2019-2020年中考數(shù)學(xué) 知識點(diǎn)聚焦 第七章 一元一次方程與二元一次方程組.doc

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2019-2020年中考數(shù)學(xué) 知識點(diǎn)聚焦 第七章 一元一次方程與二元一次方程組 考情分析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.一元一次方程及方程的解 ★ 5～12分 2.等式的性質(zhì) ★★ 3.解一元一次方程 ★ 4.由實(shí)際問題列方程(組） ★★ 5.一元一次方程的應(yīng)用 ★ 6.二元一次方程組的解 ★★ 7.解二元一次方程組 ★★ 8.二元一次方程(組)的應(yīng)用 ★★★ 智能圖譜 第15講一元一次方程 知識能力解讀 知能解讀（一）方程及一元一次方程的有關(guān)概念 （1）方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程. 注意 判斷一個式子是不是方程，要看兩個條件：一是等式；二是含有未知數(shù).二者缺一不可. （2）一元一次程：只含有一個未知數(shù)(元)，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,等號兩邊都是整式，這樣的方程叫作一元一次方程.方程(其中是未知數(shù)是已知數(shù)，并且)叫作一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式. 一元一次方程具有三個特點(diǎn):①未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)；②含有一個未知數(shù)；③含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1.三者缺一不可. （3）方程的解：使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值,叫作方程的解(只含有一個未知數(shù)的方程的解，也叫方程的根). （4）解方程：求方程的解的過程，叫作解方程. 注意 判斷一個數(shù)(或一組數(shù))是不是某方程的解，只需看兩點(diǎn)：（1）它（或它們）是方程中未知數(shù)的值；（2）將它（或它們）分別代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它（或它們）是方程的解.二者缺一不可. 知能解讀（二）等式及其性質(zhì) （1）等式：用等號“=”來表示相等關(guān)系的式子叫等式.像，，，這樣的式子，都是等式. 我們可以用表示一般的等式. （2）等式的性質(zhì)： （3）等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等，即如果，那么； （4）等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，即如果，那么；如果，那么. 拓展 等式還具有下列性質(zhì)： （1）對稱性：如果，那么，即等式的左、右兩邊交換位置，所得結(jié)果仍是等式； （2）傳遞性：如果，且，那么，這一性質(zhì)也叫等量代換. 知能解讀(三)一元一次方程的解法 移項(xiàng)法則：方程中的任何一項(xiàng)都可以改變符號后從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫作移項(xiàng).這個法則叫作移項(xiàng)法則，移項(xiàng)的根據(jù)是等式的性質(zhì)①. （2）解一元二次方程的一般步驟： 變形名稱 具體做法 變形依據(jù) 注意事項(xiàng) 去分母 在方程得兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù) 等式的性質(zhì)② （1）不要漏乘不含分母的項(xiàng)； （2）若分子是一個多項(xiàng)式，需加上括號 去括號 先去小括號，再去中括號，最大去大括號 去括號法則、分賠律 （1）不要漏乘括號里的項(xiàng)； （2）不要弄錯符號 移項(xiàng) 把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，其他各項(xiàng)都移到方程得另一邊（記住移向要變號） 等式的性質(zhì)① （1）移項(xiàng)要變號； （2）不要丟項(xiàng) 合并同類項(xiàng) 把方程化為的形式 合同同類項(xiàng)法則 （1）未知數(shù)及其指數(shù)不變，系數(shù)相加； （2）不要漏項(xiàng) 系數(shù)化為1 在方程的兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解 等式的性質(zhì)② 切記分子、分母置顛倒 注意 解方程的五個步驟，有些可能用不到，有些可能重復(fù)使用，也不一定按從上到下的順序進(jìn)行，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活安排求解步驟. 知能解讀（四）實(shí)際問題與一元一次方程 簡單概括為“審、找、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”七個字. 即：（1）審清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù)； （2）找出能夠表示應(yīng)用題含義的一個等量關(guān)系； （3）根據(jù)這個等量關(guān)系設(shè)出需要的未知數(shù)，從而列出方程； （4）解這個方程，求出未知數(shù)的值； （5）檢驗(yàn)解的合理性并寫出答案（包括單位名稱). 注意 列方程解應(yīng)用題的注意事項(xiàng) 步驟 注意事項(xiàng) 設(shè)未知數(shù) 1.設(shè)未知數(shù)，一般是問什么就直接設(shè)什么； 2.若直接設(shè)未知數(shù)有難度，可間接設(shè)未知數(shù)； 3.設(shè)未知數(shù)時，必須寫清楚未知數(shù)的單位名稱，如“設(shè)火車的速度是”是不正確的，應(yīng)是“設(shè)火車的速度千米/時” 列方程 1.列方程得等量關(guān)系是否正確； 2.方程兩邊的量所用單位是否統(tǒng)一 解答 求得方程的解必須檢驗(yàn)，看是否符合題意，是否使實(shí)際問題有意義 知能解讀（五）一元一次方程應(yīng)用題常見的題型及數(shù)量關(guān)系歸納 內(nèi) 容 類 型 題中涉及的數(shù)量關(guān)系及公式 等量關(guān)系 注意事項(xiàng) 和、差、倍、分問題 增長量=原有量增長率 現(xiàn)有量=原有量+增長量 現(xiàn)有量=原有量-降低量 由題可知 弄清“倍數(shù)”關(guān)系及“多少”關(guān)系等 等積變形問題 長方體體積=長寬高 圓柱體體積（高，底面圓半徑） 變形前后體積相等 要分清圓的半徑、直徑 行程問題 相遇問題 路程=速度時間 時間=路程速度 快車行駛路程+慢車行駛路程=原距離 相向而行，注意出發(fā)時間、地點(diǎn) 追及問題 速度=路程時間 快車行駛路程-慢車行駛路程=原距離 同向而行，注意出發(fā)時間、地點(diǎn) 調(diào)配問題 從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系 調(diào)配對象流動的方向和數(shù)量 比例分配問題 全部數(shù)量=各部分的數(shù)量之和 把一份的數(shù)量設(shè)為 工程問題 工作量=工作效率工作時間 工作效率=工作量工作時間 工作時間=工作量工作效率 兩個或幾個工作效率不同的對象所完成的工作量的和等于總工作量 一般情況下，把總工作量設(shè)為1 利潤率問題 商品的利潤率=100% 商品利潤=商品售價-商品進(jìn)價（成本價） 找出利潤、利潤率、售價、進(jìn)價之間的關(guān)系 打幾折就是按原售價的十分之幾出售 數(shù)字問題（包括月歷表中的數(shù)字規(guī)律） 設(shè)分別為一個兩位數(shù)的個位、十位上數(shù)字，則這個兩位數(shù)可表示為 由題可知 （1）對于月歷表中的數(shù)字問題要弄清月歷表中的數(shù)字規(guī)律 （2）設(shè)間接未知數(shù) 儲蓄問題 本金、利息、利率之間的關(guān)系式：利息=本金利率期數(shù)；本息和=本金+利息=本金（1+利率期數(shù)） 由題可知 分清利息和本息和 注意 以上把一元一次方程應(yīng)用題幾種常見的題型及其特點(diǎn)列表歸納出來，目的是幫助同學(xué)們加深理解和記憶，切不可把它當(dāng)作學(xué)習(xí)的“拐杖”，死記題型，生搬硬套，要培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，掌握列一元一次方程解應(yīng)用題的一般方法. 方法技巧歸納 方法技巧（一）一元一次方程的識別方法 方程是一元一次方程的條件有三個:①只含有一個未知數(shù)；②含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1；③是整式方程且未知數(shù)的系數(shù)不為0.這三個條件缺一不可. 點(diǎn)撥 判斷一個方程是不是一元一次方程，就看它是否符合：①方程兩邊都是整式；②只含有一個未知數(shù)；③含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.三個條件缺一不可. 方法技巧（二）方程的解的應(yīng)用 方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值， 把方程的解代入可求出某些字母的值. 點(diǎn)撥 (1)把方程的解代入方程時，一定要“對號入座”，只把未知數(shù)用這個解來代替，其余不變.（2）當(dāng)方程中含有多個字母時，指出是關(guān)于哪個字母的方程,哪個字母就是方程的未知數(shù)，而其他字母都相當(dāng)于已知數(shù). 方法技巧（三）利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形 利用等式的性質(zhì)對等式變形時，應(yīng)分析變形前、后式子發(fā)生了哪些變化,發(fā)生加減變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)1，發(fā)生乘除變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2. 注意 （1）等式變形時，等式兩邊必須進(jìn)行完全相同的運(yùn)算，等式才成立；（2）特別注意等式兩邊同除以一個數(shù)(或一個式子)時，這個除數(shù)(或除式)不能為0. 方法技巧（四）一元一次方程的求解方法 （1）解一元一次方程，一般通過去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟，把一元一次方程“轉(zhuǎn)化”成的形式. （2）解方程的過程中，關(guān)鍵要明確步驟，且能靈活安排各個步驟的次序(不一定每個步驟都要用到），從而使計(jì)算簡便.在整個求解過程中，注意要避免去分母、去括號、移項(xiàng)時犯錯誤，因此初學(xué)時，最好在求出方程的解后把方程的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn). 1巧去括號，簡化運(yùn)算 點(diǎn)撥 對于含有多重括號的方程，關(guān)鍵是去括號，去括號時可以由里向外，也可以由外向里. 2巧妙合并，簡化過程 點(diǎn)撥 按常規(guī)方法應(yīng)先去分母，再去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1,本題中如果這樣做很繁瑣.若將及分別看成一個整體，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，解答就十分巧妙. 3巧去分母，一舉兩得 點(diǎn)撥 當(dāng)方程中分?jǐn)?shù)的分子、分母都含有小數(shù)時，一般是運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，使分子、分母同時擴(kuò)大10的倍數(shù)，將小數(shù)化為整數(shù)，再去分母.在運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時應(yīng)靈活運(yùn)用，有時在將小數(shù)化為整數(shù)的同時，可使分母變?yōu)?. 方法技巧（五）列一元一次方程解應(yīng)用題的題型與方法 （1）列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，把等量關(guān)系中的各個部分分別用關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程. 列方程解應(yīng)用題中設(shè)未知數(shù)的方法主要有： ①直接設(shè)未知數(shù)：所謂直接設(shè)未知數(shù)，就是題目里要求什么，就設(shè)什么是未知數(shù). ②間接設(shè)未知數(shù)：有些題目，采用直接設(shè)未知數(shù)的方法分析條件或列方程比較困難，而如果采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，分析條件或列方程反而比較容易，這樣可以間接設(shè)未知數(shù)，解完方程，再來求題目里所 要求的未知量. 一般地，如果題目里涉及的幾個量之間存在某種數(shù)量關(guān)系或某種比例關(guān)系時，多采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，間接設(shè)未知數(shù)是在直接設(shè)未知數(shù)、分析條件或列方程感到困難的時候才采取的方法.其優(yōu)點(diǎn)是：列方程和解方程的過程都比較容易. （2）列方程解應(yīng)用題的三種常用分析方法： ①等量分析法：找出題中的等量關(guān)系，分析等量關(guān)系的左、右兩邊是否相符. 圖示法：根據(jù)題意畫出示意圖，利用圖形來分析數(shù)量間的關(guān)系，從而列出方程.（以線段示意圖為主） 列表法：對于較復(fù)雜的應(yīng)用題,可以將題中的各個量列在表格中進(jìn)行分析，從而找出等量關(guān)系列出方程. （3）—元一次方程是將具體問題“數(shù)學(xué)化”的重要模型，建模過程如下： 這就是說，實(shí)際應(yīng)用題雖然千變?nèi)f化，種類較多，但都遵循這一思路，注意體會，下面通過一些題型說 明其應(yīng)用. ①和、差問題 點(diǎn)撥 列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系. ②打折銷售問題 點(diǎn)撥 本題中的打折銷售問題，正確表示售價，合理利用利潤率公式是解題關(guān)鍵. ③儲蓄問題 點(diǎn)撥 “利息=本金利率期數(shù)”，正確表示出本息和是解題關(guān)鍵. ④行程問題 點(diǎn)撥 解行程類的應(yīng)用題，一般用“線段圖示法”分析等量關(guān)系，直觀明了，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. 點(diǎn)撥 行程問題中常用的關(guān)系式：路程=速度時間（及其關(guān)系式變形），在行程問題中一般有三種情況： ①相遇問題：等量關(guān)系為“速度和運(yùn)動時間=距離”； ②追及問題：等量關(guān)系為“(快行速度—慢行速度）追及時間=距離”； ③航行問題：等量關(guān)系為“順?biāo)俣?靜水速度+水流速度(及其關(guān)系式變形）”或“順?biāo)俣取嫠俣?2倍的水流速度(及其關(guān)系式變形）”. 本題中甲、乙兩人行走的路程的示意圖如圖所示（圖中實(shí)線表示甲走的路程，虛線表示乙走的路程). 由圖可得出題中的等量關(guān)系為：甲走的路程+乙走的路程=在解決行程問題時，畫出示意圖，可幫助我們更直觀地分析題意，找出等量關(guān)系. ⑤調(diào)配問題 ⑥工程問題 點(diǎn)撥 此類題一般把總工作量看成1,由兩個或幾個工作效率不同的對象所完成的工作量的和等于總工作量來找等量關(guān)系，其主要等量關(guān)系為：工作量=工作效率工作時間. ⑦數(shù)字問題 在有關(guān)數(shù)字問題的應(yīng)用題中，要弄清數(shù)字與數(shù)的關(guān)系，能夠正確表示多位數(shù)是解題的關(guān)鍵.如.這類應(yīng)用題,一般設(shè)間接未知數(shù)列方程. 點(diǎn)撥 解答有關(guān)數(shù)字類問題關(guān)鍵是正確運(yùn)用代數(shù)式表示兩位數(shù)、三位數(shù)等多位數(shù).如十位數(shù)字為，個位數(shù)字為的兩位數(shù)可表示為；百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為的三位數(shù)可表示為. ⑧優(yōu)化方案問題 由題意，得 3C%+125(36—：y)=5 025， 點(diǎn)撥 此題屬于“方案決策類”問題，題中提供了三種門票的價格，故要買其中的兩種有三種選擇，而要用完所有的錢，就要使所買的兩種門票所花錢數(shù)和等于總錢數(shù)，且要檢驗(yàn)方案的可行性. ⑨比賽中的積分問題 點(diǎn)撥 本題為比賽中的軹分問題，等量關(guān)系為“勝得分—負(fù)扣分=比賽得分”，正確表示出每一部分的分值是關(guān)鍵. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.方程與等式、代數(shù)式的區(qū)別與聯(lián)系. 方程一定是等式，是含有未知數(shù)的等式；等式不一定是方程，因?yàn)榈仁街胁灰欢ê形粗獢?shù)（如).因此可以簡單地說，方程是特殊的等式.而等式的兩邊都是代數(shù)式，代數(shù)式不含“=”只含有運(yùn)算符號. 2.方程的解與解方程. 方程的解和解方程是兩個不同的概念，前者是求得的結(jié)果，后者是變形求得結(jié)果的過程；前一個“解”是名詞,后一個“解”是動詞，要區(qū)別開來.如是方程的解，而解方程是指求方程的解的過程. 3.列方程解應(yīng)用題中的常見錯誤. （1）忽略解題的第一步“設(shè)”，這容易出現(xiàn)兩種錯誤：①不指出是代表什么意義的量，就用列方程；②指出表示的意義，但不寫出的單位. （2）列方程時，單位不統(tǒng)一. （3）對于求得的解，不檢驗(yàn)它是否符合實(shí)際意義，就盲目作答. 易混易錯（一）混淆分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)與等式基本性質(zhì)而致錯 易混易錯（二）去分母時將不含分母的項(xiàng)漏乘，忽視分?jǐn)?shù)線的括號作用 易混易錯（三）移項(xiàng)時忽視改變符號 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講主要考點(diǎn)有一元一次方程的解法及列方程解應(yīng)用題.對于一元一次方程的解法，單獨(dú)命題很少，常與解應(yīng)用題結(jié)合在一起進(jìn)行考查. 列方程解應(yīng)用題是中考的必考內(nèi)容，特別是一些社會經(jīng)濟(jì)、家庭生活、生產(chǎn)科技等與實(shí)際生產(chǎn)、生活密切相關(guān)的問題,是近幾年中考中出現(xiàn)頻率較高的題目.試題多以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)，主要考查學(xué)生收集和處理信息的能力、分析和解決實(shí)際問題的能力.在中考中以中檔題出現(xiàn)，預(yù)計(jì)今后以社會熱點(diǎn)、新聞事件為素材的題目，會成為應(yīng)用題考查的一個熱點(diǎn). 中考試題（一）方程模型的建立 點(diǎn)撥 找出等量關(guān)系是列方程的關(guān)系，考察了“由實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題（方程模型）”的建模能力. 中考試題（二）收集信息、處理信息，列方程 點(diǎn)撥 根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷出該用戶用水超過22立方米是解題關(guān)鍵. 中考試題（三）利用方程解決實(shí)際問題 第16講二元一次方程組 知識能力解讀 知能解讀（一）二元一次方程和二元一次方程組的概念 （1）二元一次方程：含有兩個未知數(shù)（和），并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫作二元一次方程. 注意 二元一次方程必須同時滿足三個條件： ①含有兩個未知數(shù)，即未知數(shù)的系數(shù)不能為0； ②含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1； ③含有未知數(shù)的式子都是整式. （2）二元一次方程組：有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組. 常見形式有以下幾種： ①兩個二元一次方程合在一起組成的方程組； ②一個一元一次方程和一個二元一次方程合在一起組成的方程組； ③兩個含有不同未知數(shù)的一元一次方程組成的方程組. 知能解讀（二）一元二次方程的解和二元一次方程組的解 （1）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解. 點(diǎn)撥 （1）二元一次方程的解都是成對出現(xiàn)的兩個數(shù)，一般要用大括號聯(lián)立表示. （2）在二元一次方程中，只要給定其中一個未知數(shù)的一個值，就可以相應(yīng)地求出另一個未知數(shù)的值.因此，二元一次方程有無數(shù)個解. （3）一個二元一次方程有無數(shù)個解，但是并不是說任意一對數(shù)值都是它的解. （2）二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫作二元一次方程組的解. 點(diǎn)撥 （1）二元一次方程組的解是方程組中每一個方程的解.但方程組中每個方程的解不一定是方程組的解. （2）方程組的解要用大括號聯(lián)立，如 （3）一般常見的二元一次方程組有唯一解，但有的方程組有無數(shù)多個解，如有的方程組無解，如 知能解讀（三）二元一次方程組的解法 1消元思想 二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程.我們可以先求出一個未知數(shù)，然后再求另一個未知數(shù).這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想. 2代入消元法 把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解.這種方法叫作代入消元法，簡稱代人法.其一般步驟如下： 步驟 名稱 具體做法 目的 注意 1 變形 用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù) 變形為（或）的形式 選系數(shù)簡單的方程變形 2 代入 把（或）代入另一個沒有變形的方程中 消去一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程 代入時要“只代不算” 3 解 解代入后的一元一次方程 求出一個未知數(shù) 去括號時不要漏乘，移項(xiàng)時要變號 4 回代 把求得的未知數(shù)的值代入變形后的方程中 求出另一個未知數(shù) 一般代入變形后的方程 5 寫出解 把兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來 表示為的形式 3.加減消元法 當(dāng)二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一元一次方程.這種方法叫作加減消元法，簡稱加減法.其一般步驟如下： 步驟 名稱 具體做法 目的 注意 1 變形 根據(jù)絕對值較小的未知數(shù)（同一個未知數(shù)）的系數(shù)的最小公倍數(shù)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊 使兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù) ①選準(zhǔn)消元對象：當(dāng)某個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系時，選擇消去該元較簡單.②方程兩邊同乘某個數(shù)時不要漏乘 2 加減 當(dāng)同一個未知數(shù)的系數(shù)相等時，將兩個方程相減；當(dāng)同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時，將兩個方程相加 消去一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程 盡量避免出現(xiàn)未知數(shù)的系數(shù)為負(fù)數(shù)的情況 3 解 解消元后得到的一元一次方程 求出一個未知數(shù) 4 回代 把求得的未知數(shù)的值代入方程組中的某個系數(shù)較簡單的方程中 求出另一個未知數(shù) 求另一個未知數(shù)時選擇系數(shù)較為簡單的方程 5 寫出解 把兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來 表示為 點(diǎn)撥 用加減消元法解二元一次方程組時，一般先把方程組整理成如的標(biāo)準(zhǔn)形式，再設(shè)法加減消元，這樣不易出錯. 知能解讀（四）三元一次方程組及其解法 （1）定義：含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組. （2）解法：解三元一次方程組的方法與解二元一次方程組類似，只是多用一次消元，它的基本思路是： （3）解三元一次方程組的一般步驟如下： ①把方程組中的一個方程分別與另外兩個方程組成兩組，用代入法或加減法消去這兩組中的同一個未知數(shù)，得到一個含有另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組； ②解這個二元一次方程組； ③將所求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中含有第三個未知數(shù)的方程中，求得第三個未知數(shù)的值，從而求出原方程組的解. 注意 （1）要根據(jù)方程組的特點(diǎn)決定先消去哪個未知數(shù)；（2）原方程組的每個方程在求解過程中至少要用到一次. 知能解讀（五）實(shí)際問題與二元一次方程組 列二元一次方程組解應(yīng)用題的分析方法和解題步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，一般可按如下步驟進(jìn)行：實(shí)際問題方程（組）解答.具體步驟如下： （1）審題，弄清題目中所給出的相等關(guān)系及已知量、未知量； （2）設(shè)未知數(shù)，其方法通常有兩種：①直接設(shè)未知數(shù)，②間接設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示涉及的量； （3）找出能夠包含未知數(shù)的等量關(guān)系，一般情況下，設(shè)幾個未知數(shù)，就需要找?guī)讉€等量關(guān)系； （4）列方程組,根據(jù)給定的相等關(guān)系建立方程組； （5）解方程組； （6）檢驗(yàn)并作答，所求方程組的解在正確的基礎(chǔ)上還要符合實(shí)際意義，并寫清單位名稱. 注意 列二元一次方程組解應(yīng)用題要比列一元一次方程解應(yīng)用題復(fù)雜，而且要求正確地分析出題目中所給的兩個等量關(guān)系，列出兩個方程. 方法技巧歸納 (一）二元一次方程的識別方法 判斷一個方程是二元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)有三個：一是整式方程；二是含有兩個未知數(shù)；三是含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，三者缺一不可. 注意 (1)二元一次方程中未知數(shù)共有兩個；（2)分母中不能出現(xiàn)未知數(shù)；（3)含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1. 方法技巧（二）二元一次方程（組）的解的應(yīng)用方法 由二元一次方程(組）的解的定義，可知二元一次方程(組）的解一定滿足該方程（組），把它代入方程 (組），可求字母系數(shù)的取值.反過來，檢驗(yàn)方程組的解的方法是將一對數(shù)值分別代入方程組中的每個方程，只有這對數(shù)值滿足所有方程時,才能說這對數(shù)值是此方程組的解.如果這對數(shù)值不滿足其中的某一個方程，那么它就不是此方程組的解. 點(diǎn)撥 已知二元一次方程組的解，求二元一次方程組中含有的某些字母的值，可把已知解代入方程組中，再解關(guān)于這個字母的方程（組）. 點(diǎn)撥 根據(jù)二元一次方程解的定義，把給定的方程的解代入，得到待求字母的方程（組），求解即可. 方法技巧（三）用代入法或加減法解二元一次方程組或三元一次方程組的規(guī)律技巧 運(yùn)用代入法解方程組的基本思路是：①當(dāng)方程組中存在用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的方程時，可以直接應(yīng)用代入法；②若方程組中含有未知數(shù)的系數(shù)為1（或-1)的方程時，選擇這樣的方程變形比較簡單；③若方程組中不含未知數(shù)的系數(shù)是1(或-1)的方程，則選擇未知數(shù)的系數(shù)的絕對值較小的方程變形比較簡單. （2）加減法是通過“加減”達(dá)到消元目的的，解題時注意以下兩點(diǎn)：①當(dāng)方程組不能直接加減消元時，應(yīng)根據(jù)等式的性質(zhì)把方程兩邊同乘一個適當(dāng)?shù)臄?shù)，使方程組中的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，然后再進(jìn)行加減消元；②當(dāng)方程比較復(fù)雜時，要先將方程化簡后再消元. 點(diǎn)撥 “代入消元法”與“加減消元法”是二元一次方程組的兩種解法，要根據(jù)方程組中各個未知數(shù)的系數(shù)靈活選擇法，消去系數(shù)簡單的未知數(shù). 點(diǎn)撥 方程組中，有些方程得常數(shù)項(xiàng)相等或成倍數(shù)關(guān)系，可以用消常數(shù)項(xiàng)的方法，找出兩個未知數(shù)之間的關(guān)系. 點(diǎn)撥 利用加減法解三元一次方程組，觀察方程組的特征，先消去一個未知數(shù)，得到一個二元一次方程組，再解這個二元一次方程組，最后求出第三個未知數(shù)的值. 方法技巧（四）求二元一次方程的整數(shù)解的方法 在求二元一次方程的特殊解時，一般先將原方程變形，用一個未知數(shù)表示出另一個未知數(shù)，然后將各種情況代入逐一討論. 點(diǎn)撥 通常情況下，求二元一次方程的特殊解需要分類討論，注意分類時要全面，不重復(fù)、不遺漏. 方法技巧（五）利用方程與方程組的解相同，求某個字母的值 點(diǎn)撥 這里利用了二元一次方程組的解與二元一次方程的解相同，用含的式子表示二元一次方程，組的解，再把的值代入二元一次方程，從而解決問題. 方法技巧（六）列二元一次方程組解應(yīng)用題得方法 （1）列二元一次方程組解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法步驟類似，所不同的是：①弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系后，一般設(shè)兩個未知數(shù)；②找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的兩個等量關(guān)系，根據(jù)這兩個等量關(guān)系列方程.在解有關(guān)一次方程組的問題時，一般設(shè)幾個未知數(shù)，就需列幾個方程. （2）注意以下技巧：①善于把題中各個量之間的關(guān)系，用圖形(或表格）的形式表示出來，從而易于觀察得到等量關(guān)系；②分類型歸納思考：對常見類型的應(yīng)用題，為了迅速列方程，一方面需要熟知它們各自最簡捷的列方程的思路；另一方面還要對其中有關(guān)量之間的運(yùn)算關(guān)系了如指掌. 1認(rèn)真審題、合理設(shè)元 審題與設(shè)元是列方程組解應(yīng)用題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，設(shè)元是否合理，直接關(guān)系到所列方程組的繁簡. 點(diǎn)撥 解法1是直接設(shè)未知數(shù)，解法2是間接設(shè)未知數(shù)，但就具體列方程組和解方程組而言，解法2較為合適，特別是解法1中的方程①極易出錯. 2借助表格，尋求等量關(guān)系的技巧 點(diǎn)撥 根據(jù)題意判斷出兩班作為一個團(tuán)體，總?cè)藬?shù)超過100人，根據(jù)單獨(dú)購票款和聯(lián)合購票款列出二元一次方程組是關(guān)鍵. 3借助線段圖示法，尋求等量關(guān)系 用同一直線上的線段表示應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)線段長度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關(guān)系，列出方程. 4借助圖形，分析數(shù)量關(guān)系 點(diǎn)撥 這是應(yīng)用二元一次方程組解決簡單圖形的形狀、面積變化問題，是數(shù)與形結(jié)合的實(shí)例，借助圖形來分析數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要思想方法. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.用加減法解方程組，將運(yùn)算符號與性質(zhì)符號混淆. 將兩個方程相減時，“減去一個數(shù)”應(yīng)該等于“加上這個數(shù)的相反數(shù)”.在解題時容易把性質(zhì)符號與運(yùn)算符號混淆. 2.列方程組解應(yīng)用題時，忽視實(shí)際問題的意義造成錯誤. 3.解方程組時，在去分母過程中出現(xiàn)漏乘常數(shù)項(xiàng)的錯誤. 4.解三元一次方程組時消元目標(biāo)不明確，導(dǎo)致第一次消元后還是含有三個未知數(shù). 易混易錯（一）忽視“未知數(shù)系數(shù)不為零”的條件 易混易錯（二）用加減法解方程組對易弄錯符號 易混易錯（三）列方程組解應(yīng)用題時單位不統(tǒng)一 易混易錯（四）不能正確找出題中的等量關(guān)系 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講考點(diǎn)主要有二元一次方程組的解法及列方程組解應(yīng)用題，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是歷年來中考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，題型有填空題、選擇題和解答題.與社會有關(guān)的熱點(diǎn)問題是應(yīng)用題的命題重點(diǎn)，同時大了對方思想、轉(zhuǎn)化思想的考察. 中考試題（二）用代入消元法解方程 點(diǎn)撥 本題考查了二元一次方程組的解法，二元一次方程組是通過消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解的，轉(zhuǎn)化的基本方法是代入消元法和加減消元法，求解時要根據(jù)方程組中的每個方程的未知數(shù)的系數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的方法求解. 中考試題（三）方程組的解和解方程組的綜合應(yīng)用 中考試題（四）二元一次方程組中的新定義 點(diǎn)撥 本題以新定義運(yùn)算的形式出現(xiàn)，使簡單問題新穎化，能很好地考查同學(xué)們的閱讀理解能力，新定義運(yùn)算的關(guān)鍵是把新定義運(yùn)算根據(jù)新定義運(yùn)算的法則轉(zhuǎn)化為我們熟悉的普通運(yùn)算求解.本題中新定義的實(shí)質(zhì)是解二元一次方程組，從而確定常數(shù)的值，最后轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的值. 中考試題（五）利用方程組解決實(shí)際問題