2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 2.10 函數(shù)的綜合應用教案 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 2.10 函數(shù)的綜合應用教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 抽象函數(shù)的計算或證明 【例1】已知函數(shù) f (x)對于任何實數(shù)x,y都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0. 求證: f(x)是偶函數(shù). 【證明】因為對于任何實數(shù)x、y都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), 令x=y(tǒng)=0,則f(0)+f(0)=2f(0)f(0),所以2f(0)=2f(0)f(0), 因為f(0)≠0,所以f(0)=1, 令x=0,y=x,則f(0+x)+f(0-x)=2f(0)f(x), 所以f(x)+f(-x)=2f(x),所以f(-x)=f(x), 故f(x)是偶函數(shù). 【點撥】對于判斷抽象函數(shù)的奇偶性問題常常采用“賦值法”探索求解途徑;判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性單調性時,既要扣緊函數(shù)奇偶性單調性的定義,又要靈活多變,以創(chuàng)造條件滿足定義的要求. 【變式訓練1】已知函數(shù)f(x)對任意的x,y有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)的定義域為R,請判定f(x)的奇偶性. 【解析】取x=y(tǒng)=0,得f(0)=0. 取y=-x,得f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù). 題型二 函數(shù)與導數(shù)的綜合應用 【例2】已知函數(shù)f(x)=x3+2x2-ax+1. (1)若函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為4,求實數(shù)a的值; (2)若函數(shù)g(x)=f′(x)在區(qū)間(-1,1)上存在零點,求實數(shù)a的取值范圍. 【解析】由題意得g(x)=f′(x)=3x2+4x-a. (1)f′(1)=3+4-a=4,所以a=3. (2)方法一:①當g(-1)=-a-1=0,即a=-1時,g(x)=f′(x)的零點x=-∈(-1,1); ②當g(1)=7-a=0,即a=7時, f′(x)的零點x=-?(-1,1),不合題意; ③當g(1)g(-1)<0時,-1<a<7; 當時,-≤a<-1.綜上所述,a∈[-,7). 方法二:g(x)=f′(x)在區(qū)間(-1,1)上存在零點,等價于3x2+4x=a在區(qū)間(-1,1)上有解,也等價于直線y=a與曲線y=3x2+4x,x∈(-1,1)有公共點,作圖可得a∈[-,7). 方法三:等價于當x∈(-1,1)時,求值域:a=3x2+4x=3(x+)2-∈[-,7). 【變式訓練2】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與坐標軸交于(-1,0)和(0,-1),且其頂點在第四象限,則a+b+c的取值范圍為 . 【解析】由已知c=-1,a-b+c=0,所以a+b+c=2a-2. 又?0<a<1,所以a+b+c∈(-2,0). 題型三 化歸求函數(shù)的最大值和最小值問題 【例3】某個體經(jīng)營者把開始6個月試銷售A、B兩種商品的逐月投資與所獲得的純利潤列成下表: 投資A商品 (萬元) 1 2 3 4 5 6 獲純利 (萬元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投資B商品 (萬元) 1 2 3 4 5 6 獲純利 (萬元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 該經(jīng)營者下月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品,但不知投入A、B兩種商品各多少才能獲得最大的利潤,請你幫助制定一個資金投入方案,使該經(jīng)營者能獲得最大利潤,并根據(jù)你的方案求出經(jīng)營者下個月可能獲得的最大利潤(結果保留兩個有效數(shù)字). 【解析】以投資金額為橫坐標,純利潤為縱坐標,可以在直角坐標系中畫出圖象. 據(jù)此可以考慮用下列函數(shù)描述上述兩組數(shù)據(jù)之間的對應關系 y=-a(x-4)2+2 (a>0),① y=bx,② 把x=1,y=0.65代入①得a=0.15,故前6個月所獲得的純利潤關于投資A商品的金額函數(shù)關系式可近似的用y=-0.15(x-4)2+2表示, 再把x=4,y=1代入②可得b=0.25,故前6個月所獲得的純利潤關于投資B商品的金額函數(shù)關系式可近似的用y=0.25x表示, 設下個月投資A商品x萬元,則投資B商品(12-x)萬元,則可獲得純利潤為 y=-0.15(x-4)2+2+0.25(12-x)=-0.15x2+0.95x+2.6, 可得當x≈3.2時,y取最大值4.1萬元. 故下個月分別投資A、B兩種商品3.2萬元和8.8萬元可獲得最大利潤4.1萬元. 【點撥】本題可以用兩個函數(shù)近似地表示兩種投資方案,是估計思想的體現(xiàn).根據(jù)表中所列數(shù)據(jù),把近似函數(shù)的解析式求出來,由此求得最大利潤.解決此類問題的關鍵在于根據(jù)列出的散點圖來選取適當?shù)暮瘮?shù)模型,然后求出待定系數(shù)便可求得函數(shù)解析式,再由解析式求最優(yōu)解. 【變式訓練3】求函數(shù)y=的值域. 【解析】x=0時,y=0; x>0時,y=,所以0<y<1; x<0時,y=,所以-≤y<0. 綜上,-≤y<1. 總結提高 1.函數(shù)把數(shù)學各個分支緊緊地連在一起,函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、幾何、三角函數(shù)彼此滲透、互相融合,構成了函數(shù)應用的廣泛性、解法的多樣性、思維的創(chuàng)造性.解這類綜合問題應注意如下幾點: (1)在解題時有些函數(shù)的性質并不明顯,深入挖掘這些隱含條件,將獲得簡捷解法; (2)應堅持“定義域優(yōu)先”的原則,先弄清自變量的取值范圍; (3)函數(shù)思想處處存在,要重視對函數(shù)思想的研究和應用,在解題時,要有意識地引進變量,建立相關函數(shù)關系,利用有關函數(shù)知識解決問題. 2.解函數(shù)應用題的基本步驟: (1)閱讀理解,審清題意.讀題要逐字逐句,讀懂題中的文字敘述,理解敘述所表達的實際背景,在此基礎上分析出已知什么,求什么,從中提煉出相應的數(shù)學問題; (2)引進數(shù)學符號,建立數(shù)學模型.一般地,設自變量為x,函數(shù)為y,必要時引進其他相關輔助變量,并用x、y和輔助變量表示各相關量,然后再根據(jù)問題已知條件,運用已掌握的數(shù)學知識、物理知識和其他相關知識建立關系式,在此基礎上,將實際問題轉化為函數(shù)問題,實現(xiàn)問題數(shù)學化,即建立數(shù)學模型; (3)利用數(shù)學方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題予以解答,求出結果; (4)將所得結果轉譯成具體問題的解答.- 配套講稿:
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