2019-2020年高中數(shù)學(xué)《類比推理》教案1新人教A版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《類比推理》教案1新人教A版選修2-2 ●教學(xué)目標(biāo)： （一）知識與能力： 通過對已學(xué)知識的回顧，認(rèn)識類比推理這一種合情推理的基本方法，并把它用于對問 題的發(fā)現(xiàn)中去。 （二）過程與方法： 類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 （三）情感態(tài)度與價值觀： 1．正確認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識。 2．認(rèn)識數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識。 ●教學(xué)重點：了解合情推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡單的推理。 ●教學(xué)難點：用類比進(jìn)行推理，做出猜想。 ●教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 ●教學(xué)設(shè)想：類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 ●教學(xué)過程： 學(xué)生探究過程： 除了歸納，在人們的創(chuàng)造發(fā)明活動中，還常常應(yīng)用類比．例如，據(jù)說我國古代工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的齒牙，發(fā)明了鋸；人們仿照魚類的外形和它們在水中的沉浮原理，發(fā)明了潛水艇；等等。事實上，仿生學(xué)中許多發(fā)明的最初構(gòu)想都是類比生物機(jī)制得到的。 從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子. 他的思路是這樣的： 茅草是齒形的； 茅草能割破手. 我需要一種能割斷木頭的工具； 它也可以是齒形的. 這個推理過程是歸納推理嗎？ 中國古代杰出科學(xué)家張衡，曾將人們?nèi)粘Ｉ钪械挠白优c日月食現(xiàn)象的類似情況進(jìn)行類比，提出了日月食科學(xué)成因的初步認(rèn)識。 幾百年前，人們對熱量的認(rèn)識是非常直觀的，將一定質(zhì)量的水加熱到沸點所吸收的熱確定為基本熱量單位“大卡”?？茖W(xué)家焦耳通過對比熱與功相互轉(zhuǎn)化過程中的類似現(xiàn)象，指出了它們本質(zhì)的同一性，這就是熱力學(xué)基本定律。 運用類比推理，通過對一些類似現(xiàn)象、過程的對比分析，可能在看似互不關(guān)聯(lián)的當(dāng)然、偶然信息中發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的必然。 類比推理亦稱類比法或簡稱“類比”。它是根據(jù)A與B兩個或兩類對象在某些屬性上相同或相似，已知A對象還有另外某種屬性，推出B對象也有這種屬性的推理。類比推理的公式可表示為： A對象具有屬性a、b、c、d； B對象具有屬性a、b、c； 所以，B對象具有屬性d。 為了提高類比推理結(jié)論的可靠性，邏輯學(xué)提出了一些要求:應(yīng)當(dāng)盡可能多地列舉出對象間相似屬性和選擇較為本質(zhì)的屬性進(jìn)行類比。 數(shù)學(xué)活動 我們再看幾個類似的推理實例。 例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。 等式的性質(zhì)： 猜想不等式的性質(zhì)： (1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c; (2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc; (3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。 問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？ 例2、試根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)猜想等比數(shù)列的性質(zhì)。 等差數(shù)列 等比數(shù)列 an-an-1=d(n2,nN) an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=(n2,nN) an2=(n2,nN) 設(shè)問1：觀察上述公式，等差數(shù)列、等比數(shù)列相關(guān)公式的對應(yīng)運算法則規(guī)律是什么？ 設(shè)問2：如何分析表達(dá)式結(jié)構(gòu)特征？ 設(shè)問3：類比對象是什么？ 三角形與三棱柱。屬于平面圖形性質(zhì)與空間圖形性質(zhì)的類比。 設(shè)問4：類比屬性有哪些？如何從幾何要素角度進(jìn)行分析？（板書）： 三角形 三棱柱 面 積 體 積 邊 面 線段長 面 積 平面角 二面角 由此，可類比猜測本題的答案（板書）： 設(shè)問5：本題中，類比對象各是什么？ 等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的類比。 設(shè)問6：類比結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點是什么？ （板書） 等差數(shù)列 a10=0 左：前n項和 右：前19-n項和 210-1-n=19-n 設(shè)問7：項數(shù)10、n、19-n之間的關(guān)系如何確定？ 19-n=210-1-n 等比數(shù)列 b9=1 左：前n項積 右：前17-n項積 29-1-n=17-n b1b2bn=b1b2b17-n (n<17,nN) 設(shè)問8：如何證明猜想等式成立？ 常見兩種證法： 1、等式左右兩邊分別用通項公式代入，轉(zhuǎn)化為首項和公比的關(guān)系； 2、不妨設(shè)17-n>n, b1b2bn=b1b2bnbn+1bn+2b16-nb17-n 由bn+1b17-n=bn+2b16-n==b92=1 可得結(jié)論成立。 設(shè)問9：對類比推理有了一定的體驗。 例3、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比. 圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合. 球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合. 圓 球 弦←→截面圓 直徑←→大圓 周長←→表面積 面積←→體積 圓的性質(zhì) 球的性質(zhì) 圓心與弦(不是直徑)的中點的連線垂直于弦 球心與截面圓(不是大圓)的圓點的連線垂直于截面圓 與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長 與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大 圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點 球的切面垂直于過切點的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 經(jīng)過切點且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心 ☆上述兩個例子均是這種由兩個（兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）． 簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 類比推理的一般步驟： ⑴ 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； ⑵ 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； ⑶ 檢驗猜想。即 觀察、比較 聯(lián)想、類推 猜想新結(jié)論 這種由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．在數(shù)學(xué)中，我們可以由已經(jīng)解決的問題和已經(jīng)獲得的知識出發(fā)，通過類比而提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)．例如，數(shù)學(xué)家波利亞（Polya）曾指出：“類比是一個偉大的引路人面幾何中的類比問題．”數(shù)學(xué)中還有向量與數(shù)的類比，求解立體幾何問題往往有賴于平無限與有限的類比，不等與相等的類比，等等． 例4（課本例2）類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質(zhì)． 分析：實數(shù)的加法和乘法都是由兩個數(shù)參與的運算，都滿足一定的運算律，都存在逆運算，而且“0”和“1”分別在加法和乘法中占有特殊的地位因此我們可以從上述 4 個方面來類比這兩種運算． 解：(1)兩個實數(shù)經(jīng)過加法運算或乘法運算后，所得的結(jié)果仍然是一個實數(shù)． （2）從運算律的角度考慮，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，即 a + b = b + a ab=ba (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) (3)從逆運算的角度考慮，二者都有逆運算，加法的逆運算是減法，乘法的逆運算是除法，這就使得方程 a + x=0 ax=1 (a≠0 ) 都有唯一解 x=-a x= (4)在加法中，任意實數(shù)與0相加都不改變大??；乘法中的1與加法中的0類似，即任意實數(shù)與1的積都等于原來的數(shù)，即 a + 0= a a1= a 運用類比推理常常先要尋找合適的類比對象．例如，在立體幾何中，為了研究四面體的性質(zhì)，我們可以在平面幾何中尋找一個研究過的對象，通過類比這個對象的性質(zhì)，獲得四面體性質(zhì)的猜想以及證明這些猜想的思路． 探究：你認(rèn)為平面幾何中的哪一類圖形可以作為四面體的類比對象？ 我們可以從不同角度出發(fā)確定類比對象，如圍成四面體的幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等．基本原則是要根據(jù)當(dāng)前問題的需要，選擇適當(dāng)?shù)念惐葘ο螅?，從?gòu)成幾何體的元素數(shù)目看，四面體由4個平面圍成，它是空間中由數(shù)目最少的基本元素（平面）圍成的封閉幾何體；在平面內(nèi)，兩條直線不能圍成一個封閉的圖形，而3條直線可以圍成一個三角形，即三角形是平面內(nèi)由數(shù)目最少的基本元素（直線）圍成的封閉圖形．從這個角度看，我們可以把三角形作為四面體的類比對象． 本圖可參考王揚老師的論文《平面幾何命題向立體幾何移植新探》（《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》xx.1）. 下面，我們就來看一個通過類比平面幾何中的結(jié)論，得到立體圖形性質(zhì)的猜想的例子． 例 5 （課本例3）類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想． 分析：考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直，所以我們可以選取有3個面兩兩垂直的個面是四面體，作為直角三角形的類比對象． 如圖2.1-1所示，與Rt△ABC相對應(yīng)的，是四面體P-DEF; 與Rt△ABC的兩條邊交成1個直角相對應(yīng)的，是四面體P-DEF的3個面在一個頂點處構(gòu)成3個直二面角；與Rt△ABC的直角邊邊長a , b 相對應(yīng)的，是四面體 P - DEF 的面△DEF，△FPD和△DPE的面積S1 , S2和S3；與Rt△ABC的斜邊邊長c相對應(yīng)的，是四面體P -DEF 的面△PEF 的面積S. 由此，我們可以類比Rt△ABC中的勾股定理，猜想出四面體P-DEF 四個面的面積之間的關(guān)系 解：如圖2.1-1所示，我們知道，在Rt△ABC中，由勾股定理，得 . 于是，類比直角三角形的勾股定理，在四面體 P - DEF 我們猜想 . 思考：這個結(jié)論是正確的嗎？請同學(xué)們自己． 我們把前面所進(jìn)行的推理過程概括為： 可見，歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理、我們把它們統(tǒng)稱為合情推理（plausible reasoning ）公． 通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理．?dāng)?shù)學(xué)研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．下面再來看一個例子． 例 6（課本例4）如圖2 .1-2 所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片．按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上． 1．每次只能移動1個金屬片； 2．較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面． 試推測：把n個金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動多少次？ 分析：我們從移動1, 2, 3, 4個金屬片的情形入手，探究其中的規(guī)律性，進(jìn)而歸納出移動 n個金屬片所需的次數(shù)． 解：當(dāng)n=1時，只需把金屬片從1號針移到3號針，用符號（13 )表示，共移動了1次． 當(dāng)n=2 時，為了避免將較大的金屬片放在較小的金屬片上面，我們利用2號針作為“中間針”，移動的順序是： (1)把第1個金屬片從1號針移到 2 號針； (2)把第2個金屬片從1號針移到 3 號針； (3)把第1個金屬片從2號針移到 3 號針． 用符號表示為：(12 ) (13 ) (23 ) . 共移動了3 次． 當(dāng)n=3 時，把上面兩個金屬片作為一個整體，則歸結(jié)為n=2 的情形，移動順序是： (1)把上面兩個金屬片從1號針移到2號針； (2)把第 3 個金屬片從1號針移到3號針； (3)把上面兩個金屬片從 2 號針移到3 號針． 其中（1）和（3）都需要借助中間針．用符號表示為： ( 13 ) (12 ) ( 32 ) ; ( 13 ) ; ( 21 ) ( 23 ) ( 13 ) . 共移動了 7 次． 當(dāng)n=4 時，把上面3個金屬片作為一個整體，移動的順序是： (1)把上面3個金屬片從1號針移到2號針； (2)把第4個金屬片從 1 號針移到3號針； (3)把上面 3 個金屬片從 2 號針移到 3 號針．用符號表示為： ( 12 ) ( 13 ) (23 ) (12 ) (31) (32 ) (12 ) ; (13 ) ; ( 23 ) (21 ) (31 ) (23 ) ( 12 ) (13 ) (23 ) . 共移動了15次． 至此，我們得到依次移動1, 2, 3, 4 個金屬片所需次數(shù)構(gòu)成的數(shù)列：1, 3, 7,15. 觀察這個數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)其中蘊含著如下規(guī)律： 1 = 21- 1 , 3 = 22 - 1, 7 = 23 -1, 15 = 24 -1. 由此我們猜想：若把n個金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動次，則數(shù)列{}的通項公式為． ① 通過探究上述n=1,2,3,4時的移動方法，我們可以歸納出對n 個金屬片都適用的移動方法．當(dāng)移動n個金屬片時，可分為下列3個步驟： (1)將上面（n-1）個金屬片從1號針移到2號針； (2)將第 n 個金屬片從1號針移到3號針； (3)將上面（n -1）個金屬片從2號針移到3號針． 這樣就把移動n個金屬片的任務(wù)，轉(zhuǎn)化為移動兩次（n-1）個金屬片和移動一次第 n 個金屬片的任務(wù)．而移動（n-1）個金屬片需要移動兩次（n-2）個金屬片和移動一次第（n-1）個金屬片，移動（n-2）個金屬片需要移動兩次（n-3）個金屬片和移動一次第（n-2）個金屬片… … 如此繼續(xù)，直到轉(zhuǎn)化為移動1個金屬片的情形．根據(jù)這個過程，可得遞推公式 從這個遞推公式出發(fā)，可以證明通項公式①是正確的． 一般來說，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠. 例如，法國數(shù)學(xué)家費馬觀察到 = 5, = 17 , = 257 , =65 537 都是質(zhì)數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如. () 的數(shù)都是質(zhì)數(shù)．這就是著名的費馬猜想．半個世紀(jì)之后，善于計算的歐拉（ Euler ）發(fā)現(xiàn)，第 5 個費馬數(shù) = 4 294 967 297 = 6416 700 417 不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費馬的猜想． 例4.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點,P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論: 試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論. 鞏固練習(xí)： 1．(xx年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為----------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2．類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想． 直角三角形 3個面兩兩垂直的四面體 ∠C＝90 3個邊的長度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90 4個面的面積S1，S2，S3和S 3個“直角面” S1，S2，S3和1個“斜面” S 3．（xx，北京）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為______________，這個數(shù)列的前n項和的計算公式為________________ 4．過圓心的弦稱作直徑。圓中有如下性質(zhì)：若AB是⊙O的直徑，M是⊙O上一點（異于A、B），則KMAKMB=-1。定義：過圓錐曲線（橢圓、雙曲線）中心的弦叫作圓錐曲線（橢圓、雙曲線）的直徑，那么對于橢圓能否得到類似的結(jié)論？對于雙曲線呢？ 教學(xué)反思： 1．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 2．類比推理的一般步驟： ①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。 ②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想） 3．這是一節(jié)關(guān)于類比推理的專題復(fù)習(xí)課，不僅僅是為了解題，更側(cè)重類比思想及方法的滲透，因此本節(jié)課考慮了概念學(xué)習(xí)、問題解決、作業(yè)拓展等環(huán)節(jié)，是一節(jié)完整的方法學(xué)習(xí)課。在教學(xué)過程中，通過類比，引導(dǎo)學(xué)生推廣數(shù)學(xué)命題；通過類比，探求解題途徑，深化對知識的理解，對數(shù)學(xué)思想方法的掌握；通過學(xué)生閱讀，理解類比推理的定義及運用思路；通過給出題目的條件，有意識地營造一個較為開放型的學(xué)習(xí)空間，至始至終由學(xué)生帶著問題，開展研究性學(xué)習(xí)。讓學(xué)生經(jīng)歷“課堂上研究問題，課后亦拓展問題”的過程。作業(yè)的布置是為了思維的升華。通過類比推理，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，提高學(xué)生的實踐能力和培養(yǎng)其創(chuàng)新精神。 1．（xx全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽4）設(shè)點O在△ABC的內(nèi)部，且有 ，則△ABC的面積與△AOC的面積的比為（ ） （A） 2； （B）； （C）3； （D）. 解一：如圖，延長OB至E，使得OE=2OB，延長OC至F使得OF=3OC，則 ， 從而點O為△AEF的重心.顯然 ， ， ， 所以， 故 ，即選（C）. 注：本題的推廣： （1）.設(shè)點O在△ABC的內(nèi)部，且有 ，則△ABC的面積與△AOC、△BOC、△COA的面積的比分別為 . 解二：設(shè)G為△ABC的重心，則 所以， 注意到 即 ，∴ ， 即 ，但是G 為重心， 所以，，選 （C） 解三：如圖，由條件等式知 ，注意到 故在直線AC上必存在一點D，使得 ，且有 ， 進(jìn)而知點B、O、D三點共線，且 ， 于是，. 解法四：設(shè)BC、AC的中點分別為D、E，則由原等式知道 即 （1） 而 DE為的中位線，（1）表明點O在DE上，且為其上的一個三等份點， 從而由平面幾何知識知道 即選答案（C）. 空間推廣：設(shè)O為四面體ABCD內(nèi)部一點，且，則四面體ABCD與四面體ABCO、四面體ABOD、四面體AOCD、四面體OBCD的體積分別為. 證明：如右圖，由條件等式知， 即 因為 故由四點共面的充要條件知，在△ABC內(nèi)必存在一點E，使得 ， 且有，進(jìn)而知點D、O、E三點共線， 且 即 ， 于是， 同理可得其它. 2. 已知平面四邊形一組對邊的平方和等于另一組對邊平方和，那么，該四邊形的對角線互相垂直. 證明：如圖，在四邊形ABCD中，，需證 AC⊥BD. 事實上，由，有 ， 于是 即 即 從而 ， 即AC⊥BD. 注：本題的證明是直接對已知等式進(jìn)行向量表示，再進(jìn)行分解因式完成的，這是一種最直接的方法. 本題的證明沒有涉及到四邊形的對角線是否相交，故這個證明相當(dāng)于證明了A、B、C、D不共面的空間結(jié)論，即本證明已經(jīng)確認(rèn)：對空間四邊形（三棱錐）中，如果對棱平方和相等，那么，第三雙對棱必然互相垂直. 這就是xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第2題：空間四點A、B、C、D滿足的取值 （ A ）. （A）只有一個；（B）有兩個；（C）有四個；（D）有無窮多個. 3．三角形重心的向量式.如果G為△ABC的重心的充要條件是下面的（1）與（2）成立. （1）. （2）（O為平面上任意一點）. 5. 設(shè)O為空間任意一點，則G為四面體ABCD的重心的充要條件是 . 需要說明的是，四面體的重心定義... 證明：先證明必要性 如圖，設(shè)M為△BCD的重心，則BM的延長線交CD中點于E，由四面體重心性質(zhì)知 但是又知道 BM：ME=2：1， ∴ 代入上式即得結(jié)論. 再證明充分性 設(shè)M為△BCD的重心，則BM的延長線交CD中點于E，由條件知 但是，G 是AM的四等分點，且AG：GM=3：1，即G為四面體ABCD的重心，從而命題得證. 注：這個結(jié)論非常重要，它是三角形重心向量式的空間推廣. 當(dāng)O與G重合時得到. 本結(jié)論的一個直接證明： 設(shè)M、N分別為四面體ABCD的面和的重心，E、F分別為棱CD、AB的中點，則又平面幾何知識知道AM、BN、EF三線交于一點G，且G平分EF，于是，由向量知識知道 而 ，從而結(jié)論獲得證明. 本題也可以用三角形里的重心性質(zhì)證明. 注意到M為的重心，所以 再注意到，所以 4.設(shè)R、r分別為△的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，求證：. 證明一：如右圖，取O為△A1A2A3的外心,△OA2A3,△OA3A1, △OA1A2,△A1A2A3的面積分別為S1、S2、S3、S，記O到A2A3,A3A1, A1A2的距離依次為r1、r2、r3，△A1A2A3的各邊長分別為a1、a2、a3，則: ，即 ， ∴ ∴ ，同理可得 ； 這三式相加得: ， ∴. 證畢. 注：這里用面積法對平面上的Euler不等式 給出了一個簡單而新鮮的證明.可謂別具一格 . 證明二：由Euler定理： ，立刻知道 . 證三：如右圖，設(shè)O為△ABC外心，D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點，則 同理可得 ； 這三個式子相加得到 即 所以 . 證四：如右圖，分別過A、B、C做對邊的平行線交成一個，則， 而且相似比為，， 但是， 即 所以 . 證五：O為外心，延長AO交BC與D，記的面積分別為，則（為O到BC的距離） 即 ，同理可得 ， 這三個式子相加得到 ， 所以 . 證6：設(shè)O為外心，則 即 , 同理有 ， 這三個式子相加得到 所以 . 本題還有很多證明，但都不夠簡捷. 本題的錦繡前程展望： 在四面體中： 設(shè)R、r分別為四面體A1A2A3A4的外接圓和內(nèi)切圓半徑, 求證：. 證明:記四面體OA2A3A4,OA1A3A4,OA1A2A4,OA1A2A3,A1A2A3A4的體積分別為V1,V2,V3,V4,V, O到Ai及對面的距離分別為ri(i=1、2、3、4),并參下圖,再取O為四面體A1A2A3A4的外心,則有 ， 即 即 ，同理有 ；； 這四式相加得: ∴ . 5．(《中等數(shù)學(xué)》1995.2 數(shù)學(xué)奧林匹克問題 高中26 題)已知△A1A2A3內(nèi)任意點O到頂點Ai 及所對邊的距離分別為Ri和ri(i=1、2 、3), 求證: . 證明：如圖1,延長A1O交A2A3于B1,記△OA2A3,△OA3A1,△OA1A2,△A1A2A3的面積分別為S1,S2,S3,S,△A1A2A3的邊A2A3上的高h(yuǎn)1那么, R1+r1≥h1. ∴，同理，， ∴ 從而原不等式得證. 注:三角形中的共邊比例定理與簡單的不等關(guān)系聯(lián)姻使此題的證明如行云流水. 本題的錦繡前程展望： 命題的延伸：在四面體中：設(shè)O為四面體A1A2A3A4內(nèi)部任意一點,O到Ai及其對面的距離分別為 (i=1、2、3、4),求證: . 證明:記四面體OA2A3A4,OA1A3A4,OA1A2A4,OA1A2A3,A1A2A3A4的體積分別為V1,V2,V3,V4,V,h1為三棱錐A1--A2A3A4的高線長，連A1O并延長交面A2A3A4于B1,如圖2.則據(jù)引理2及R1+r1≥h1知， 同理， ， ∴ . 到此,原不等式得證. 上述平面幾何命題與立體幾何命題的提法與論證是多么的和諧一致. 6.（31——IMO預(yù)選題）設(shè)P為△ABC內(nèi)任意一點,AP,BP,CP分別交BC、CA、AB于D、E、F，求證： . 證一：引進(jìn)線段比參數(shù) 設(shè)，因為AD、BE、CF三線交于一點，由塞瓦定理知道，結(jié)合面積公式知 同理可得 于是 最后一步用到了熟知的不等式： 其中 從而，原不等式獲得證明. 證二：引進(jìn)面積參數(shù) 設(shè)的面積分別為，則 同理有 ， 那么， 即 同理可得 ∴ 即 . 證三：引進(jìn)線段常參數(shù) 設(shè)則由Ceva定理知 （1） 于是，，同理可以求出其它相應(yīng)的比值，于是 即 . 上面的三種證明都非常精彩，但是，從推廣命題方面看，證明二是比較好的方法，可以導(dǎo)致命題的空間推廣. 注：面積法(共角比例定理)的運用給我們解決本題帶來了生機(jī)和活力. 本題的歷史淵源追索——本題昨天的表現(xiàn)形式： 當(dāng)P為△ABC的外心、內(nèi)心、垂心、重心時都已經(jīng)證明成立，本題是這些命題的推廣. 本題的錦繡前程展望： 命題的延伸：設(shè)P為四面體A1A2A3A4內(nèi)部任意一點,AIP的延長線交AI所對的面于BI(i=1,2,3,4)，求證：四面體A1A2A3A4的體積A與四面體B1B2B3B4的體積B滿足 A≥27B. 證明：記四面體PA2A3A4,PA1A3A4,PA1A2A4,PA1A2A3,A1A2A3A4的 體積分別為V1,V2,V3,V4,V,連A1O并延長交面A2A3A4于B1,如圖5. 注意到三棱錐A1---PA2A3與三棱錐B1---PA2A3共底面△PA2A3, 據(jù)引理2，所以 ， 同理還有 ， 由上面兩個式子及等比定理知: 同理有 ；； ∴ 而三棱錐P---B1B2B3與P---A1A2A3是具有對頂三面角的兩個三棱錐，由引理4知，，即 同理可得 ；； ，所以 即 .此時等號成立的條件顯然是V1=V2=V3=V4,即P為四面體的重心. 解析幾何類比題 1. 橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質(zhì). 若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線的切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是,那么對于雙曲線則有如下命題: 若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線的切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是 . 1. 設(shè),,,則過P1、P2的切線方程分別是， .因為在這兩條切線上,故有,,這說明,在直線上,故切點弦P1P2的直線方程是. 2. 橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質(zhì).對于橢圓有如下命題:AB是橢圓 的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB的中點，則,那么對于雙曲線則有如下命題:AB是雙曲線的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB的中點，則 . 2.. 設(shè),,,則有 ,.兩式相減得, 即,,即. 【點評】 本題是一道有關(guān)橢圓與雙曲線的歸納類比題,這類題的特點是:往往并不需要證明結(jié)論,主要考查考生的創(chuàng)新精神,是否會觀察,會抽象概括,會用類比的方法得出新的一般性的結(jié)論. 這類題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中,經(jīng)常以數(shù)列或解析幾何等知識為載體. 3．橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質(zhì).對于橢圓有如下命題: 若在橢圓（a＞0,b＞0）上，則過的橢圓的切線方程是,那么對于雙曲線則有如下命題: 若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是 . 3．解析：。 解法一 當(dāng)時, ,此時過點的切線方程是;當(dāng)時, ,此時可設(shè)過點的切線方程是,代入得,即,此方程的判別式為 ,,即.又，則，即， ， ==，故切線方程是，即.綜上可知，切線方程是. 解法二 由得,則.當(dāng), =;當(dāng),.故當(dāng)時,切線方程是，即;當(dāng)時, 切線方程是. 【點評】 本題是一道有關(guān)橢圓與雙曲線的歸納類比題,這類題的特點是:往往并不需要證明結(jié)論,主要考查考生的創(chuàng)新精神,是否會觀察,會抽象概括,會用類比的方法得出新的一般性的結(jié)論. 這類題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中,經(jīng)常以數(shù)列或解析幾何等知識為載體.求圓錐曲線的切線通常有兩種方法:判別式法和求導(dǎo)法. 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是. 4．（江蘇省江陰高級中學(xué)xx屆高三數(shù)學(xué)訓(xùn)練卷（一））(1) 已知拋物線過焦點的動直線l交拋物線于兩點，為坐標(biāo)原點,求證：為定值; (2) 由 (1) 可知：過拋物線的焦點的動直線 l 交拋物線于兩點，存在定點，使得 為定值. 請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明. 4.解：(1) 若直線l垂直于x軸，則，. 若直線l不垂直于軸，設(shè)其方程為，. 由 . 綜上，為定值. (2) 關(guān)于橢圓有類似的結(jié)論：過橢圓的一個焦點的動直線l交橢圓于、兩點，存在定點，使為定值. 證明：不妨設(shè)直線l過橢圓的右焦點其中 若直線l不垂直于軸，則設(shè)其方程為：，. 由得： 所以……………9分 由對稱性可知，設(shè)點在x軸上，其坐標(biāo)為 所以 要使為定值， 只要 即 此時 若直線l垂直于x軸，則其方程為，，. 取點 有 綜上，過焦點的任意直線l交橢圓于、兩點，存在定點 使為定值. 高考數(shù)學(xué)試題新亮點——類比推理題 “多考一點想，少考一點算”，以能力立意的數(shù)學(xué)高考試題不斷推出一些思路開闊、情境新穎脫俗的創(chuàng)新題型，它們往往不是以知識為中心，而是以問題為中心，并不拘泥于具體的知識點，而是將數(shù)學(xué)知識、方法和原理融于一體，突出對數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維價值。 類比推理是根據(jù)兩個對象具有某些相同的屬性而推出當(dāng)一個對象具有一個另外的性質(zhì)時，另一個對象也具有這一性質(zhì)的一種推理方式。因此求解類比推理問題的關(guān)鍵在于確定類比物，建立類比項。換言之，不能把類比僅停留在敘述方式或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等外層表象之上，還需要對數(shù)學(xué)結(jié)論的運算、推理過程等進(jìn)行類比分析，從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。 一、 數(shù)列中的類比推理 例1 （xx年上海卷）在等差數(shù)列中，若，則有等式 成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式 成立. 分析 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比.一種較本質(zhì)的認(rèn)識是： 等差數(shù)列 用減法定義 性質(zhì)用加法表述（若且 則）； 等比數(shù)列 用除法定義 性質(zhì)用乘法表述（若且 則）. 由此，猜測本題的答案為： 事實上，對等差數(shù)列，如果，則 . 所以有： ）（）.從而對等比數(shù)列，如果，則有等式：成立. 評注 本題是一道小巧而富于思考的妙題，主要考查觀察分析能力，抽象概括能力，考查運用類比的思想方法由等差數(shù)列而得到等比數(shù)列的新的一般性的結(jié)論。 例2 （xx年北京高考題）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和. 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為 ，這個數(shù)列的前項和的計算公式為 . 分析 由等和數(shù)列的定義，易知，（=1，2，…），故. 當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，. 評注 本題以“等和數(shù)列”為載體，解決本題的關(guān)鍵是課本中所學(xué)的等差數(shù)列的有關(guān)知識及其數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，本題還考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。 二、 函數(shù)中的類比推理 例3（xx年上海春招高考題）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法，可求得的值為 . 分析 此題利用類比課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的倒序相加法，觀察每一個因式的特點，嘗試著計算： ， ， ， 發(fā)現(xiàn)正好是一個定值， ，. 評注 此題依據(jù)大綱和課本，在常見中求新意，在平凡中見奇巧，將分析和解決問題的能力的考查放在了突出的位置.本題通過弱化或強(qiáng)化條件與結(jié)論，揭示出它與某類問題的聯(lián)系與區(qū)別并變更出新的命題.這樣，通過從課本出發(fā)，無論是對內(nèi)容的發(fā)散，還是對解題思維的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，從而有效于發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新的思維。 例4 （xx年上海春招高考題）已知函數(shù)，. （1） 證明是奇函數(shù)，并求的單調(diào)區(qū)間. （2） 分別計算和的值，由此概括出涉及函數(shù)和的對所有不等于零的實數(shù)都成立的一個等式，并加以證明. 分析 （1）略； （2）分別計算得和的值都為零，由此概括出對所有不等于零的實數(shù)有：如果將式子 中的5改成字母，可進(jìn)一步推廣. 評注 由數(shù)字型向字母型類比推廣相當(dāng)于從特例向一般推廣，但其實質(zhì)都是一般化策略.正如波利亞在其《怎樣解題》中所闡述的一般化思想：“一般化就是從考慮一個對象，過渡到考慮包含該對象的一個集合，或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮一個包含該較小的集合的更大集合?！? 三、排列組合中的類比推理 例5 （xx年上海高考題）規(guī)定：，其中，是正整數(shù)，且，這是組合數(shù)是正整數(shù)，且的一種推廣. （1） 求的值； （2） 組合數(shù)的兩個性質(zhì)（）是否都能推廣到 （是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由； （3）已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)，是正整數(shù)時，. 分析 本題“新的規(guī)定（是正整數(shù)）”是組合數(shù)（是正整數(shù)，且）的一種推廣.這個結(jié)論是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中沒有的，目的是考查考生對相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的自覺運用以及創(chuàng)新思維能力. 解：（1）根據(jù)新規(guī)定直接進(jìn)行演算即可 （2）性質(zhì)①不能推廣.反例：當(dāng)時，有意義，但無意義.性質(zhì)②能推廣，且推廣形式不變： 是正整數(shù)）. 證明如下： = == （3）需要就與的大小作出邏輯劃分并進(jìn)行嚴(yán)密的論證. 當(dāng)時，都是正整數(shù)，就是組合數(shù)，結(jié)論顯然成立； 當(dāng)時，，結(jié)論也成立； 當(dāng)時， ，是正整數(shù)，故. 綜上所述，當(dāng)，是正整數(shù)時，. 評注 本題以組合數(shù)為載體考查運用類比推理和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算能力和創(chuàng)新思維能力。 例6 （xx年上海高考題）已知數(shù)列（為正整數(shù)）的首項為，公比為的等比數(shù)列. （1） 求和：；. （2） 由（1）的結(jié)果，歸納概括出關(guān)于正整數(shù)的一個結(jié)論，并加以證明. 分析 本題由（1）的結(jié)論，通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結(jié)論： （1）=， . （2）歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則 .（證明略） 評注 本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力，突出了創(chuàng)新能力的考查；通過抓住問題的實質(zhì)，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。 四、立體幾何中的類比推理 例7 （xx年上海春招題）若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點、與點、，則三角形面積之比為：. 若從點O所作的不在同一個平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點、與點、和、，則類似的結(jié)論為： . 分析 在平面中是兩三角形的面積之比，憑直覺可猜想在空間應(yīng)是體積之比，故猜想.(證明略) 評注 本題主要考查由平面到空間的類比.要求考生由平面上三角形面積比的結(jié)論類比得出空間三棱錐體積比的相應(yīng)結(jié)論.又在xx年廣東高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)本題的類題。 例8 （xx年全國高考題）在平面幾何中，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則 .” 分析 關(guān)于空間問題與平面問題的類比，通?？勺プ缀我氐娜缦聦?yīng)關(guān)系作對比： 多面體 多邊形； 面 邊 體 積 面 積 ； 二面角 平面角 面 積 線段長； … … 由此，可類比猜測本題的答案： （證明略）. 評注 本題考查由平面幾何的勾股定理到空間的拓展推廣，因此平時的教學(xué)與復(fù)習(xí)中要注意類比等思想方法的學(xué)習(xí)，更要注意研究性學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)中的適時切入。 例9 （xx年上海春招高考題）在DEF中有余弦定理： . 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABC-的3個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明. 分析 根據(jù)類比猜想得出. 其中為側(cè)面為與所成的二面角的平面角. 證明： 作斜三棱柱的直截面DEF，則為面與面所成角，在中有余弦定理： ， 同乘以，得 即 評注 本題考查由平面三角形的余弦定理到空間斜三棱柱的拓展推廣，因為類比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要源泉，因此平時的教學(xué)與復(fù)習(xí)中更要注意類比等思想方法的學(xué)習(xí)。 五、 解析幾何中的類比推理 例10 （xx年上海高考題）已知兩個圓：， ① 與 ② 則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為 . 分析 將題設(shè)中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況： 設(shè)圓的方程為， ③ 與 ④ 其中或，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程. 評注 本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。 例11 （xx年上海春招題）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點P的位置無關(guān)的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明. 分析 類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點P的位置無關(guān)的定值. 證明：設(shè)點M、P的坐標(biāo)為（）、（），則N（）. 因為點M（）在已知雙曲線上，所以，同理. 則（定值）. 評注 本題以橢圓、雙曲線為載體，考查直線的斜率，橢圓、雙曲線的概念與方程，考查數(shù)學(xué)運算能力。 例12. （xx年上海春招題）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點P的位置無關(guān)的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明. 分析 類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點P的位置無關(guān)的定值. 證明：設(shè)點M、P的坐標(biāo)為（）、（），則N（）. 因為點M（）在已知雙曲線上，所以，同理. 則（定值）. 評注 本題以橢圓、雙曲線為載體，考查直線的斜率，橢圓、雙曲線的概念與方程，考查數(shù)學(xué)運算能力。同類之間的類比在圓錐曲線中，常常以姐妹題形式出現(xiàn)，這樣對學(xué)生思維和素質(zhì)的考查具有很好的功能，而且題型新穎，避免了傳統(tǒng)的考法的單調(diào)。 六.新定義、新運算中的類比　 例13、若記號“*”表示兩個實數(shù)a與b的算術(shù)平均的運算，即，則兩邊均含有運算符號“*”和“＋”，且對于任意3個實數(shù)a，b，c都能成立的一個等式可以是_______________。 解析：由于本題是探索性和開放性問題，問題的解決需要經(jīng)過一定的探索過程，并且答案不惟一。這題要把握住，還要注意到試題的要求不僅類比推廣到三個數(shù)，而且等式兩邊均含有運算符號“*”和“＋”，則可容易得到a+（bc）=（a+b）（a+c）。正確的結(jié)論還有：（ab）+c=（ac）+（bc）,（ab）+c=（ba）+c等。 例14、電子計算機(jī)中使用二進(jìn)制，它與十進(jìn)制的換算關(guān)系如下表： 十進(jìn)制 1 2 3 4 5 6 ……. 二進(jìn)制 1 10 11 100 101 110 …….. 觀察二進(jìn)制1位數(shù)，2位數(shù)，3位數(shù)時，對應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)，當(dāng)二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是 解：通過閱讀，不難發(fā)現(xiàn)： 于是知二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是。 評析：通過閱讀，將乍看陌生的問題熟悉化，然后找到解決的方法，即轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求解。 總之，求解數(shù)列創(chuàng)新題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，探求規(guī)律，注重轉(zhuǎn)化，合理設(shè)計解題方案，最后利用等差、等比數(shù)列有關(guān)知識來求解。 例15、對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點A(x,y)、B(x，y)，定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱. 給出下列三個命題： ①若點C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC中，若∠C=90，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命題的個數(shù)為（B） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點，定義它們之間的一種“距離”： ①若點C在線段AB上，設(shè)C點坐標(biāo)為(x0，y0)，x0在x1、x2之間，y0在y1、y2之間，則= ③在中， > = ∴命題① ③成立，而命題②在中，若則明顯不成立，選B. 例16、，平面中兩條直線和相交于點O，對于平面上任意一點M，若、分別是M到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實數(shù)對（，）是點M的“距離坐標(biāo)”．已知常數(shù)≥0，≥0，給出下列命題： ①若＝＝0，則“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點 有且僅有1個； ②若＝0，且＋≠0，則“距離坐標(biāo)”為 （，）的點有且僅有2個； ③若≠0，則“距離坐標(biāo)”為（，）的點有且僅有4個． 上述命題中，正確命題的個數(shù)是 [答]（ D ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 【解析】對于①到平面中兩條直線和的距離都為0的點只有交點O；對于②＝0且＋≠0，只有兩種情況。但易誤判成任一種情況都對應(yīng)兩個點，兩種情況則有四個點。要知道在是常數(shù)的情況下只能是其中的一種情況，不能兩種情況同時存在；對于③若≠0，則“距離坐標(biāo)”為（，）的點在四個區(qū)域內(nèi)各有唯一的一個，故總共有且僅有4個．所以選D。 另解：選（D） ① 正確，此點為點； ② 正確，注意到為常數(shù)，由中必有一個為零，另一個非零，從而可知有且僅有2個點，這兩點在其中一條直線上，且到另一直線的距離為（或）； ③ 正確，四個交點為與直線相距為的兩條平行線和與直線相距為的兩條平行線的交點。 波利亞曾說：“如果沒有相似推理，那么無論是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)中，甚至在其他任何領(lǐng)域中，本來可以發(fā)現(xiàn)的東西，也可能無從發(fā)現(xiàn).”因此，作為基礎(chǔ)教育之一的中學(xué)數(shù)學(xué)，在教學(xué)中必須重視培養(yǎng)學(xué)生的類比推理和歸納推理的能力。為此，特提出以下教學(xué)建議： （1）根據(jù)教材特點，在傳授新知識時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生，通過類比與歸納得出新的知識，逐步學(xué)會類比推理的方法。 （2）在進(jìn)行知識復(fù)習(xí)時，經(jīng)常對相關(guān)的知識進(jìn)行類比，培養(yǎng)學(xué)生對相關(guān)知識進(jìn)行類比的習(xí)慣。 （3）在解題教學(xué)中，通過類比，引導(dǎo)學(xué)生推廣數(shù)學(xué)命題，或通過類比，探求解題途徑，深化對知識的理解，對數(shù)學(xué)思想方法的掌握。 （4）通過類比，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，提高學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新精神。 開普勒對類比也情有獨鐘：“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師… …”正因為如此，以上這些有趣而富有啟迪的類比越來越多地受到了命題專家的關(guān)注，逐漸成為高考命題的新視角。 參考資料： 1 任子朝，高考能力測試與試題設(shè)計，北京教育出版社. 2 張巧鳳，從平面到空間的類比思維，高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，xx.11. 3 鄧益陽，探究一類新型題的解題策略，高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，xx.2. 4 李云杰，數(shù)學(xué)命題的推廣，高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，xx.9. 5 徐永忠 解析深化理性思維考查的數(shù)學(xué)高考，數(shù)學(xué)通報，xx.11. 6 顧國章，高考對類比推理的考查，中學(xué)數(shù)學(xué)，xx.2. 近五年廣東高考中的類比題 12．（xx年廣東卷）如果一個凸多面體是n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有_____條，這些直線中共有對異面直線，則；f(n)=______(答案用數(shù)字或n的解析式表示) 答案：;8;n(n-2)。 解析：;; 圖4 … 14、（xx年廣東卷）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）. 14、10， (14) （xx年廣東卷）設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用表示這條直線交點的個數(shù)，則=____________；當(dāng)時， ．（用表示） 【答案】5， 圖B 解：由圖B可得， 由，，， ，可推得 ∵n每增加1，則交點增加個， ∴ ． 15．（xx年廣東卷）由圖(1)有面積關(guān)系: 則由(2) 有體積關(guān)系: (15) （15）（xx年廣東卷）在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2．”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A－BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則 ”． （15）