2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 10.7 空間角及其求法教案 理 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 10.7 空間角及其求法教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　求異面直線所成的角 【例1】(xx天津模擬)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4. (1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值； (2)求證：AF⊥平面A1ED； (3)求二面角A1－ED－F的正弦值. 【解析】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AB＝1，依題意得D(0,2,0)，F(xiàn)(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，，0). 易得＝(0，，1)，＝(0,2，－4)， 于是cos〈，〉＝＝－. 所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為. (2)證明：易知＝(1,2,1)， ＝(－1，－，4)，＝(－1，，0)， 于是＝0，＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED. (3)設(shè)平面EFD的法向量u＝(x，y，z)， 不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，由(2)可知，為平面A1ED的一個(gè)法向量. 于是cos〈u，〉＝＝，從而sin〈u，〉＝. 所以二面角A1－ED－F的正弦值為. 方法二：(1)設(shè)AB＝1，可得AD＝2，AA1＝4，CF＝1，CE＝. 連接B1C，BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M，易知A1D∥B1C.由＝＝，可知EF∥BC1，故∠BMC是異面直線EF與A1D所成的角. 易知BM＝CM＝B1C＝，所以cos∠BMC＝＝. 所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為. (2)證明：連接AC，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)N，因?yàn)椋剑剑訰t△DCE∽R(shí)t△CBA.從而∠CDE＝∠BCA. 又由于∠CDE＋∠CED＝90，所以∠BCA＋∠CED＝90.故AC⊥DE. 又因?yàn)镃C1⊥DE且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACF.從而AF⊥DE. 連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF.從而AF⊥B1C，所以AF⊥A1D. 因?yàn)镈E∩A1D＝D，所以AF⊥平面A1ED. (3)連接A1N，F(xiàn)N.由(2)可知DE⊥平面ACF.又NF?平面ACF，A1N?平面ACF，所以DE⊥NF，DE⊥A1N.故∠A1NF為二面角A1－ED－F的平面角. 易知Rt△CNE∽R(shí)t△CBA，所以＝.又AC＝，所以CN＝. 在Rt△CNF中，NF＝＝.在Rt△A1AN中，A1N＝＝. 連接A1C1，A1F，在Rt△A1C1F中，A1F＝＝. 在△A1NF中，cos∠A1NF＝＝. 所以sin∠A1NF＝. 所以二面角A1－ED－F的正弦值為. 【點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線所成的角，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力. 【變式訓(xùn)練1】已知二面角α－a－β的大小為θ(＜θ＜π)，直線AB?α，CD?β，且AB⊥a，CD⊥a，若AB與CD所成的角為φ，則(　　) A.φ＝0 B.φ＝θ－ C.φ＝θ＋ D.φ＝π－θ 【解析】選D. 題型二　求二面角 【例2】(xx北京模擬)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. (1)求證：AF∥平面BDE； (2)求證：CF⊥平面BDE； (3)求二面角A－BE－D的大小. 【解析】(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，連接EG. 因?yàn)镋F∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1. 所以四邊形AGEF為平行四邊形. 所以AF∥EG. 因?yàn)镋G?平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD. 如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz，則C(0,0,0)，A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(xiàn)(，，1).所以＝(，，1)，＝(0，－，1)，＝(－，0,1).所以＝0－1＋1＝0，＝－1＋0＋1＝0.所以CF⊥BE，CF⊥DE.所以CF⊥平面BDE. (3)由(2)知，＝(，，1)是平面BDE的一個(gè)法向量. 設(shè)平面ABE的法向量n＝(x，y，z)，則n＝0，n＝0. 所以x＝0，且z＝y(tǒng).令y＝1，則z＝. 所以n＝(0,1，).從而cos〈n，〉＝＝. 因?yàn)槎娼茿－BE－D為銳角，所以二面角A－BE－D的大小為. 【點(diǎn)撥】(1)本小題主要考查直線與直線；直線與平面；平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象力推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想. (2)空間的平行與垂直以及空間角是立體幾何中重點(diǎn)考查的內(nèi)容；利用平面的法向量的夾角求二面角的平面角是向量知識(shí)在立體幾何中的應(yīng)用，是求二面角常用方法. 【變式訓(xùn)練2】在四面體ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，則二面角A－BC－D的大小為(　　) A. B. C. D. 【解析】選B. 題型三　求直線與平面所成的角 【例3】已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點(diǎn). (1)求證：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值. 【解析】以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0). 設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m＜0，n＞0)， 則D(0，m,0)，E(，，0)， 可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)， 因?yàn)椋剑?＝0，所以PE⊥BC. (2)由已知條件得m＝－，n＝1， 故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0,0,1). 設(shè)n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量， 因此可以取n＝(1，，0). 由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝. 所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為. 【點(diǎn)撥】利用空間向量法求解問(wèn)題時(shí)，適當(dāng)建立空間坐標(biāo)系是關(guān)鍵，建立坐標(biāo)系時(shí)要抓住三條互相垂直且相交于一點(diǎn)的直線. 【變式訓(xùn)練3】過(guò)正三棱錐S－ABC的側(cè)棱SB與底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，則側(cè)面與底面所成角的余弦值為(　　) A. B. C.或 D.或 【解析】選C.取AC中點(diǎn)E，分SB＝BE和SE＝BE兩種情況討論. 總結(jié)提高 1.求兩異面直線所成的角，一般用平移法；但若需要補(bǔ)形，則用向量法較好. 2.在求空間角的問(wèn)題上，向量法和幾何法各有所長(zhǎng)，應(yīng)斟酌使用.