2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 6.3 不等式的證明(二)教案.doc
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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 6.3 不等式的證明(二)教案知識梳理1.用綜合法證明不等式:利用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式以及函數(shù)的單調(diào)性導出待證不等式的方法叫綜合法,概括為“由因?qū)Ч?2.用分析法證明不等式:從待證不等式出發(fā),分析并尋求使這個不等式成立的充分條件的方法叫分析法,概括為“執(zhí)果索因”.3.放縮法證明不等式.4.利用單調(diào)性證明不等式.5.構(gòu)造一元二次方程利用“”法證明不等式.6.數(shù)形結(jié)合法證明不等式.7.反證法、換元法等.特別提示不等式證明方法多,證法靈活,其中比較法、分析法、綜合法是基本方法,要熟練掌握,其他方法作為輔助,這些方法之間不能截然分開,要綜合運用各種方法.點擊雙基1.(xx年春季北京,8)若不等式(1)na2+對任意nN*恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是A.2,)B.(2,)C.3,)D.(3,)解析:當n為正偶數(shù)時,a2,2為增函數(shù),a2=.當n為正奇數(shù)時,a2+,a2.而2為增函數(shù),22,a2.故a2,).答案:A2.(xx年南京市質(zhì)檢題)若0,則下列結(jié)論不正確的是A.a2b2B.abb2C.+2D.|a|+|b|a+b|解析:由0,知ba0.A不正確.答案:A3.分析法是從要證的不等式出發(fā),尋求使它成立的A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件答案:A4.(理)在等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn中,a1=b10,an=bn0,則am與bm的大小關(guān)系是_.解析:若d=0或q=1,則am=bm.若d0,畫出an=a1+(n1)d與bn=b1qn1的圖象,易知ambm,故ambm.答案:ambm(文)在等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn中,a1=b10,a2n+1=b2n+10(n=1,2,3,),則an+1與bn+1的大小關(guān)系是_.解析:an+1=bn+1.答案:an+1bn+15.若abc,則+_.(填“”“=”“”)解析:abc,(+)(ac)=(+)(ab)+(bc)22=4.+.答案:典例剖析【例1】 設(shè)實數(shù)x、y滿足yx20,0a1.求證:loga(axay)loga2.剖析:不等式左端含x、y,而右端不含x、y,故從左向右變形時應(yīng)消去x、y.證明:ax0,ay0,axay22.xx2(x)2,0a1,axay22a.loga(axay)loga2aloga2.評述:本題的證題思路可由分析法獲得.要證原不等式成立,只要證axay2a即可【例2】 已知a、b、cR+,且a+b+c=1.求證:(1+a)(1+b)(1+c)8(1a)(1b)(1c).剖析:在條件“a+b+c=1”的作用下,將不等式的“真面目”隱含了,給證明不等式帶來困難,若用“a+b+c”換成“1”,則還原出原不等式的“真面目”,從而抓住實質(zhì),解決問題.證明:a、b、cR+且a+b+c=1,要證原不等式成立,即證(a+b+c)+a(a+b+c)+b(a+b+c)+c8(a+b+c)a(a+b+c)b(a+b+c)c.也就是證(a+b)+(c+a)(a+b)+(b+c)(c+a)+(b+c)8(b+c)(c+a)(a+b).(a+b)+(b+c)20,(b+c)+(c+a)20,(c+a)+(a+b)20,三式相乘得式成立.故原不等式得證.【例3】 已知a1,n2,nN*.求證:1.證法一:要證1,即證a(+1)n.令a1=t0,則a=t+1.也就是證t+1(1+)n.(1+)n=1+C+C()n1+t,即1成立.證法二:設(shè)a=xn,x1.于是只要證x1,即證n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項和1+x+xn1=,倒序xn1+xn2+1=.+得2=(1+xn1)+(x+xn2)+(xn1+1)2+2+22n.n.思考討論本不等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題,用數(shù)學歸納法可以證嗎?讀者可嘗試一下.闖關(guān)訓練夯實基礎(chǔ)1.已知a、b是不相等的正數(shù),x=,y=,則x、y的關(guān)系是A.xyB.yxC.xyD.不能確定解析:x2=(+)2=(a+b+2),y2=a+b=(a+b+a+b)(a+b+2)=x2,又x0,y0.yx.答案:B2.對實數(shù)a和x而言,不等式x3+13a2x5ax2+9a3成立的充要條件是_.解析:(x3+13a2x)(5ax2+9a3)=x35ax2+13a2x9a3=(xa)(x24ax+9a2)=(xa)(x2a)2+5a20.當x2a0時,有(x2a)2+5a20.由題意故只需xa0即xa,以上過程可逆.答案:xa3.已知abc且a+b+c=0,求證:a.證明:要證a,只需證b2ac3a2,即證b2+a(a+b)3a2,即證(ab)(2a+b)0,即證(ab)(ac)0.abc,(ab)(ac)0成立.原不等式成立.4.已知a+b+c=0,求證:ab+bc+ca0.證法一:(綜合法)a+b+c=0,(a+b+c)20.展開得ab+bc+ca=,ab+bc+ca0.證法二:(分析法)要證ab+bc+ca0,a+b+c=0,故只需證ab+bc+ca(a+b+c)2,即證a2+b2+c2+ab+bc+ca0,亦即證(a+b)2(bc)2(ca)20而這是顯然的,由于以上相應(yīng)各步均可逆,原不等式成立.證法三:a+b+c=0,c=a+b.ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab(a+b)2a2b2ab(a)20ab+bc+ca0.培養(yǎng)能力5.設(shè)a+b+c=1,a2+b2+c2=1且abc.求證:c0.證明:a2+b2+c2=1,(a+b)22ab+c2=1.2ab=(a+b)2+c21=(1c)2+c21=2c22c.ab=c2c.又a+b=1c,a、b是方程x2+(c1)x+c2c=0的兩個根,且abc.令f(x)=x2+(c1)x+c2c,則6.已知=1,求證:方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根.證明:由=1,b=.b2=(+c)2=+2ac+2c2=4ac+(c)24ac.方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根.7.設(shè)a、b、c均為實數(shù),求證:+.證明:a、b、c均為實數(shù),(),當a=b時等號成立;(),當b=c時等號成立;()三個不等式相加即得+,當且僅當a=b=c時等號成立.探究創(chuàng)新8.已知a、b、c、dR,且a+b=c+d=1,ac+bd1.求證:a、b、c、d中至少有一個是負數(shù).證明:假設(shè)a、b、c、d都是非負數(shù),a+b=c+d=1,(a+b)(c+d)=1.ac+bd+bc+ad=1ac+bd.這與ac+bd1矛盾.所以假設(shè)不成立,即a、b、c、d中至少有一個負數(shù).思悟小結(jié)1.綜合法就是“由因?qū)Ч保瑥囊阎坏仁匠霭l(fā),不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結(jié)論.2.分析法就是“執(zhí)果索因”,從所證不等式出發(fā),不斷用充分條件替換前面的不等式,直至找到成立的不等式.3.探求不等式的證法一般用分析法,敘述證明過程用綜合法較簡,兩法結(jié)合在證明不等式中經(jīng)常遇到.4.構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證不等式或構(gòu)造方程利用“0”證不等式,充分體現(xiàn)相關(guān)知識間的聯(lián)系.教師下載中心教學點睛1.在證明不等式的過程中,分析法和綜合法是不能分離的,如果使用綜合法證明不等式難以入手時,常用分析法探索證題途徑,之后用綜合法的形式寫出它的證明過程,以適應(yīng)學生習慣的思維規(guī)律.有時問題證明難度較大,常使用分析綜合法,實現(xiàn)兩頭往中間靠以達到證題目的.2.由于高考試題不會出現(xiàn)單一的不等式的證明題,常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起,所以在教學中,不等式的證明除常用的三種方法外,還需介紹其他方法,如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法(特別是三角換元)、放縮法以及數(shù)學歸納法等.拓展題例【例1】 已知a、b為正數(shù),求證:(1)若+1,則對于任何大于1的正數(shù)x,恒有ax+b成立;(2)若對于任何大于1的正數(shù)x,恒有ax+b成立,則+1.分析:對帶條件的不等式的證明,條件的利用常有兩種方法:證明過程中代入條件;由條件變形得出要證的不等式.證明:(1)ax+=a(x1)+1+a2+1+a=(+1)2.+1b(b0),(+1)2b2.(2)ax+b對于大于1的實數(shù)x恒成立,即x1時,ax+minb,而ax+=a(x1)+1+a2+1+a=(+1)2,當且僅當a(x1)=,即x=1+1時取等號.故ax+min=(+1)2.則(+1)2b,即+1b.評述:條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.【例2】 求證:+.剖析:|a+b|a|+|b|,故可先研究f(x)=(x0)的單調(diào)性.證明:令f(x)=(x0),易證f(x)在0,+)上單調(diào)遞增.|a+b|a|+|b|,f(|a+b|)f(|a|+|b|),即=.思考討論1.本題用分析法直接去證可以嗎?2.本題當|a+b|=0時,不等式成立;當|a+b|0時,原不等式即為.再利用|a+b|a|+|b|放縮能證嗎?讀者可以嘗試一下!- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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