0，a≠1)恒過定點__________． 答案：(－5,2) 探究一： 在同一坐標系中作出函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝10x的圖象，比較這三個函數(shù)增長的快慢． 活動：學生深刻回顧作函數(shù)圖象的方法，交流作圖的體會．列表、描點、連線，作出函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝10x的圖象，如下圖． x … －2 －1 0 1 2 3 … 10 … y＝2x … 0.25 0.5 1 2 4 8 … 1 024 … y＝3x … 0.11 0.33 1 3 9 27 … 59 049 … y＝10x … 0.01 0.1 1 10 100 1 000 … 1010 …  從表格或圖象可以看出： (1)x＜0時，有2x＞3x＞10x； (2)x＞0時，有2x＜3x＜10x； (3)當x從0增長到10，函數(shù)y＝2x的值從1增加到1 024，而函數(shù)y＝3x的值從1增加到59 049.這說明x＞0時y＝3x比y＝2x的函數(shù)值增長得快．同理y＝10x比y＝3x的函數(shù)值增長得快． 因此得：一般地，a＞b＞1時，(1)x＜0時，有ax＜bx＜1； (2)x＝0時，有ax＝bx＝1； (3)x＞0時，有ax＞bx＞1； (4)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，x＞0時其函數(shù)值增長就越快． 探究二： 分別畫出底數(shù)為0.2、0.3、0.5的指數(shù)函數(shù)的圖象(如下圖所示)，對照底數(shù)為2、3、10的指數(shù)函數(shù)的圖象，研究指數(shù)函數(shù)y＝ax(0＜a＜1)中a對函數(shù)的圖象變化的影響． 由此得：一般地，0＜a＜b＜1時，(1)x＞0時，有ax＜bx＜1；(2)x＝0時，有ax＝bx＝1；(3)x＜0時，有ax＞bx＞1；(4)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越小，x＞0時，其函數(shù)值減少就越快． 1．指數(shù)函數(shù)的定義． 2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質． 3．利用函數(shù)的圖象說出函數(shù)的性質，即數(shù)形結合的思想(方法)，它是一種非常重要的數(shù)學思想和研究方法． 4．利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較幾個數(shù)的大小，特別是中間變量法． 課本本節(jié)練習B　2、3. 本節(jié)課是在前面研究了函數(shù)性質的基礎上，研究具體的初等函數(shù)，它是重要的初等函數(shù)，它有著豐富的內涵，且和我們的實際生活聯(lián)系密切，也是以后學習對數(shù)函數(shù)的基礎，在指數(shù)函數(shù)的概念講解過程中，既要向學生說明定義域是什么，又要向學生交代，為什么規(guī)定底數(shù)a是大于0而不等于1的，本節(jié)內容課堂容量大，要提高課堂的效率和節(jié)奏，多運用信息化的教學手段，順利完成本堂課的任務． [備選例題] 例1 (1)求使不等式4x＞32成立的x的集合； (2)已知a＞a，求實數(shù)a的取值范圍． 活動：學生先思考，再討論，然后回答．(1)由于x在指數(shù)位置上，因此，要利用指數(shù)函數(shù)的性質進行轉化，特別是指數(shù)函數(shù)的單調性，(2)也是利用指數(shù)函數(shù)的性質判斷底數(shù)的范圍． 解：(1)4x＞32，即22x＞25. 因為y＝2x是R上的增函數(shù)，所以2x＞5，即x＞. 滿足4x＞32的x的集合是(，＋∞)． (2)由于＜，則y＝ax是減函數(shù)，所以0＜a＜1. 點評：正確理解和運用指數(shù)函數(shù)的性質是解題的關鍵． 例2用函數(shù)單調性的定義證明指數(shù)函數(shù)的單調性． 活動：教師點撥提示定義法判斷函數(shù)單調性的步驟，單調性的定義證明函數(shù)的單調性，要按規(guī)定的格式書寫． 證法一：設x1、x2∈R，且x1＜x2，則 y2－y1＝ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)． 因為a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即ax2－x1－1＞0. 又因為ax1＞0， 所以y2－y1＞0， 即y1＜y2. 所以當a＞1時，y＝ax，x∈R是增函數(shù)． 同理可證，當0＜a＜1時，y＝ax是減函數(shù)． 證法二：設x1、x2∈R，且x1＜x2，則y2與y1都大于0，則＝＝ax2－x1. 因為a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即＞1，y1＜y2. 所以當a＞1時，y＝ax，x∈R是增函數(shù)． 同理可證，當0＜a＜1時，y＝ax是減函數(shù)． 例3截止到xx年底，我國人口約13億，如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為多少？(精確到億) 活動：師生共同討論，將實際問題轉化為數(shù)學表達式，建立目標函數(shù)，常采用特殊到一般的方式，教師引導學生注意題目中自變量的取值范圍，可以先考慮一年一年增長的情況，再從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后解決問題： xx年底　人口約為13億； 經(jīng)過1年　人口約為13(1＋1%)億； 經(jīng)過2年　人口約為13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2億； 經(jīng)過3年　人口約為13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3億； 經(jīng)過x年　人口約為13(1＋1%)x億； 經(jīng)過20年　人口約為13(1＋1%)20億． 解：設今后人口年平均增長率為1%，經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)為y億，則 y＝13(1＋1%)x， 當x＝20時，y＝13(1＋1%)20≈16(億)． 答：經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為16億． 點評：類似此題，設原值為N，平均增長率為p，則對于經(jīng)過時間x年后總量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)． (設計者：韓雙影) 第2課時 導入新課　　　　　 思路1.我們在學習指數(shù)函數(shù)的性質時，利用了指數(shù)函數(shù)的圖象的特點，并且是用類比和歸納的方法得出，在上節(jié)課的探究中我們知道，函數(shù)①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的圖象之間的關系，由其中的一個可得到另外兩個的圖象，那么，對y＝ax與y＝ax＋m(a＞0，m∈R)有著怎樣的關系呢？在理論上，含有指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)是否具有奇偶性呢？這是我們本堂課研究的內容．教師點出課題． 思路2.我們在第一章中，已學習了函數(shù)的性質，特別是單調性和奇偶性是某些函數(shù)的重要特點，我們剛剛學習的指數(shù)函數(shù)，嚴格地證明了指數(shù)函數(shù)的單調性，便于我們在解題時應用這些性質，在實際生活中，往往遇到的不單單是指數(shù)函數(shù)，還有其他形式的函數(shù)，有的是指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)，我們需要研究它的單調性和奇偶性，這是我們面臨的問題，也是我們本堂課要解決的問題． 推進新課　　　　　 活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內容． 討論結果：(1)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質． 一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax在底數(shù)a＞1及0＜a＜1這兩種情況下的圖象和性質如下表所示： a＞1 0＜a＜1 圖 象 圖 象 特 征 圖象分布在一、二象限，與y軸相交，落在x軸的上方 都過點(0,1) 第一象限的點的縱坐標都大于1；第二象限的點的縱坐標都大于0且小于1 第一象限的點的縱坐標都大于0且小于1；第二象限的點的縱坐標都大于1 從左向下圖象逐漸上升 從左向下圖象逐漸下降 a＞1 0＜a＜1 性 質 (1)定義域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1 (4)x＞0時，y＞1；x＜0時，0＜y＜1 (4)x＞0時，0＜y＜1；x＜0時，y＞1 (5)在R上是增函數(shù) (5)在R上是減函數(shù) (2)依據(jù)函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)單調性的步驟是： ①取值．即設x1、x2是該區(qū)間內的任意兩個值且x1＜x2. ②作差變形．即求f(x2)－f(x1)，通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形． ③定號．根據(jù)給定的區(qū)間和x2－x1的符號確定f(x2)－f(x1)的符號，當符號不確定時，可以進行分類討論． ④判斷．根據(jù)單調性定義作出結論． (3)對于復合函數(shù)y＝f[g(x)]可以總結為： 當函數(shù)f(x)和g(x)的單調性相同時，復合函數(shù)y＝f[g(x)]是增函數(shù)； 當函數(shù)f(x)和g(x)的單調性相異即不同時，復合函數(shù)y＝f[g(x)]是減函數(shù)； 又簡稱為口訣“同增異減”． (4)判斷函數(shù)的奇偶性： 一是利用定義法，即首先是定義域關于原點對稱，再次是考察式子f(x)與f(－x)的關系，最后確定函數(shù)的奇偶性； 二是作出函數(shù)圖象或從已知圖象觀察，若圖象關于原點或y軸對稱，則函數(shù)具有奇偶性． 思路1 例 在同一坐標系下作出下列函數(shù)的圖象，并指出它們與指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象的關系． (1)y＝2x＋1與y＝2x＋2；(2)y＝2x－1與y＝2x－2. 活動：教師適當時候點撥，學生回想作圖的方法和步驟，特別是指數(shù)函數(shù)圖象的作法，學生回答并到黑板上作圖，教師指點學生，列出對應值表，抓住關鍵點，特別是(0,1)點，或用計算機作圖． 解：(1)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作出圖象如下圖． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … 2x … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 … 2x＋1 … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 … 2x＋2 … 0.5 1 2 4 8 16 32 … 比較可知函數(shù)y＝2x＋1、y＝2x＋2與y＝2x的圖象的關系為：將指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象向左平行移動1個單位長度，就得到函數(shù)y＝2x＋1的圖象；將指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象向左平行移動2個單位長度，就得到函數(shù)y＝2x＋2的圖象． (2)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作出圖象如下圖． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … 2x … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 … 2x－1 … 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 … 2x－2 … 0.312 5 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 … 比較可知函數(shù)y＝2x－1、y＝2x－2與y＝2x的圖象的關系為：將指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象向右平行移動1個單位長度，就得到函數(shù)y＝2x－1的圖象；將指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象向右平行移動2個單位長度，就得到函數(shù)y＝2x－2的圖象． 點評：類似地，我們得到y(tǒng)＝ax與y＝ax＋m(a＞0，a≠1，m∈R)之間的關系： y＝ax＋m(a＞0，m∈R)的圖象可以由y＝ax的圖象變化而來． 當m＞0時，y＝ax的圖象向左移動m個單位得到y(tǒng)＝ax＋m的圖象； 當m＜0時，y＝ax的圖象向右移動|m|個單位得到y(tǒng)＝ax＋m的圖象． 上述規(guī)律也簡稱為“左加右減”． 變式訓練 　為了得到函數(shù)y＝2x－3－1的圖象，只需把函數(shù)y＝2x的圖象(　　) A．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 B．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 C．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 D．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 答案：B 點評：對于有些復合函數(shù)的圖象，常用變換方法作出. 思路2 例1設a＞0，f(x)＝＋在R上滿足f(－x)＝f(x)． (1)求a的值； (2)證明f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 活動：學生先思考或討論，如果有困難，教師提示，引導． (1)求單獨一個字母的值，一般是轉化為方程，利用f(－x)＝f(x)可建立方程． (2)證明增減性一般用定義法，回憶定義法證明增減性的步驟，規(guī)范書寫的格式． (1)解：依題意，對一切x∈R有f(－x)＝f(x)成立，即＋aex＝＋. 所以(a－)(ex－)＝0對一切x∈R成立．由此可得a－＝0，即a2＝1. 又因為a＞0，所以a＝1. (2)證明：設0＜x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋－＝(ex1－ex2)(－1)＝ex1(ex2－x1－1)()． 由x1＞0，x2＞0，x2－x1＞0，得x2＋x1＞0，ex2－x1－1＞0,1－ex2＋x1＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 點評：在已知等式f(－x)＝f(x)成立的條件下，對應系數(shù)相等，求出a，也可用特殊值求解．證明函數(shù)的單調性，嚴格按定義寫出步驟，判斷過程盡量明顯直觀． 例2已知函數(shù)f(x)＝3x，且x＝a＋2時，f(x)＝18，g(x)＝3ax－4x的定義域為[0,1]． (1)求g(x)的解析式； (2)求g(x)的單調區(qū)間，確定其增減性并用定義證明； (3)求g(x)的值域． 解：(1)因為f(x)＝3x，且x＝a＋2時f(x)＝18， 所以f(a＋2)＝3a＋2＝18.所以3a＝2. 所以g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x. 所以g(x)＝2x－4x. (2)因為函數(shù)g(x)的定義域為[0,1]，令t＝2x，因為x∈[0,1]時，函數(shù)t＝2x在區(qū)間[0,1]上單調遞增， 所以t∈[1,2]，則g(t)＝t－t2＝－(t2－t)＝－(t－)2＋，t∈[1,2]． 因為函數(shù)t＝2x在區(qū)間[0,1]上單調遞增，函數(shù)g(t)＝t－t2在t∈[1,2]上單調遞減， 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞減． 證明：設x1和x2是區(qū)間[0,1]上任意兩個值，且x1＜x2， g(x2)－g(x1)＝2x2－4x2－2x1＋4x1＝(2x2－2x1)－(2x2－2x1)(2x2＋2x1)＝(2x2－2x1)(1－2x1－2x2)， 因為0≤x1≤x2≤1， 所以2x2＞2x1，且1≤2x1＜2,1＜2x2≤2. 所以2＜2x1＋2x2＜4. 所以－3＜1－2x1－2x2＜－1，可知(2x2－2x1)(1－2x1－2x2)＜0. 所以g(x2)＜g(x1)． 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞減． (3)因為函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞減， 所以x∈[0,1]時，有g(1)≤g(x)≤g(0)． 因為g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0， 所以－2≤g(x)≤0. 故函數(shù)g(x)的值域為[－2,0]． 點評：此題是一道有關函數(shù)的概念、函數(shù)性質的應用、推理、證明綜合題，要通盤考慮． 求函數(shù)y＝()|1＋2x|＋|x－2|的單調區(qū)間． 活動：教師提示，因為指數(shù)含有兩個絕對值，要去絕對值，要分段討論，同時注意底數(shù)的大小，分析出指數(shù)的單調區(qū)間，再確定函數(shù)的單調區(qū)間，利用復合函數(shù)的單調性學生思考討論，然后解答． 解：由題意可知2與－是區(qū)間的分界點． 當x＜－時，因為y＝()－1－2x－x＋2＝()1－3x＝23x－1＝8x， 所以此時函數(shù)為增函數(shù)． 當－≤x＜2時，因為y＝()1＋2x－x＋2＝()3＋x＝2－3－x＝()x， 所以此時函數(shù)為減函數(shù)． 當x≥2時，因為y＝()1＋2x＋x－2＝()3x－1＝21－3x＝2()x， 所以此時函數(shù)為減函數(shù)． 當x1∈[－，2)，x2∈[2，＋∞)時，因為2()x2－()x1＝22－3x2－2－32x1＝21－3x2－2－3－x1， 又因為1－3x2－(－3－x1)＝4－3x2＋x1＝4＋x1－3x2＜0，所以1－3x2＜－3－x1， 即2()x2＜()x1. 所以此時函數(shù)為減函數(shù)． 綜上所述，函數(shù)f(x)在(－∞，－]上單調遞增，在[－，＋∞)上單調遞減． 設m＜1，f(x)＝，若0＜a＜1，試求： (1)f(a)＋f(1－a)的值； (2)f()＋f()＋f()＋…＋f()的值． 活動：學生思考，觀察，教師提示學生注意式子的特點，做這種題目，一定要有預見性，即第(2)問要用到第(1)問的結果，聯(lián)系函數(shù)的知識解決． 解：(1)f(a)＋f(1－a)＝＋ ＝＋＝＋ ＝＋＝＝1. (2)f()＋f()＋f()＋…＋f() ＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()] ＝5001＝500. 點評：第(2)問是第(1)問的繼續(xù)，第(1)問是第(2)問的基礎，兩個問號是銜接的，利用前一個問號解決后一個問號是我們經(jīng)常遇到的情形，要注意問號與問號之間的聯(lián)系． 本節(jié)課復習了指數(shù)函數(shù)的性質，借助指數(shù)函數(shù)的性質的運用，我們對函數(shù)的單調性和奇偶性也進行了復習鞏固，利用單調性和奇偶性解決了一些問題，對?？嫉暮瘮?shù)圖象的變換進行了學習，要高度重視，在不斷學習中升華提高． 課本習題3—1 B　3、5、6. 指數(shù)函數(shù)作為一類基本的初等函數(shù)，它雖然不具有函數(shù)通性中的奇偶性，但是它與其他函數(shù)復合構成具有比較復雜的單調性的函數(shù)，同時也可以復合出比較特殊的奇函數(shù)和偶函數(shù)，判斷復合函數(shù)的單調性和奇偶性要十分小心，嚴格按規(guī)定的要求，有時借助數(shù)形結合可幫我們找到解題思路，本堂課是在以前基礎上的提高與深化，同時又兼顧了高考?？嫉膬热荩虼松婕懊鎻V，容量大，要集中精力，加快速度，高質量完成教學任務． 富蘭克林的遺囑與拿破侖的諾言 富蘭克林利用放風箏而感受到電擊，從而發(fā)明了避雷針．這位美國著名的科學家死后留下了一份有趣的遺囑： “……一千英鎊贈給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊，那么這筆錢應該托付給一些挑選出來的公民，他們得把這些錢按每年5%的利率借給一些年輕的手工業(yè)者去生息．這些款過了100年增加到131 000英鎊．我希望那時候用100 000英鎊來建立一所公共建筑物，剩下的31 000英鎊拿去繼續(xù)生息100年．在第二個100年末了，這筆款增加到4 061 000英鎊，其中1 061 000英鎊還是由波士頓的居民來支配，而其余的3 000 000英鎊讓馬薩諸塞州的公眾來管理．過此之后，我可不敢主張了！” 你可曾想過：區(qū)區(qū)的1 000英鎊遺產(chǎn)，竟立下幾百萬英鎊財產(chǎn)分配的遺囑，是“信口開河”，還是“言而有據(jù)”呢？事實上，只要借助于復利公式，同學們完全可以通過計算而作出自己的判斷． yn＝m(1＋a)n就是復利公式，其中m為本金，a為年利率，yn為n年后本金與利息的總和．在第一個100年末富蘭克林的財產(chǎn)應增加到：y100＝1 000(1＋5%)100＝131 501(英鎊)，比遺囑中寫的還多出501英鎊．在第二個100年末，遺產(chǎn)就更多了：y100＝131 501(1＋5%)100＝4 142 421(英鎊)．可見富蘭克林的遺囑是有科學根據(jù)的． 遺囑故事啟示我們：在指數(shù)效應下，微薄的財產(chǎn)，低廉的利率，可以變得令人瞠目結舌．威名顯赫的拿破侖，由于陷進了指數(shù)效應的漩渦而使法國政府十分難堪！ 1797年，拿破侖參觀國立盧森堡小學，贈上了一束價值三個金路易的玫瑰花，并許諾只要法蘭西共和國存在一天，他將每年送一束價值相等的玫瑰花，以作兩國友誼的象征．由于連年征戰(zhàn)，拿破侖忘卻了這一諾言！1894年，盧森堡王國鄭重地向法蘭西共和國提出了“玫瑰花懸案”，要求法國政府在拿破侖的聲譽和1 375 596法郎的債款中，兩者選取其一．這筆巨款就是三個金路易的本金，以5%的年利率，在97年的指數(shù)效應下的產(chǎn)物．