2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 10.3 組合教案.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 10.3 組合教案知識(shí)梳理1.組合的概念:從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合,組合的個(gè)數(shù)叫組合數(shù),用C表示.2.組合數(shù)公式C=.3.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):(1)C=C;(2)C=C+C.點(diǎn)擊雙基1.從4臺(tái)甲型電腦和5臺(tái)乙型電腦中任取3臺(tái),其中兩種電腦都要取,則不同的取法種數(shù)是A.140 B.84 C.70 D.35解析:取3臺(tái)分兩類(lèi):2臺(tái)甲型1臺(tái)乙型,有CC種;1臺(tái)甲型2臺(tái)乙型,有CC種.CC+CC=30+40=70(種).答案:C特別提示先從甲型、乙型中各抽1臺(tái),有CC種,再?gòu)挠嘞碌闹羞x1臺(tái),有C種,故有CCC=140(種).解法不正確.2.(xx年北京,理17)從長(zhǎng)度分別為1、2、3、4、5的五條線(xiàn)段中,任取三條的不同取法共有n種.在這些取法中,以取出的三條線(xiàn)段為邊可組成的鈍角三角形的個(gè)數(shù)為m,則等于A. B. C. D.解析:n=C=10,由余弦定理知可組成鈍角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”,故m=2.=.答案:B3.已知1,2X1,2,3,4,5,滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系式的集合X共有_個(gè).A.2B.6C.4D.8解析:由題意知集合X中的元素1,2必取,另外可從3,4,5中可以不取,取1個(gè),取2個(gè),取3個(gè),故有C+C+C+C=8(個(gè)).答案:D4.(xx年?yáng)|北三校模擬題)將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱的兩端異色.若只有五種顏色可供使用,則不同的染色方法種數(shù)為_(kāi).解析:設(shè)四棱錐為PABCD.(1)P:C,A:C,B:C,C與B同色:1,D:C.(2)P:C,A:C,B:C,C與B不同色C,D:C.共有CCC1C+CCCCC=420.答案:4205.某校準(zhǔn)備參加xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把10個(gè)名額分配給高三年級(jí)8個(gè)班,每班至少1人,不同的分配方案有_種.解析:把10個(gè)名額分成8份,每份至少一個(gè)名額即可,用隔板法:C=C=36.答案:36典例剖析【例1】 某外語(yǔ)組有9人,每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén),其中7人會(huì)英語(yǔ),3人會(huì)日語(yǔ),從中選取會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人,有多少種不同的選法?解:由題意可知,只會(huì)英語(yǔ)的有6人,只會(huì)日語(yǔ)的有2人,英語(yǔ)和日語(yǔ)都會(huì)的有1人.以只會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)分類(lèi),CCC+CC=20.【例2】 設(shè)集合A=1,2,3,10,(1)設(shè)A的3個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為n,求n的值;(2)設(shè)A的3個(gè)元素的子集中,3個(gè)元素的和分別為a1,a2,an,求a1+a2+a3+an的值.解:(1)A的3元素子集的個(gè)數(shù)為n=C=120.(2)在A的3元素子集中,含數(shù)k(1k10)的集合個(gè)數(shù)有C個(gè),因此a1+a2+an=C(1+2+3+10)=1980.評(píng)述:在求從n個(gè)數(shù)中取出m(mn)個(gè)數(shù)的所有組合中各組合中數(shù)字的和時(shí),一般先求出含每個(gè)數(shù)字的組合的個(gè)數(shù),含每個(gè)數(shù)字的個(gè)數(shù)一般都相等,故每個(gè)數(shù)字之和與個(gè)數(shù)之積便是所求結(jié)果.【例3】 從1,2,30這30個(gè)自然數(shù)中,每次取不同的三個(gè)數(shù),使這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少種?解:令A(yù)=1,4,7,10,28,B=2,5,8,11,29,C=3,6,9,30組成三類(lèi)數(shù)集,有以下四類(lèi)符合題意:A,B,C中各取一個(gè)數(shù),有CCC種;僅在A中取3個(gè)數(shù),有C種;僅在B中取3個(gè)數(shù),有C種;僅在C中取3個(gè)數(shù),有C種.故由加法原理得共有CCC+3C=1360種. 評(píng)述:按元素的性質(zhì)分類(lèi)是處理帶限制條件的組合問(wèn)題的常用方法,對(duì)于某幾個(gè)數(shù)的和能被某數(shù)整除一類(lèi)的問(wèn)題,通常是將整數(shù)分類(lèi),凡余數(shù)相同者歸同一類(lèi).思考討論討論下面的問(wèn)題:用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的能被25整除的四位數(shù)多少個(gè)?提示:能被25整除的數(shù)的后兩位是25或50,后兩位是50的數(shù)有A個(gè),后兩位是25的數(shù)有33=9個(gè),所以能被25整除的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為A+9=21.【例4】 如圖,從一個(gè)34的方格中的一個(gè)頂點(diǎn)A到對(duì)頂頂點(diǎn)B的最短路線(xiàn)有幾條?解:從A到B的最短路線(xiàn),均需走7步,包括橫向的4步和縱向的3步,于是我們只要確定第1,2,7步哪些是橫向的,哪些是縱向的就可以了,實(shí)際只要確定哪幾步是橫向走.所以每一條從A到B的最短路線(xiàn)對(duì)應(yīng)著從第1,2,7步取出4步(橫向走)的一個(gè)組合,因此從A到B的最短路線(xiàn)共有C=C=35條.深化拓展1.某城市由n條東西方向的街道和m條南北方向的街道組成一個(gè)矩形街道網(wǎng),如下圖所示.要從A處走到B處,使所走的路程最短,有多少種不同的走法?解:將相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的街道稱(chēng)為一段,那么從A到B需要走(n+m2)段,而這些段中,必須有東西方向的(n1)段,其余的為南北方向的(m1)段,所以共有C=C種走法.2.從一樓到二樓樓梯一共10級(jí),上樓可以一步上一級(jí),也可以一步上兩級(jí),規(guī)定用8步走完樓梯的方法種數(shù)是_.解:設(shè)一步一級(jí)x步,一步兩級(jí)y步,則故走完樓梯的方法有C=28種.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.從6雙不同顏色的手套中任取4只,其中恰好有一雙同色的取法有A.240種B.180種C.120種D.60種解析:先從6雙手套中任選一雙,有C種取法,再?gòu)钠溆嗍痔字腥芜x2只,有C種,其中選一雙同色手套的選法為C種.故總的選法數(shù)為C(CC)=240種.答案:A2.(xx年江蘇,3)從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì),若這4人中必須既有男生又有女生,則不同的選法共有A.140種B.120種C.35種D.34種解析:7人中任選4人,共C種選法,扣除只有男生的選法C,就可得有既有男生,又有女生的選法CC=34.答案:D3.(xx年湖北,理14)將標(biāo)號(hào)為1,2,10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1,2,10的10個(gè)盒子內(nèi),每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球,則恰好有3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法共有_種.(以數(shù)字作答)解析:從10個(gè)盒中挑3個(gè)與球標(biāo)號(hào)不一致,共C種挑法,每一種3個(gè)盒子與球標(biāo)號(hào)全不一致的方法為2種,共有2C=240種.答案:2404.某年級(jí)有6個(gè)班,派3個(gè)數(shù)學(xué)老師任教,每位教師教兩個(gè)班,不同的任課方法種數(shù)有_種.解析:把6個(gè)班均勻分為3份,有種分法,再把這三份分給3位教師,所以不同的任課方法有A=CCC種.答案:905.某運(yùn)輸公司有7個(gè)車(chē)隊(duì),每個(gè)車(chē)隊(duì)的車(chē)都多于4輛且型號(hào)相同,要從這7個(gè)車(chē)隊(duì)中抽出10輛車(chē)組成一運(yùn)輸車(chē)隊(duì),每個(gè)隊(duì)至少抽1輛車(chē),則不同的抽法有多少種?解:由于每隊(duì)至少抽1輛,故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為從7個(gè)車(chē)隊(duì)中抽3輛車(chē),分類(lèi)討論.3輛車(chē)都從1個(gè)隊(duì)抽,有C種;3輛車(chē)從2個(gè)隊(duì)抽,有A種;3輛車(chē)從3個(gè)隊(duì)抽,有C種.綜上所述,共有C+A+C=84種. 6.袋中有10個(gè)球,其中4個(gè)紅球,6個(gè)白球,若取到1個(gè)紅球記2分,取到1個(gè)白球記1分,那么從這10個(gè)球中取出4個(gè),使總分不低于5分的取法有多少種?解法一:取出4個(gè)球不低于5分只能是4紅或3紅1白或2紅2白或1紅3白.故有C+CC+CC+CC=195種.解法二:取出4個(gè)球總分低于5分只能是4個(gè)白球,故有CC=195種.培養(yǎng)能力7.(理)有11名外語(yǔ)翻譯人員,其中5名英語(yǔ)翻譯員,4名日語(yǔ)翻譯員,另兩名英、日語(yǔ)都精通,從中找出8人,使他們組成兩個(gè)翻譯小組,其中4人翻譯英文,另4人翻譯日文,這兩個(gè)小組能同時(shí)工作,問(wèn)這樣的分配名單共可開(kāi)出幾張?分析:既精通英語(yǔ),又精通日語(yǔ)的“多面手”是特殊元素,所以可以從他們的參與情況入手進(jìn)行分類(lèi)討論.解:按“多面手”的參與情況分成三類(lèi).第一類(lèi):多面手不參加,這時(shí)有CC種;第二類(lèi):多面手中有一人入選,這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能,因此有CCC+CCC種;第三類(lèi):多面手中兩個(gè)均入選,這時(shí)又分三種情況:兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種,因此有CCC+CCC+CCCC種.綜上分析,共可開(kāi)出CC+CCC+CCC+CCC+CCC+ CCCC=185種.評(píng)述:首先注意分類(lèi)方法,體會(huì)分類(lèi)方法在解組合問(wèn)題中的作用.本題也可以先安排翻譯英文人員,后安排翻譯日文人員進(jìn)行分類(lèi)求解,共有CC+CCC+CCC=185種.(文)某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查,鑒定結(jié)果有15種假貨,現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi),不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內(nèi),不同的取法有多少種?(3)恰有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種?(4)至少有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種?(5)至多有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種?解:(1)C=561.(2)C=5984.(3)CC=2100.(4)CC+C=2555.(5)C+CC+CC=6090.探究創(chuàng)新8.有點(diǎn)難度喲!從1到100這100個(gè)正整數(shù)中,每次取出2個(gè)數(shù)使它們的和大于100,共有多少種取法?解:(1)若取出的2個(gè)數(shù)都大于50,則有C種.(2)若取出的2個(gè)數(shù)有一個(gè)小于或等于50,當(dāng)取1時(shí),另1個(gè)只能取100,有C種取法;當(dāng)取2時(shí),另1個(gè)只能取100或99,有C種取法;當(dāng)取50時(shí),另1個(gè)數(shù)只能取100,99,98,51中的一個(gè),有C種取法,所以共有1+2+3+50=.故取法種數(shù)為C+=+=2500.思悟小結(jié)1.組合數(shù)公式有連乘和階乘形式,階乘形式一般用于證明和計(jì)算,組合數(shù)的性質(zhì)常用于證明等式及合并組合數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算.2.解受條件限制的組合題,通常有直接法(合理分類(lèi))和間接法(排除法).3.解組合應(yīng)用題時(shí),應(yīng)注意至少、至多、最多、恰好等詞的含義.4.各種與元素的位置、順序無(wú)關(guān)的組合問(wèn)題,常見(jiàn)的有選派問(wèn)題、抽樣問(wèn)題、圖形問(wèn)題、集合問(wèn)題、分組問(wèn)題,解答組合問(wèn)題的關(guān)鍵是用好組合的定義和兩個(gè)基本原理,只選不排,合理分類(lèi)、分步.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.要搞清組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系:組合與順序無(wú)關(guān),排列與順序有關(guān);排列可以分成先選?。ńM合)后排列兩個(gè)步驟進(jìn)行.2.熟練掌握組合數(shù)公式的兩種形式.拓展題例【例題】 某籃球隊(duì)共7名老隊(duì)員,5名新隊(duì)員,根據(jù)下列情況分別求出有多少種不同的出場(chǎng)陣容.(1)某老隊(duì)員必須上場(chǎng),某2新隊(duì)員不能出場(chǎng);(2)有6名打前鋒位,4名打后衛(wèi)位,甲、乙兩名既能打前鋒又能打后衛(wèi)位.解:(1)C=126種.(2)以2名既擅長(zhǎng)前鋒位又能打后衛(wèi)位的隊(duì)員是否上場(chǎng),且上場(chǎng)后是前鋒還是后衛(wèi)作分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn):甲、乙都不上場(chǎng)有CC=120種;甲、乙有一名上場(chǎng),作前鋒位有C(CC)種,作后衛(wèi)位有C(CC)種,共C(CC)+C(CC)=340種;甲、乙都上場(chǎng),有CC+CC+C(CC)=176種.據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理,共有120+340+176=636種.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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